2.5 Altri esercizi sui moti unidimensionali (2001)

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2.5 Altri esercizi sui moti unidimensionali (2001)

2.5.1

Sia $V(x) = \arctan(x) + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$ l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ , disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare

determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilità
dato $(x_0, \dot x_0) = (0,0)$ , dato iniziale, determinare $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$

Considerare ora il moto $\ddot x = -\dfrac{d }{dx}V - \beta \dot x$ , con $\beta>0$ . Determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità.

Per $\alpha>-1$ e $\beta>0$ determinare $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$ se $(x_0, \dot x_0) = (0,0)$ .

(*) Risolvere, qualitativamente, il punto precedente nel caso $\alpha \le -1$ .

(*) Sempre nel caso $\beta>0$ , esiste tale che per il moto di dato iniziale vale $\lim_{t\to +\infty} = +\infty$ ?

2.5.2

Sia $V(x) = \arctan(x) + \dfrac {\alpha x}{1+x^2}$ l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ , disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare

determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilità
dato $(x_0, \dot x_0) = (0,0)$ , dato iniziale, determinare $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$
se $(x_0, \dot x_0) = (0,v)$ , per quali valori di , in funzione di $\alpha$ , $\lim_{t\to +\infty} x(t) = +\infty$ ?

2.5.3

Sia $V(x) = x^4e^{-x}$ . l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare

determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilità
determinare la frequenza delle piccole oscilazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
se , per quali valori di vale ? In tal caso;
- quant'è $\lim_{t\to +\infty} \dot x(t)$ ?
- con che velocità, in funzione di , il punto passa per ?
- dare l'espressione del tempo che il punto materiale impiega per arrivare in , in funzione di .

2.5.4

Sia $V(x) = -x^2e^{-x}$ . l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare,

calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
se $(x_0,\dot x_0) = (2,v)$ , per quali valori di il moto tende a $+\infty$ ? E per quali tende a $-\infty$ ? In tal caso calcolare in quanto tempo il punto materiale raggiunge $-\infty$ .

2.5.5

Sia $V(x) = \dfrac {x^2}2 + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$ . l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ . In particolare,

determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
per $\alpha = 1$ determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
per $\alpha = \dfrac 12$ determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
per $\alpha = 1$ e per il dato iniziale , determinare i valori di per quali il moto passa per . Dare l'espressione del tempo impiegato, in funzione di .
con i dati del caso precedente, con che velocità il punto materiale passa per ?
(*) determinare $\lim_{E\to +\infty} T(E)$ , dove è il periodo del moto di energia .
(*) sempre per $\alpha = 1$ , discutere i valori di per i quali esiste un moto periodico di periodo .

2.5.6

Sia $V(x) = -\dfrac {x^2}2 + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$ . l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ . In particolare,

determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
per $\alpha = -1$ , determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
per $\alpha = -2$ e , determinare i valori della velocità iniziale per i quali il moto è illimitato
nel caso dei dati del punto precedente, se il moto è illimitato, determinare $\lim_{t\to +\infty} \dfrac {x(t)}{\dot x(t)}$ , al variare di

2.5.7

Sia $V(x) = \sqrt{1+x^2} + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$ . l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ . In particolare,

determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
se è il dato iniziale, per quali valori di $\alpha$ il moto è periodico?
(*) determinare $\lim_{E\to +\infty} T(E)$ , dove è il periodo del moto di energia .

2.5.8

Sia $V(x) = -\sqrt{1+x^2} + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$ . l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ . In particolare,

determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
se è il dato iniziale, per quali valori di $\alpha$ il moto è periodico?
sia il dato iniziale; per quali valori di il moto è illimitato?
(*) nel caso dei moti illimitati del punto precedente, determinare $\lim_{t\to +\infty} \dfrac {\dot x^2(t)}{x(t)}$ , al variare di .

2.5.9

Sia $V(x) = x + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$ . l'energia potenziale di un moto unidimensionale. Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, al variare di $\alpha \in \mathbb{R}$ . In particolare,

determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilità
determinare la frequenza delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili

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