3.4 Alcuni esercizi chiave

3.4.1 La doppia buca con attrito

Considero nel seguito solo il caso di $\lambda$ piccolo. Per $\lambda$ grandi le affermazioni restano vere, ma i grafici cambiano (come cambiano?).

a) L'energia è un integrale primo del moto per il sistema senza attrito. In presenza di attrito $\dfrac{d }{dt}E = -\lambda {\dot x}^2$. Quindi anche in presenza di attrito $E$ è una funzione di Lyapunov per i punti di minimo dell'energia potenziale $x_1$ e $x_2$. Dunque senz'altro queste due posizioni sono stabili. Il teorema di Lyapunov, pur decrescendo l'energia, non permette di concludere immediatamente che $x_1$ e $x_2$ sono asintoticamente stabili. Infatti $\dfrac{d }{dt}E$ è 0 non solo nella posizione di equilibrio ma anche in tutti i punti dello spazio delle fasi in cui $\dot x = 0$. Procedo dunque con l'analisi del linearizzato¹. Riscrivo l'equazione del moto come un sistema (non lineare ) del primo ordine.

$$\dfrac{d }{dt}\binom{x}{v}= \binom{v}{x-x^3-\lambda v}.$$

Lo Jacobiano del campo è

$$\left( \begin{matrix}0 & 1 1-3x^2 & -\lambda \end{matrix}\right).$$

Nei punti $x=\pm 1$ vale

$$\left( \begin{matrix}0 & 1 -2 & -\lambda\end{matrix}\right),$$

che ha entrambi gli autovalori con parte reale negativa. Nel punto 0 la matrice è

$$\left( \begin{matrix}0 & 1 1 & -\lambda \end{matrix}\right),$$

che ha traccia negativa e determinante positivo, quindi ha due autovalori reali di segno opposto. In conclusione le posizioni $x_{1,2}$ sono asintoticamente stabili, la posizione $x=0$ è instabile.

b) L'energia meccanica non è conservata e decresce nel tempo. Dunque esiste $\bar E = \lim_{t\to +\infty} E(t)$ ($E(t)$ è limitata dal basso da $-\frac 14$). Dunque il moto, nel limite $t$ che va a infinito, tende ad avere energia costante. L'idea intuitiva è che il moto deve tendere ad una soluzione di equilibrio, se no l'energia continuerebbe a decrescere invece che tendere al valore $\bar E$.

L'analisi rigorosa di questo fatto è un po' astratta: So che l'energia in funzione del tempo ha limite $\bar E$, in particolare $E(t)$ è limitata. Ne segue che il moto, nello spazio delle fasi, è limitato.

Sia $(\tilde x, \tilde v)$ un punto di accumulazione per la traiettoria, cioè esista una sequenza crescente di tempi $t_k$, con $t_k\to +\infty$ per $k\to +\infty$, tale che $\lim_{k\to +\infty} (x(t_k),\dot x(t_k)=(\tilde x,\tilde v)$ ². Considero adesso, per $\tau>0$ assegnato, la successione di punti dell'orbita $(x(t_k+\tau), \dot x(t_k+\tau))$.

L'osservazione importante, a questo punto, è che la mappa che dà la soluzione al tempo $\tau$ del sistema differenziale autonomo che stiamo considerando è continua nel dato iniziale.

In altre parole:

$$\lim_{k\to +\infty} (x(t_k+\tau), \dot x(t_k+\tau)) = (\tilde x (\tau), \dot {\tilde x} (\tau)),$$

che è la soluzione al tempo $\tau$ di dato iniziale $(\tilde x, \tilde v)$. Ne segue che $E(t_k +\tau)$ tende a $E(\tilde x (\tau), \dot {\tilde x} (\tau))$. Ma $E(t) \to \bar E$ dunque, se $(\tilde x, \tilde v)$ non è un punto di equilibrio

$$\bar E=\lim_{k\to +\infty} E(t_k+\tau)= E(\tilde x (\tau), \dot {\tilde x} (\tau)) < E(\tilde x, \dot {\tilde x}) = \bar E,$$

che è impossibile. Dunque i punti di accumulazione della traiettoria sono solo le posizioni di equilibrio. Dal fatto che l'energia decresce segue che per ogni traiettoria il punto di accumulazione è unico.

