2.3 Moti forzati e smorzati

Per le oscillazioni forzate e smorzate mi vengono in mente due testi: il Landau [9] e il Gallavotti [6].

2.3.1

Risolvi il moto $\ddot x = -\lambda \dot x + (1+\cos (\omega t))$. Esistono soluzioni stazionarie? Esistono moti periodici? Esiste $\lim_{t\to +\infty} x(t)$?

2.3.2

Risolvi

$$\ddot x = -x -2\lambda \dot x+\sin(t) + \cos(2t),$$

con dato iniziale $(0,0)$, per $\lambda = 0$ e $\lambda = \frac 45$.

2.3.3 *

Sia $f(t)$ una funzione periodica di periodo $T= \frac {2\pi}\omega$. Assumi che sia almeno di classe ${\mathbf {C}}^2$ (derivabile due volte con derivata seconda continua e limitata).

La funzione $f$ può essere sviluppata in serie di Fourier:

$$f(t)= \sum_{k\in \mathbb{Z}} c_k e^{i\omega k t},$$

dove $c_k = \frac 1T \int_0^T dt e^{-i\omega k t } f(t) dt.$ Ricorda che $c_{-k}= \bar c_k$, per la realtà di $f$, e $\vert c_k\vert\le \frac {C}{k^2}$ per $k\neq 0$ (per l'ipotesi ${\mathbf {C}}^2$).

Trova per serie una soluzione particolare di

$$\ddot x = -x -2\lambda \dot x +f(t),$$

per $\lambda = 0$ e $\lambda = \frac 45$, al variare di $\omega$. Che condizioni devi imporre su $c_k$ e $\omega$ affinché il moto sia limitato?

2.3.4 *

Considera l'oscillatore armonico forzato

$$\ddot x = -\omega_0^2 x + \cos(\omega t).$$

Per quali valori di $\omega$ esistono moti periodici?

Prova che tutti i moti sono periodici se e solo se $\frac {\omega_1}\omega$ è razionale e diverso da $1$.

Prova che se $\frac {\omega_1}\omega$ è irrazionale, il moto nello spazio delle fasi riempie densamente una regione. Che regione è? (Suggerimento: vedi l'esercizio 2.4.2)

2.3.5 *

Considera il moto $\ddot x = - x + \mathcal X\{0\le x \le 1\} \mathcal X\{\dot x \ge 0 \}$.

L'energia meccanica si conserva?

Considera il dato iniziale $(x_0, \dot x_0) = (0,0)$. Risolvi esplicitamente il moto fino al primo tempo di ritorno del punto materiale in $x=0$ con velocità positiva.

Come avviene il moto fino al secondo ritorno?

E dopo?

Sia $t_k$ il tempo in cui il punto materiale ritorna in $x=0$ con velocità positiva. Trova $\lim_{k\to +\infty} (t_{k}-t_{k-1})$.

(Vedi la parte sullo ``scappamento ad ancora'' sul Gallavotti [6] )