6.4 Problema

Un punto materiale di massa $m$ è vincolato a muoversi sulla superficie di equazione $z=-\sqrt{l^2+x^2+y^2}$. Il punto è all'estremo di una molla di costante elastica $k$, che ha l'altro estremo fissato nell'origine. Sul punto agisce anche la forza di gravità, verso la direzione negativa dell'asse delle $z$.

Questo esercizio è uno delle infinite varianti del moto centrale. Infatti la superficie su cui è vincolato a muoversi il punto è invariante per rotazioni intorno all'asse $z$, e lo stesso invarianti sono i due campi di forza. Ovviamente tale invarianza implicherà la conservazione del momento della quantità di moto.

6.4.1 Scelta delle coordinate ed equazioni del moto

L'invarianza per rotazioni intorno all'asse $z$ suggerisce di utilizzare coordinate polari. Sia $r$ la distanza dall'origine della proiezione del punto sul piano $(x,y)$, cioè $r= \sqrt{x^2+y^2}$. Sia $\phi$ l'angolo che la congiungente dell'origine con la proiezione forma con l'asse delle $x$ nella direzione positiva. Con queste due coordinate posso descrivere il sistema: $x= r \cos \phi$, $y = r \sin \phi$, $z = - \sqrt{ l^2 + r^2}$. Il calcolo delle velocità dà:

$$\begin{matrix}\dot x = \dot r \cos \phi - r \dot \phi \sin \phi \... ...ot \phi \cos \phi \dot z = - \frac {r\dot r}{\sqrt{l^2 + r^2}} \end{matrix}$$ (6.49)

Il calcolo dell'energia cinetica dà:

$$T= \frac 12 m \dot r^2 \dfrac {l^2 + 2 r^2}{l^2+r^2} + \frac 12 m r^2 \dot \phi^2.$$

L'energia potenziale ha due contributi: la forza di gravità che dà il contributo $-mg\sqrt{l^2+r^2}$ e la molla che dà il contributo $\frac 12 k (x^2+y^2 +z^2) = \frac 12 k ( l^2+ 2r^2)$. Elimino il termine $l^2$ perchè non contribuisce alla determinazione del moto. In sintesi la lagrangiana è:

$$L= \frac 12 m \dot r^2 \dfrac {l^2 + 2 r^2}{l^2+r^2} + \frac 12 m r^2 \dot \phi^2 + mg\sqrt{l^2+r^2} - kr^2.$$

L'Hamiltoniana è

$$H= \frac 1{2m} p_r^2 \dfrac {l^2+r^2}{l^2 + 2 r^2} + \frac 1{2mr^2} p_{\phi}^2 - mg\sqrt{l^2+r^2} + kr^2.$$

Il lettore proceda al calcolo delle equazioni del moto.

6.4.2 Posizioni di equilibrio

La derivata dell'energia potenziale, che dipende solo da $r$, è ${\dfrac {\partial {V}}{\partial {r}}} = -mgr \frac 1{\sqrt{l^2 + r^2}} + 2kr$. Dunque $r = 0$ è un equilibrio, qualunque sia $\phi$. Altri equilibri esistono se e solo se: $\sqrt{l^2+r^2} = \frac {mg}{2k}$. Quindi $r^2 = l^2 \left( \left( \frac{mg}{2kl} \right)^2 -1 \right).$ L'equilibrio esiste se e solo se $\frac {mg}{2kl} \ge 1$. Ovviamente solo il valore positivo di $r$ è accettabile, in quanto $r$ è una variabile positiva. Sia $\bar r= l \sqrt{ \left( \left( \frac{mg}{2kl}\right)^2 -1 \right) }$ quando esiste reale.

Quante sono le posizioni di equilibrio? Il potenziale non dipende da $\phi$, quindi qualunque sia $\bar \phi$ $(0,\bar \phi)$ e $(\bar r ,\bar \phi)$ sono posizioni di equilibrio. D'altra parte se $r = 0$, qualunque sia $\bar \phi$ fisicamente $(0,\bar \phi)$ è l'origine del piano. Dunque se $\frac {mg}{2kl} \le 1$ c'è solo una posizione di equilibrio, l'origine del piano; se $\frac {mg}{2kl} > 1$ esistono altre infinite posizioni di equilibrio a distanza $\bar r$ dall'origine.

Sviluppano con Taylor al secondo ordine $V$ intorno a 0 si ottiene $V(r) = -mgl^2 +k r^2 \left( 1 - \frac {mg}{2kl} \right)$. Dunque è stabile se $\frac {mg}{2kl} < 1$ ed è instabile se $\frac {mg}{2kl} > 1$. Considerando anche i termini $r^4$ si ottiene che il l'origine è stabile anche per $\frac {mg}{2kl} = 1$.

Le altre infinite posizioni di equilibrio, quando esistono, sono instabili pur essendo dei minimi per $V$ considerato nella sola variabile $r$. Infatti come funzione di $(r,\phi)$, sono dei minimi non stretti. La conservazione del momento della quantità di moto permette di costruire dati inziali arbitrariamente vicini all'equilibrio che si allontanano. Per esercizio dai la dimostrazione di questo fatto usando il metodo utilizzato nel problema 6.1.