Una dimostrazione più costruttiva è possibile ed istruttiva, anche se più complessa.

Il primo fatto importante è che se ad un certo istante di tempo $\bar t$ il punto è in $\bar x$ con velocità $\bar v>0$ allora la funzione $t\to x(t)$ è invertibile in un intorno di $\bar t$, essendo $\dfrac{d }{dt}x(\bar t)=\bar v \ne 0$. Cioè posso pensare il tempo come funzione della posizione, quindi posso pensare l'energia come funzione della posizione:

$$\dfrac{d }{dx}E = \dfrac{d }{dt}E \frac {dt}{dx} = -\lambda \dot x(t)= -\lambda \sqrt{2(E(x)-V(x))}.$$ (3.2)

Questa è una equazione differenziale per $E(x)$, con dato iniziale $E(\bar x)= \frac 12 {\bar v}^2+V(\bar x)$ nel punto $\bar x$. Essendo $\bar v\neq 0$ sono nelle condizioni di esistenza e unicità locale delle soluzioni (questo non è vero se $\bar v=0$...). Quindi $E(x)$ è una funzione decrescente in $x$, e l'equazione vale fino al primo $\tilde x$ tale che $E(\tilde x)=V(\tilde x)$ (vedi la figura 1).

Figura 1: $E(x)$ (in rosso)

La domanda importante è se il tempo per arrivare in $\tilde x$ è finito o infinito. In tutti gli $x$ tra $\bar x$ e $\tilde x$ ci arrivo in tempo finito, perchè la velocità è $\sqrt{2(E(x)-V(x))}$ che è diversa da 0 se $x< \tilde x$. D'altra parte, nota $E(x)$, il tempo per arrivare in $\tilde x$ è ovviamente

$$\tilde t -\bar t = \int_{\bar x}^{\tilde x} \frac {dx}{\sqrt{2(E(x)-V(x))}}.$$ (3.3)

Dunque per capire se il tempo è finito devo discutere la sommabilità dell'integrale intorno a $\tilde x$. Scrivo l'equazione differenziale per $\delta(x)=E(x)-V(x)$:

$$\dfrac{d }{dx}\delta(x) = -\lambda \sqrt{2\delta(x)} - V'(x).$$ (3.4)

Quando $\delta$ è piccolo, e se $\tilde x$ non è un punto di equilibrio, $x$ è vicino a $\tilde x$, dunque, al primo ordine significativo, l'equazione 3.4 è

$$\dfrac{d }{dx}\delta(x) = -\lambda \sqrt{2\delta(x)} - c,$$

con $c=V'(\tilde x)$, cioè meno la forza in $\tilde x$. Quest'ultima equazione è esplicitamente risolubile e dà:

$$\frac {\sqrt{2\delta(x) }}{\lambda} - \frac c\lambda \log \left( 1+ \frac {\sqrt{2\delta}}{c} \right)= \tilde x - x.$$

Sviluppando a $\delta$ piccoli si ottiene che $\delta \eqsim const. (\tilde x - x)$, dunque l'integrale è sommabile ed il tempo è finito.

Cosa accade dopo il tempo $\tilde t$? Sul punto la forza non è nulla, dunque si muoverà verso sinistra e di nuovo l'equazione 3.2 descrive $E$ in funzione di $x$. Ripetendo il ragionamento, è evidente che il punto di ferma solo quando $E$ uguaglia $V(x)$ in un punto in cui la forza è 0, cioè solo se il punto tende ad una posizione di equilibrio.

