2.4 Alcuni esercizi chiave

2.4.1 La doppia buca con attrito

Considera il moto $\ddot x = x - x^3 -\lambda \dot x$ (moto nella doppia buca di potenziale con attrito). Le posizioni di equilibrio sono $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=0$.

a)

Prova che $x_{1,2}$ sono posizioni di equilibrio stabili, e $x_3$ è instabile.

b)

Prova che per qualunque dato iniziale la traiettoria converge ad una delle posizioni di equilibrio.

c)

Chiediti se esistono traiettorie non stazionarie che tendono a $x_3$.

d)

Determina qualitativamente la regione dello spazio delle fasi che è attratta da $x_1$ e quella attratta da $x_2$ (Suggerimento: disegna nello spazio delle fasi le orbite del sistema senza attrito e i moti del sistema con attrito che tendono alla posizione di equilibrio $x_2$.

Soluzione

2.4.2 Il `ritorno' parte I

Considera una pulce su una circonferenza, che al tempo iniziale sia nel punto di angolo al centro $\phi=0$. Ad ogni secondo la pulce fà un salto di un angolo $\alpha$. Sia $\phi_k$, con $0\le \phi_k<2\pi$, la posizione della pulce al secondo $k$.

a)

Prova che se $\frac \alpha\pi$è razionale il moto della pulce è periodico, cioè esiste $k$ tale che $\phi_k=0$

b)

Prova che se $\frac \alpha\pi$ è irrazionale la pulce non torna mai in $\phi=0$.

c)

Sempre nel caso $\frac \alpha\pi\notin \mathbb{Q}$, prova che esiste una successione crescente di interi $n_k$ tale che $\lim_{k\to +\infty} \phi_{n_k}=0$.

d)

Sempre nel caso $\frac \alpha\pi\notin \mathbb{Q}$, prova che per ogni $\phi$ esiste una successione crescente di interi $n_k$ tale che $\lim_{k\to +\infty} \phi_{n_k}=\phi$ (in altre parole il moto è `denso` sulla circonferenza, o anche l'$\omega-$limite del moto è tutta la circonferenza.

(Vedi Arnold [2])

2.4.3 Il `ritorno' parte II

Considera il seguente moto delle variabili periodiche $\phi_1(t)$ e $\phi_2(t)$ ( sono angoli tra 0 e $2\pi$, cioè $(\phi_1,\phi_2)$ descrivono un toro bidimensionale):

$$\phi_1(t) = \omega_1 t$$

$$\phi_2(t) = \omega_2 t.$$

Il moto in ognuna delle variabili $\phi_i$ è periodico di periodo $T_i={\frac {2\pi}{\omega_i}}$. Prova che il moto complessivo è periodico se e solo se $\frac {\omega_1}{\omega_2}$ è razionale. Prova che nel caso non periodico il moto è denso sul toro. (Vedi Arnold [2])

2.4.4 **

Tratto dall'Arnold di Eq. Diff. [2]

Considera la successione formata dalle prima cifra dell'espressione decimale di $2^n$:

$$\begin{matrix} 2^0=1& \to & 1 \\ 2^1=2& \to & 2 \\ 2^2=4& \to... ...& \to & 1 \\ 2^5=32& \to & 3 \\ 2^6=64& \to & 6 \\ & \dots & \end{matrix}$$

Compare il $7$ nella successione?

Compare più frequentemente il $6$ o l' $8$?

Più in generale $2^n$ può iniziare con una sequenza arbitraria di cifre?

2.4.5 Un esempio di invariante adiabatico

Come si muove un punto materiale soggetto ad una forza di energia potenziale $V(x,t)=V(x-ct)$ con $c$ costante?

Come si muove un punto materiale in presenza di una parete infinitamente rigida che si muove con velocità costante $c$?

Un punto materiale di massa $m$ si muove tra due pareti infinitamente rigide, la prima fissa in $x=0$ e la seconda in $x=z(t)=z_0-\varepsilon t$, con $\varepsilon >0$. All'istante iniziale il punto è in $x=0$ con velocità $v$. Determina, nel $\lim_{\varepsilon \to 0}$, il modulo della velocità del punto nell'istante in cui la barriera mobile è arrivata in $x=\frac 12$.

Prova più in generale che $\lim_{\varepsilon \to 0} \vert v\left(\frac t\varepsilon \right) z\left( \frac t\varepsilon \right)\vert=vz_0$.

Suggerimento: supponi che al tempo $t_0$ la barriera mobile sia in $a$ e la particella sia in 0 con velocità $v$. Calcola il tempo $t_1$ di ritorno della particella in 0, la velocità che ha la particella e la posizione della barriera mobile. Nota che il prodotto della velocità per la posizione della barriera al tempo $t_1$ è identico al prodotto al tempo $t_0$. Estendi ricorsivamente per i ritorni successivi, e determina la successione dei tempi di urto con la parete fissa...

Osservazione

Fisicamente $m\vert v(t)z(t)\vert$ ha le dimensioni di una energia per il tempo (ha le dimensioni dell'azione). Per $z$ costante, l'azione è proporzionale all'area racchiusa dall'orbita nello spazio delle fasi (che in questo caso è un rettangolo!).

