6 Alcuni esercizi svolti in dettaglio

Lo scopo di questa sezione è illustrare la parte ``standard'', quellache non si può non saper fare, degli esercizi nel formalismo Lagrangiano ed Hamiltoniano.

Quindi per tutti i problemi che seguono provvederò a rispondere alle seguenti domande:

i) Scrivi le equazioni del moto attraverso la Lagrangiana e l'Hamiltoniana.

ii) Determina le soluzioni di equilibrio e discutine la stabilità. Calcola le frequenze delle piccole oscillazioni intorno agli equilibri stabili.

iii) Trova le frequenze ed i modi normali delle piccole oscillazioni intorno agli equilibri stabili.

iv) Determina eventuali integrali primi.

v) Riduci i gradi di libertà se possibile.

Si giunge alle risposte attraverso procedimenti che non presentano difficoltà concettuali, tutt'al piú calcoli laboriosi.

Alcune domande un pò meno standard potrebbero essere:

vi) Discuti le condizioni iniziali per cui il moto è limitato.

vii) Discuti l'esistenza di dati iniziali per cui il moto è periodico

viii) Determina la reazione vincolare per dei moti particolari (specificati nel testo).

Le domande più difficili sono contrassegnate da un asterisco.

Tutti gli esercizi sono dimensionalmente consistenti, cioè la massa non è mai un numero, ma ha le dimensioni di una massa, e cosí le lunghezze, i raggi, l'accelerazione di gravità etc. . Questo permette la verifica dei calcoli attraverso l'analisi dimensionale, che può essere utile.

ATTENZIONE: nel caso in cui i parametri del problema non siano fisicamente consistenti, ( ad esempio se la massa è $1$ o il raggio è $3$ o il punto è vincolato a muoversi su una curva $y=x^2$ etc. ) l'analisi dimensionale è impossibile, a meno di non reintrodurre le dimensioni fisiche nel testo.