c) Nel punto a) ho provato che la soluzione stazionaria $x_3$ è instabile. Nonostante ciò esistono traiettorie che tendono a $x_3$. Un modo per convincersi che è così è quello di considerare un caso più semplice, cioè il linearizzato intorno a $x_3$. L'equazione del moto diventa

$$\ddot x = x - \lambda \dot x,$$

che è un'equazione lineare esplicitamente risolubile. Non è difficile verificare che esiste un autovettore di autovalore negativo per la matrice

$$\left( \begin{matrix} 0 & 1 1 & -\lambda \end{matrix} \right).$$

I moti che hanno dato iniziale su questo autovettore tendono esponenzialmente a $(0,0)$, cioè sono attratti dall'origine. Tutti gli altri si allontanano esponenzialmente. Questo autovettore prende il nome di varietà stabile per il punto di equilibrio (instabile) $(0,0)$. Cosa accade per il sistema non lineare della doppia buca? È ragionevole pensare che la varietà stabile continua ad esistere ma non sarà più una retta. Solo per $(x,\dot x)$ piccolo si confonderà con la varietà stabile del linearizzato. Nota che anche nel caso senza attrito la varietà stabile esiste. È esattamente la separatrice, cioè la curva con energia 0.

Figura 2: La varietà stabile (in rosso)

Nella figura 2 ho disegnato alcune orbite del sistema senza attrito (in nero), la varietà stabile nel caso senza attrito (la separatrice in blu), e la varietà stabile nel caso con attrito (in rosso).

La dimostrazione rigorosa dell'esistenza della varietà stabile nei casi non lineari è complicata (vedi Dell'Antonio [4]), comunque qui mi limito a far notare che si può provare a trovare la soluzione di 3.4 ( che equivale all'equazione 3.2) per serie. Nel caso $\lambda = 2^{-\frac 12}$ (esercizio) si ha:

$$\delta(x) = \frac 14 x^2 -\frac 15 x^4 +\dots .$$

Faccio notare che per $\delta = 0$ in $x=0$ il termine di destra non verifica le condizioni standard per l'esistenza e unicità delle soluzioni...

d) Assunta per buona la figura 2 è facile capire quali sono i dati iniziali che vengono attratti dalla posizione $x_1$ e quali quelli attratti dalla posizione $x_2$. Infatti la varietà stabile divide il piano delle fasi in due regioni distinte, una che contiene il punto $x_1$, l'altra che contiene il punto $x_2$.

La figura 2 si giustifica facilmente considerando che l'energia sulla varietà stabile cresce per $t\to -\infty$. Quindi man mano (con il tempo invertito) essa interseca curve di livello di energia sempre più alta. Inoltre ognuno dei due rami della varietà stabile incontra una curva di livello una ed una sola volta, trasversalmente se $\dot x \ne 0$, tangente se $\dot x = 0$.

Una ulteriore domanda che ci si può porre, è di quanto aumenta l'energia ogni volta che il punto passa per la posizione $x=0$, mandando il tempo a $-\infty$. Tornando alla figura 1, e indicando con $E_1$ il valore dell'energia nel punto $\tilde x$ dove il moto inverte la velocità:

$$E(0)-E_1=\lambda \int_0^{\tilde x} \sqrt{2(E(x)-V(x))}.$$

Ora per $0<x<\tilde x$, $E(x)\ge E(\tilde x)$ quindi

$$E(0)-E_1\ge \lambda \int_0^{\tilde x} \sqrt{2(E_1-V(x))},$$

che, se $E_1$ è molto grande, dà l'andamento

$$E(0)-E_1 \ge const. E_1^{\frac 12} \tilde x.$$

Ma se $E_1$ è grande $\tilde x > const E_1^{\frac 14}$. In definitiva $E(0)-E_1 \ge const. E_1^{\frac 34}$. Il che significa che man mano che mi allontano da $(0,0)$ la distanza tra i passaggi della varietà stabile per l'asse $\dot x$ cresce.

Nella figura 3.4.1 ho disegnato la curva $(x,E(x))$ per il ramo della varietà stabile che arriva nell'origine con velocità negativa. A quale posizione di equilibrio tende il moto che parte con velocità positiva, energia $E$ e posizione iniziale nulla?