Per $\frac {mg}{2kl} < 1$ posso calcolare le frequenze delle piccole oscillazioni. Però se procedo come sempre mi accorgo che la matrice cinetica nel punto di equilibrio vale

$$T= \left( \begin{matrix}m & 0 0 & 0 \end{matrix} \right),$$ (6.50)

che è solo semidefinita positiva, avendo un autovalore nullo. D'altra parte la matrice Hessiana è

$$\left( \begin{matrix}k(1-\frac {mk}{2kl}) & 0 0 & 0 \end{matrix} \right),$$ (6.51)

Quindi si trova un valore di una sola frequenza che è $\sqrt{ \frac km - \frac g{2l}}$. Dovè finita l'altra? Perchè il problema è degenere? Come si procedere correttamente?

Il fatto è che l'uso delle coordinate polare è regolare solo per $r>0$. In questo caso siamo in $r = 0$, dunque per procedere correttamente, bisogna riscrivere la Lagrangiana in altre coordinate, per esempi $(x,y)$, e studiare le piccole oscillazioni in $(0,0)$. Il lettore proceda nel calcolo e verifichi che tutte e due frequenze di oscillazione sono uguali a $\sqrt{ \frac km - \frac g{2l}}$, e che ogni direzione $(x,y)$ è una direzione normale di oscillazione. Inoltre provi per esercizio che le orbite delle piccole oscillazioni sono ellissi con il centro nell'origine.

6.4.3 Riduzione dei gradi di libertà e analisi qualitativa

L'invarianza per rotazioni ha come conseguenza che la variabile $\phi$ è ciclica. Dunque il momento coniugato si conserva: $P=p_{\phi}= mr^2 \dot \phi$ è un integrale primo del moto. Sostituendolo nell'espressione dell'energia meccanica si ottiene:

$$E= \frac 12 m \dot r^2 \dfrac {l^2 + 2 r^2}{l^2+r^2} + \frac 1{2mr^2} P^2 - mg\sqrt{l^2+r^2} + kr^2.$$

Indico con $V_{e} = + \frac 1{2mr^2} P^2 - mg\sqrt{l^2+r^2} + kr^2$, l'energia potenziale efficace. La derivata di $V_e$ è:

$$V_e' = - \dfrac {P^2}{mr^3} - r \dfrac {mg}{\sqrt{l^2+r^2}} + 2kr.$$

Come spesso accade la soluzione esplicita di $V_e'(r)=0$ non sembra essere possibile esplicitamente (esce un'equazione in $r^8$, $r^4$ e $r^2$). Bisogna tentare di capire qualitativamente se esistono soluzioni. L'equazione è:

$$\dfrac {P^2}{mr^4} = k - \dfrac {mg}{\sqrt{l^2+r^2}}.$$

Disegnando il grafico delle due funzioni si capisce che esiste sempre una posizione di equilibrio. Inoltre è unica perché la funzione a sinistra è decrescente e la funzione a destra è crescente.

Disegnando il grafico dell'energia potenziale efficace si vede che l'equilibrio è un minimo, quindi è stabile.

Il lettore completi l'esercizio scrivendo le formule di quadratura per il moto complessivo, e discuta qualitativamente il moto.

6.4.4 La rappresentazione dell'orbita

Come in tutti i casi di potenziali centrali, può essere utile determinare l'orbita nelle variabili $(r,\phi)$, cioè la funzione $r(\phi)$.

Si procede nel modo seguente. Dalla relazione $\dot \phi = \dfrac P{mr^2}$ si scopre che la funzione $t\to \phi$ è strettamente monotona ( crescente se $P$ è positivo). Ma allora: $\dot r = {\dfrac {\partial {r}}{\partial {\phi}}} \dot\phi$. Quindi

$${\dfrac {\partial {r}}{\partial {\phi}}} = \dfrac {mr^2}{P} \dot ... ...m \dfrac {mr^2}{P} \sqrt{ \dfrac 2m \dfrac { l^2 +r^2}{l^2+2r^2} (E -V_e(r))}.$$

Da cui si ottiene l'espressione implicita per l'orbita:

$$\phi = \pm \int^r dr \dfrac {P}{mr^2} \sqrt{\dfrac m2 \dfrac { l^2 +2 r^2}{l^2+ r^2} } \dfrac 1{\sqrt{ E-V_e(r) }}.$$

6.4.5 Domande varie

a) Trova almeno due famiglie di moti periodici.

b) Determina le condizioni iniziali tali che il punto passi per $r = 0$.

c) Studia qualitativamente il moto per i dati iniziali tali che $\dot \phi_0= 0$.

d) (**) Scrivere le equazioni del moto nel caso in cui sul punto materiale agisca una forza di attrito proporzionale alla velocità e diretta nel verso opposto della velocità stessa. Provare che l'energia meccanica decresce. Decresce anche il momento della quantità di moto?

Studiare il limite di $r(t)$ per $t\to+\infty$ al variare dei dati iniziali.