2.5 Altri esercizi sui moti unidimensionali (2001)

2.5.1

Sia $V(x) = \arctan(x) + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$ l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$, disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare

• determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilità
• dato $(x_0, \dot x_0) = (0,0)$, dato iniziale, determinare $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$

Considerare ora il moto $\ddot x = -\dfrac{d }{dx}V - \beta \dot x$, con $\beta>0$. Determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità.

Per $\alpha>-1$ e $\beta>0$ determinare $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$ se $(x_0, \dot x_0) = (0,0)$.

(*) Risolvere, qualitativamente, il punto precedente nel caso $\alpha \le -1$.

(*) Sempre nel caso $\beta>0$, esiste $v>0$ tale che per il moto di dato iniziale $(0,v)$ vale $\lim_{t\to +\infty} = +\infty$?

2.5.2

Sia $V(x) = \arctan(x) + \dfrac {\alpha x}{1+x^2}$ l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$, disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare

• determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilità
• dato $(x_0, \dot x_0) = (0,0)$, dato iniziale, determinare $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$
• se $(x_0, \dot x_0) = (0,v)$, per quali valori di $v$, in funzione di $\alpha$, $\lim_{t\to +\infty} x(t) = +\infty$?

2.5.3

Sia $V(x) = x^4e^{-x}$. l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare

• determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilità
• determinare la frequenza delle piccole oscilazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
• se $(x_0, \dot x_0) = (0,v)$, per quali valori di $v$ vale $\lim_{t\to +\infty} x(t) = +\infty$? In tal caso;
  • quant'è $\lim_{t\to +\infty} \dot x(t)$?
  • con che velocità, in funzione di $v$, il punto passa per $x=4$?
  • dare l'espressione del tempo che il punto materiale impiega per arrivare in $x=8$, in funzione di $v$.

2.5.4

Sia $V(x) = -x^2e^{-x}$. l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare,

• calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
• se $(x_0,\dot x_0) = (2,v)$, per quali valori di $v$ il moto tende a $+\infty$? E per quali tende a $-\infty$? In tal caso calcolare in quanto tempo il punto materiale raggiunge $-\infty$.

2.5.5

Sia $V(x) = \dfrac {x^2}2 + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$. l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$. In particolare,

• determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
• per $\alpha = 1$ determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
• per $\alpha = \dfrac 12$ determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
• per $\alpha = 1$ e per il dato iniziale $(-1,v)$, determinare i valori di $v$ per quali il moto passa per $x=1$. Dare l'espressione del tempo impiegato, in funzione di $v$.
• con i dati del caso precedente, con che velocità il punto materiale passa per $x=0$?
• (*) determinare $\lim_{E\to +\infty} T(E)$, dove $T(E)$ è il periodo del moto di energia $E$.
• (*) sempre per $\alpha = 1$, discutere i valori di $T$ per i quali esiste un moto periodico di periodo $T$.

2.5.6

Sia $V(x) = -\dfrac {x^2}2 + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$. l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$. In particolare,

• determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
• per $\alpha = -1$, determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
• per $\alpha = -2$ e $x_0=0$, determinare i valori della velocità iniziale $v$ per i quali il moto è illimitato
• nel caso dei dati del punto precedente, se il moto è illimitato, determinare $\lim_{t\to +\infty} \dfrac {x(t)}{\dot x(t)}$, al variare di $v$

2.5.7

Sia $V(x) = \sqrt{1+x^2} + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$. l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$. In particolare,

• determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
• determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
• se $(-1,0)$ è il dato iniziale, per quali valori di $\alpha$ il moto è periodico?
• (*) determinare $\lim_{E\to +\infty} T(E)$, dove $T(E)$ è il periodo del moto di energia $E$.

2.5.8

Sia $V(x) = -\sqrt{1+x^2} + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$. l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$. In particolare,

• determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
• determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
• se $(-1,0)$ è il dato iniziale, per quali valori di $\alpha$ il moto è periodico?
• sia $(0,v)$ il dato iniziale; per quali valori di $v$ il moto è illimitato?
• (*) nel caso dei moti illimitati del punto precedente, determinare $\lim_{t\to +\infty} \dfrac {\dot x^2(t)}{x(t)}$, al variare di $v$.

2.5.9

Sia $V(x) = x + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$. l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$. In particolare,

• determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
• determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili