2.1 Esercizi sui moti unidimensionali

Sono trattati in tutti i libri di meccanica. Un'esposizione molto chiara è sull'Olivieri [10].

2.1.1

Calcola il periodo delle oscillazioni del moto unidimensionale di energia potenziale $V(x)=\vert x\vert^{\alpha}$, per $\alpha \ge 2$, in funzione dell'energia (vedi Landau [9]).

Soluzione

2.1.2

Considera il moto unidimensionale $\ddot x = x$. Trova il moto con dato iniziale $(x_0, \dot x_0)= (1,-1)$. In quanto tempo la traiettoria arriva in $x=0$?

Trova tutti i dati iniziali tali che $\lim_{t\to +\infty}x(t) = 0$.

Trova tutti i dati iniziali tali che $\lim_{t\to +\infty}\dot x(t) = 0$.

Soluzione

2.1.3 La doppia buca di potenziale

Considera il moto di un punto materiale di massa $1$ nella ``doppia buca di potenziale'' $\ddot x = x - x^3$.

Disegna le orbite nello spazio delle fasi.

Discuti la stabilità delle posizioni di equilibrio.

Determina il numero delle orbite ad energia $E$, al variare di $E$.

Considera il dato iniziale $(x_0,\dot x_0)=(-1,v)$; per quali valori di $v\in \mathbb{R}$ il punto materiale raggiunge la posizione $1$?

Con che velocità ci arriva?

Per $E=0$ il moto avviene sulla ``separatrice''. Con che angolo la separatrice interseca gli assi?

Soluzione

2.1.4 La doppia buca parte II

Considera il moto di un punto materiale di massa $1$ di energia potenziale $V(x) = \frac {x^4}4 + \alpha \frac {x^2}2$, con $\alpha \in \mathbb{R}$.

Discuti qualitativamente il moto al variare di $\alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio e la loro stabilità al variare di $\alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al variare di $\alpha$.

Soluzione

2.1.5

Considera il moto di un punto materiale di massa $1$ di energia potenziale $V(x)= x^3 + \alpha x$, con $\alpha \in \mathbb{R}$.

Discuti qualitativamente il moto al variare di $\alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio e la loro stabilità al variare di $\alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al variare di $\alpha$.

Soluzione

2.1.6 Variante della doppia buca

Considera il moto di un punto materiale di massa $1$, soggetto ad una forza di energia potenziale $V(x)= \frac {x^6}6 - \frac {\alpha}2 (x^4 -x^2)$, con $\alpha \in \mathbb{R}$.

Discuti qualitativamente il moto al variare di $\alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio e la loro stabilità al variare di $\alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al variare di $\alpha$.

Soluzione

2.1.7 Il pendolo su un piano ruotante

Considera il moto

$$mR^2 \ddot \theta = -Rmg \sin \theta + mR^2\Omega^2 \sin \theta \cos \theta,$$

dove $\theta$ è un angolo, $m>0$ la massa, $R>0$ una lunghezza, $g\ge 0$ un'accelerazione e $\Omega\ge 0$ una frequenza. Questa equazione descrive un pendolo, cioè un punto materiale di massa $m$ su un estremo di un'asta di lunghezza $R$ con l'altro estremo fissato, soggetta alla forza di gravità, su di un piano verticale che ruota con velocità costante di frequenza $\Omega$. L'angolo $\theta$ è misurato dala verticale. Quando $\theta=0$ il punto materiale si trova nella posizione di minima altezza.

Discuti qualitativamente il moto. In particolare studia l'esistenza e la stabilità delle posizioni di equilibrio al variare del parametro $\lambda = \frac g{R\Omega^2}$. Che dimensioni fisiche ha $\lambda$? Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al variare di $\lambda$. (Vedi Dell'Antonio [5]).

Considera il dato iniziale $(\theta_0, \dot \theta_0)= (-\frac {\pi}2, 0)$.

Prova che il moto è periodico e scrivi il periodo dell'orbita.

In quanto tempo il pendolo arriva in $\theta= \frac {\pi}2$?

Con che $\dot \theta$ ci arriva?

Quanto vale $\dot \theta$ quando il pendolo passa per $\theta=0$?

Quant'è il valore massimo che $\dot \theta$ assume?

Per quali istanti di tempo $\dot \theta$ raggiunge il massimo?

Quanto vale $\theta$ quando $\dot \theta$ è massimo?

Considera il dato iniziale $(\theta_0, \dot \theta_0)= (-\frac {\pi}2, \omega)$, con $\omega >0$.

Per quali valori di $\omega$ il pendolo ha un moto periodico?

Esprimi per tali valori il periodo del moto.

Determina l'andamento asintotico del periodo per $\omega \to +\infty$.

