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2.1 Esercizi sui moti unidimensionali

Sono trattati in tutti i libri di meccanica. Un'esposizione molto chiara è sull'Olivieri [10].


2.1.1

Calcola il periodo delle oscillazioni del moto unidimensionale di energia potenziale $ V(x)=\vert x\vert^{\alpha}$, per $ \alpha \ge 2$, in funzione dell'energia (vedi Landau [9]).

Soluzione


2.1.2

Considera il moto unidimensionale $ \ddot x = x$. Trova il moto con dato iniziale $ (x_0, \dot x_0)= (1,-1)$. In quanto tempo la traiettoria arriva in $ x=0$?

Trova tutti i dati iniziali tali che $ \lim_{t\to +\infty}x(t) = 0$.

Trova tutti i dati iniziali tali che $ \lim_{t\to +\infty}\dot x(t) = 0$.

Soluzione


2.1.3 La doppia buca di potenziale

Considera il moto di un punto materiale di massa $ 1$ nella ``doppia buca di potenziale'' $ \ddot x = x - x^3$.

Disegna le orbite nello spazio delle fasi.

Discuti la stabilità delle posizioni di equilibrio.

Determina il numero delle orbite ad energia $ E$, al variare di $ E$.

Considera il dato iniziale $ (x_0,\dot x_0)=(-1,v)$; per quali valori di $ v\in \mathbb{R}$ il punto materiale raggiunge la posizione $ 1$?

Con che velocità ci arriva?

Per $ E=0$ il moto avviene sulla ``separatrice''. Con che angolo la separatrice interseca gli assi?

Soluzione


2.1.4 La doppia buca parte II

Considera il moto di un punto materiale di massa $ 1$ di energia potenziale $ V(x) = \frac {x^4}4 + \alpha \frac {x^2}2$, con $ \alpha \in \mathbb{R}$.

Discuti qualitativamente il moto al variare di $ \alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio e la loro stabilità al variare di $ \alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al variare di $ \alpha$.

Soluzione


2.1.5

Considera il moto di un punto materiale di massa $ 1$ di energia potenziale $ V(x)= x^3 + \alpha x$, con $ \alpha \in \mathbb{R}$.

Discuti qualitativamente il moto al variare di $ \alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio e la loro stabilità al variare di $ \alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al variare di $ \alpha$.

Soluzione


2.1.6 Variante della doppia buca

Considera il moto di un punto materiale di massa $ 1$, soggetto ad una forza di energia potenziale $ V(x)= \frac {x^6}6 - \frac {\alpha}2 (x^4 -x^2)$, con $ \alpha \in \mathbb{R}$.

Discuti qualitativamente il moto al variare di $ \alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio e la loro stabilità al variare di $ \alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al variare di $ \alpha$.

Soluzione


2.1.7 Il pendolo su un piano ruotante

Considera il moto

$\displaystyle mR^2 \ddot \theta = -Rmg \sin \theta + mR^2\Omega^2
\sin \theta   \cos \theta,$

dove $ \theta $ è un angolo, $ m>0$ la massa, $ R>0$ una lunghezza, $ g\ge 0$ un'accelerazione e $ \Omega\ge 0$ una frequenza. Questa equazione descrive un pendolo, cioè un punto materiale di massa $ m$ su un estremo di un'asta di lunghezza $ R$ con l'altro estremo fissato, soggetta alla forza di gravità, su di un piano verticale che ruota con velocità costante di frequenza $ \Omega$. L'angolo $ \theta $ è misurato dala verticale. Quando $ \theta=0$ il punto materiale si trova nella posizione di minima altezza.

Discuti qualitativamente il moto. In particolare studia l'esistenza e la stabilità delle posizioni di equilibrio al variare del parametro $ \lambda = \frac g{R\Omega^2}$. Che dimensioni fisiche ha $ \lambda$? Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al variare di $ \lambda$. (Vedi Dell'Antonio [5]).

Considera il dato iniziale $ (\theta_0,  \dot \theta_0)= (-\frac {\pi}2, 0)$.