È ovvio che $\lim_{\varepsilon \to 0} \vert v(t)z(t)\vert= v_0z_0$, infatti per $\varepsilon = 0$ la barriera è ferma. Questo limite non è uniforme in $t$. Dall'esercizio puoi notare che ad un tempo dell'ordine di $\frac 1\varepsilon$ la variazione di $\vert V(t)z(t)\vert$ rispetto a $v_0z_0$ è di ordine $\varepsilon$.

Cioè l'azione è praticamente invariante, rispetto a variazioni lente (adiabatiche) dei parametri fisici che governano il moto.

Per maggiori dettagli vedi l'Arnold [1] e il Landau [9].

2.4.6 La buca variabile rivisitata

(Autore E. Caglioti)

L'esercizio precedente ha una interpretazione termodinamica.

È facile identificare l'energia interna: $U=\frac 12 v^2$. È anche facile identificare il `volume': sarà $V=z$. La pressione è fisicamente la forza esercitata sull'unità di superficie che racchiude il mezzo. D'altra parte in questo caso la superficie è un punto ($x=0$ oppure $x=z$). Se un punto materiale subisce in un certo tempo $\delta t$ una variazione di impulso $\delta (mv)$, la forza che è stata esercitata su di esso è $\frac {\delta (mv)}{\delta t}$. Per un urto n $x=0$ la variazione di impulso è $2m\vert v\vert$. Nel nostro caso non c'è variazione di impulso se non quando la massa tocca $x=0$. Per dare senso alla pressione, si può pensare di considerare l'impulso scambiato con la parete per un tempo sufficientemente lungo affinché avvengano molti urti, ma sufficientemente piccolo affinché la variazione dovuta al moto della barriera mobile non sia significativa (assunzione possibile se $\varepsilon$ è molto piccolo). In altre parole:

$$P=\frac {2m\vert v\vert k}{\tau_k},$$

dove $k$ è il numero di volte che la massa urta la parete in $x=0$, e $\tau_k$ è il tempo necessario per fare $k$ urti. Evidentemente $\tau_k \eqsim k \frac {2z}{\vert v\vert}$ ($2z$ è la distanza da percorrere per tornare in $x=0$ e $v$ è la velocità).

In definitiva, l'interpretazione termodinamica del moto di una particella tra due pareti perfettamente rigide a distanza $z$ dà:

$$\begin{matrix} U=\frac 12 mv^2 \\ V=z\\ P=\frac {mv^2}z. \end{matrix}$$

Prova che se $z$ varia molto lentamente,

$$TdS=dU+PdV=0,$$

cioè la trasformazione è adiabatica.

Osservazione

Fare la termodinamica di una sola particella è abbastanza privo di senso. Si possono considerare, più correttamente, moltissime particelle tra le pareti, che non urtano tra di loro. Questa situazione può far pensare ad un gas perfetto, per cui la termodinamica ha senso, e la pressione è cinematicamente definita attraverso l'impulso scambiato con le pareti. Tenete presente, però, che un insieme di particelle che non urtano tra loro NON sono un gas perfetto. Infatti manca il meccanismo di termalizzazione tipico, ad esempio, dell'equazione di Boltzmann.

2.4.7 Altri esempi di invarianti adiabatici

Teorema dell'invarianza adiabatica.

Supponi di avere un moto unidimensionale in cui l'energia totale, oltre che dipendere dalla posizione e dalla velocità, dipenda da un parametro $\lambda$, cioè $E=E(x,\dot x, \lambda)$. Come esempio puoi pensare a $E= \frac 12 \lambda \dot x^2 +V(x)$, dove la massa stessa è il parametro $\lambda$, oppure $E=\frac 12 m\lambda^2\dot \theta^2 -m g\lambda \cos \theta$, dove $\lambda$ ha le dimensioni di una lunghezza.

Supponi, inoltre, che il moto assegnato sia in generle periodico, ed indica con $I(E)$ la misura dell'area, nello spazio delle fasi, della regione racchiusa dall'orbita di energia $E$.

Considera ora il moto con energia totale dipendente dal tempo attraverso $\lambda$: $E=E(x,\dot x, \varepsilon t)$, con $\varepsilon$ piccolo.

Il teorema adiabatico afferma che

$$\vert I(E(t))-I(E(0))\vert\le c \varepsilon ,$$

per $0\le t \le \frac 1\varepsilon$.

In altre parole, per variare l'azione di $\varepsilon$ devo aspettare un tempo di ordine $\frac 1\varepsilon$.

In questo enunciato mancano delle ipotesi importanti. Per l'enunciato preciso e per la dimostrazione vedi, tra gli altri, l'Arnold [1]

Considera un pendolo la cui massa diminuisce lentamente con il tempo. Di quanto varia l'ampiezza delle oscillazioni se la massa si dimezza?

Una massa è appesa ad un filo ed oscilla. Se dimezzo lentamente la lunghezza del filo, come cambia l'ampiezza delle oscillazioni?

Considera il moto unidimensionale di energia totale

$$\frac 12 \dot r^2 + \frac {l^2}{2r^2} - \frac kr.$$

Considera un dato iniziale che compia piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile. Se $k$ si dimezza molto lentamente, come cambia il moto?

(**) Un satellite in orbita intorno alla Terra descrive un'orbita poco eccentrica. Come cambia l'orbita se il momento della quantità di moto del satellite raddoppia molto lentamente?