La componente verticale della reazione vincolare è:

Reazione$$= mg + mR ({\dot \theta}^2 \cos \theta + \ddot \theta \sin \theta).$$

(Perché ?) Determina il suo andamento asintotico per $\omega \to +\infty$, quando il pendolo è in $\theta = 0, \frac {\pi}2, \pi$.

Soluzione

2.1.8

Considera il moto di un punto materiale di massa $m$, di energia potenziale

$$V(x)=-\frac 12 m\Omega^2 x^2 -mgl \left( 1 +\cos \left(\frac xl ... ...ht) \right) \mathcal X\left( \left\vert \frac xl \right\vert \le \pi \right),$$

dove $l>0, g\ge 0$ hanno, rispettivamente, le dimensioni di una lunghezza e di una accelerazione, e $\Omega\ge 0$ ha le dimensioni di una frequenza. Nota che gli aspetti qualitativi del moto dipendono dai parametri fisici $l, g, \Omega$ attraverso un unico parametro adimensionale. Discuti qualitativamente il moto, in particolare l'esistenza delle posizioni di equilibrio e la loro stabilità.

Soluzione

2.1.9

Considera il moto di un punto materiale di massa $m$, di energia potenziale

$$V(x)=\frac 12 k x^2 +mgl \left( 1 +\cos \left(\frac xl \right) \right) \mathcal X\left( \left\vert \frac xl \right\vert \le \pi \right),$$

dove $l>0, g\ge 0, k\ge 0$, hanno, rispettivamente, le dimensioni di una lunghezza, di una accelerazione e di una costante di elasticità. Nota che gli aspetti qualitativi del moto dipendono dai parametri fisici $m, l, g, k$ attraverso un unico parametro adimensionale. Discuti qualitativamente il moto, in particolare l'esistenza delle posizioni di equilibrio e la loro stabilità.

Soluzione

2.1.10

Un punto materiale di massa $1$ si muove su una retta sotto l'azione di una forza di energia potenziale $V(x)=-x^3+x^2$. Considera i dati iniziali di energia totale $E=\frac 18$, e sia $\dot x_0=\frac 12$. Determina i valori di $x(0)$ per i quali il moto è periodico e dai un'espressione del periodo. Soluzione

2.1.11

Un punto materiale di massa $1$ si muove su una retta sotto l'azione di una forza di energia potenziale $V(x)=\sqrt{x^2+1}+ax^2$, con $a\in \mathbb{R}$.

Per quali valori di $a$ tutte le orbite sono limitate?

Per quali valori di $a$ l'origine è stabile?

Risposta

2.1.12 *

Un punto materiale di massa $1$, su una retta, inizialmente in $x=0$ con velocità $\dot x = 1$, si muove sotto l'azione di una forza di energia potenziale $V(x)=-\sqrt{x^2+1}$.

Prova che il moto è illimitato.

Prova che esiste un'accelerazione asintotica (cioè $\lim_{t\to +\infty} \ddot x$ è finito)

Prova che asintoticamente nel tempo il moto tende ad un moto uniformemente accelerato. In altri termini esistono $\tilde x$, $\tilde v$, e $a$ tali che $\lim_{t\to \infty} \vert\dot x(t)-(\tilde v + t a)\vert=0$ e $\lim_{t\to \infty} \vert x(t)-(\tilde x+t\tilde v + \frac {t^2}2 a)\vert=0$.

Soluzione

2.1.13

Un punto materiale di massa $1$ si muove sulla semiretta $x>0$ soggetto ad una forza di energia potenziale $V(x)= -\frac 1x +\frac 1{2x^2}$.

Per quali dati iniziali il moto è periodico?

Per quali dati iniziali il moto non è periodico?

Per quali dati iniziali il moto è illimitato?

Quali solo le soluzioni stazionarie?

Sia $x_0=\frac 12$ e $\dot x_0= 1$. Determina $\lim_{t\to +\infty} \dot x(t)$.

Sia $x_0=\frac 12$ e $\dot x_0= -1$. Qual è il massimo della velocità che il punto raggiuge? E qual è il minima?

Risposta

2.1.14 *

Sia $V(x)=1+\cos x$ per $\vert x\vert\le \pi$, e $V(x)=0$ per $\vert x\vert\ge \pi$.

Discuti qualitativamente il moto.

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale $V_{\varepsilon }(x)= V(\frac x\varepsilon )$ con $\varepsilon >0$; cosa accade nel limite $\varepsilon \to 0$?

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale $V_{\varepsilon }(x)= \frac 1\varepsilon V(\frac x\varepsilon )$ con $\varepsilon >0$; cosa accade nel limite $\varepsilon \to 0$?

Qual è il moto di una particella che rimbalza contro un ``muro infinitamente rigido''?

Soluzione

2.1.15 *

Sia $V(x)=-(1+\cos x)$ per $\vert x\vert\le \pi$, e $V(x)=0$ per $\vert x\vert\ge \pi$.

Discuti qualitativamente il moto.

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale $V_{\varepsilon }(x)= \frac 1\varepsilon V(\frac x\varepsilon )$ con $\varepsilon >0$, per dati iniziali di energia totale positiva. Cosa accade nel limite $\varepsilon \to 0$?

Soluzione

2.1.16

Sia $V(x)=\vert x\vert$. Discuti qualitativamente il moto. Quant'è la forza in $x=0$? Sia $V(x)=-\vert x\vert$. Trova il moto di dato iniziale $(x_0, \dot x_0)=(-1,v)$ al variare di $v>0$. Considera ora $V(x)=-\sqrt{a^2+x^2}+a$, con $a>0$. Determina il moto di dato iniziale $(x_0, \dot x_0)=(-1,v)$ al variare di $v>0$, e il limite di tale moto per $a\to 0$.

Soluzione

2.1.17 *

Sia $V(x)=-\vert x\vert^{\alpha}$ con $\alpha >0$. Considera il dato iniziale $(x_0, \dot x_0)=(1, 0)$. In quanto tempo il punto materiale raggiunge $+\infty$? Per quanto tempo il moto esiste?

Sia $V(x)\ge M$ per ogni $x$ reale. Prova che $\vert x(t)\vert\le c_1 + c_2 t$, per $c_1, c_2$ costanti opportune che dipendono dal dato iniziale. Prova che il moto esiste per tutti i tempi.

Soluzione

2.1.18

Sia $V(x)=x+\alpha \sin x$, con $\alpha >0$. Discuti qualitativamente il moto al variare di $\alpha$. In particolare trova gli $\alpha$ per cui esistono soluzioni stazionarie e discutine la stabilità. Determina per quali $\alpha$ esistono orbite periodiche.

Soluzione

2.1.19 *

Sia $V(x)=\sin(x)+\sin(\alpha x)$, con $0<\alpha<1$, e $(x_0, \dot x_0)=(0,2)$. Determina $\lim_{t\to \infty} x(t)$ al variare di $\alpha$. (Suggerimento: vedi l'esercizio sul ritorno)

Soluzione

2.1.20

Sia $V(x)=(1+\cos(x))\sin\left(\frac x\varepsilon \right)$, e $(x_0, \dot x_0)=(0,2)$. Per quali valori di $\varepsilon$ il moto è illimitato? Soluzione

2.1.21 **

Sia $V(x)=2\sin\left( \frac x\varepsilon \right)$, $x_0=0$ e $\dot x_0 > 2$. Determina il tempo necessario per raggiungere $x=1$, nel limite $\varepsilon \to 0$. Soluzione

2.1.22 ***

Sia $V(x)=(1+\cos(x))\sin\left(\frac x\varepsilon \right)$, e $(x_0, \dot x_0)=(-\pi,2)$. Indica con $t_{\varepsilon }$ il tempo necessario per raggiungere $x=\pi$. Prova che $\lim_{\varepsilon \to 0} t_\varepsilon$ è finito. Sia $t_{\varepsilon }(x)$ il tempo necessario per raggiungere $x> \pi$. Prova che $\frac {t_{\varepsilon }(x)}x>c$ per ogni $\varepsilon$ ed ogni $x> \pi$

Soluzione

2.1.23 Domande brevi

a)

In generale un'orbita periodica è descritta da un'ellisse nello spazio delle fasi?

b)

Sia $V(x)= x + \frac 12 \sin x$. Quant'è $\lim_{t\to +\infty} x(t)$? Il moto è uniformemente accelerato?

c)

Come è la parte reale degli autovalori di un sistema conservativo linearizzato intorno ad una posizione di equilibrio stabile?

d)

Discuti la stabilità dell'origine per le seguenti equazioni differenziali:

1.

$\ddot x = x + \dot x$

2.

$\ddot x = x - \dot x$

3.

$\ddot x = -x + \dot x$

4.

$\ddot x = -x - \dot x$

Quale di esse descrive un oscillatore armonico con attrito a tempo invertito? E quale il linearizzato di un pendolo capovolto con attrito?

e)

Per quali dei seguenti moti unidimensionali l'energia meccanica è conservata?

1.

$\ddot x = e^{\sin x^2}$

2.

$\ddot x = \cos x$

3.

$\ddot x = \sin x + t^2$

4.

$\ddot x = \sin x + 1$

5.

$\ddot x = x + t$

6.

$\ddot x = xt$

7.

$\ddot x = x + \dot x$

8.

$\ddot x + \dot x +\sin x= 0$

9.

$\ddot x = \dot x$

10.

$\ddot x = \arccos(x-3t)$

In due degli esempi precedenti, anche se l'energia meccanica non si conserva, c'è un integrale primo del moto, dipendente dal tempo, che ne permette l'analisi qualitativa. Quali sono? Qual è l'interpretazione fisica di tali integrali primi? (vedi l'inizio dell'esercizio 2.4.5).

Soluzione