Prova che il moto è periodico e scrivi il periodo dell'orbita.

In quanto tempo il pendolo arriva in $ \theta= \frac {\pi}2$?

Con che $ \dot \theta$ ci arriva?

Quanto vale $ \dot \theta$ quando il pendolo passa per $ \theta=0$?

Quant'è il valore massimo che $ \dot \theta$ assume?

Per quali istanti di tempo $ \dot \theta$ raggiunge il massimo?

Quanto vale $ \theta $ quando $ \dot \theta$ è massimo?

Considera il dato iniziale $ (\theta_0,  \dot \theta_0)= (-\frac {\pi}2, \omega)$, con $ \omega >0$.

Per quali valori di $ \omega$ il pendolo ha un moto periodico?

Esprimi per tali valori il periodo del moto.

Determina l'andamento asintotico del periodo per $ \omega \to +\infty$.

La componente verticale della reazione vincolare è:

Reazione$\displaystyle = mg + mR ({\dot \theta}^2 \cos \theta +
\ddot \theta \sin \theta).$

(Perché ?) Determina il suo andamento asintotico per $ \omega \to +\infty$, quando il pendolo è in $ \theta = 0, \frac {\pi}2,  \pi$.

Soluzione


2.1.8

Considera il moto di un punto materiale di massa $ m$, di energia potenziale

$\displaystyle V(x)=-\frac 12 m\Omega^2 x^2 -mgl \left( 1
+\cos \left(\frac xl ...
...ht) \right)
\mathcal X\left( \left\vert \frac xl \right\vert \le \pi
\right),$

dove $ l>0,  g\ge 0$ hanno, rispettivamente, le dimensioni di una lunghezza e di una accelerazione, e $ \Omega\ge 0$ ha le dimensioni di una frequenza. Nota che gli aspetti qualitativi del moto dipendono dai parametri fisici $ l, g, \Omega$ attraverso un unico parametro adimensionale. Discuti qualitativamente il moto, in particolare l'esistenza delle posizioni di equilibrio e la loro stabilità.

Soluzione


2.1.9

Considera il moto di un punto materiale di massa $ m$, di energia potenziale

$\displaystyle V(x)=\frac 12 k x^2 +mgl \left( 1
+\cos \left(\frac xl \right)
\right) \mathcal X\left( \left\vert \frac xl \right\vert \le \pi
\right),$

dove $ l>0,  g\ge 0,  k\ge 0$, hanno, rispettivamente, le dimensioni di una lunghezza, di una accelerazione e di una costante di elasticità. Nota che gli aspetti qualitativi del moto dipendono dai parametri fisici $ m, l, g, k$ attraverso un unico parametro adimensionale. Discuti qualitativamente il moto, in particolare l'esistenza delle posizioni di equilibrio e la loro stabilità.

Soluzione


2.1.10

Un punto materiale di massa $ 1$ si muove su una retta sotto l'azione di una forza di energia potenziale $ V(x)=-x^3+x^2$. Considera i dati iniziali di energia totale $ E=\frac 18$, e sia $ \dot x_0=\frac 12$. Determina i valori di $ x(0)$ per i quali il moto è periodico e dai un'espressione del periodo. Soluzione


2.1.11

Un punto materiale di massa $ 1$ si muove su una retta sotto l'azione di una forza di energia potenziale $ V(x)=\sqrt{x^2+1}+ax^2$, con $ a\in \mathbb{R}$.

Per quali valori di $ a$ tutte le orbite sono limitate?

Per quali valori di $ a$ l'origine è stabile?

Risposta


2.1.12 *

Un punto materiale di massa $ 1$, su una retta, inizialmente in $ x=0$ con velocità $ \dot x = 1$, si muove sotto l'azione di una forza di energia potenziale $ V(x)=-\sqrt{x^2+1}$.

Prova che il moto è illimitato.

Prova che esiste un'accelerazione asintotica (cioè $ \lim_{t\to +\infty} \ddot x $ è finito)

Prova che asintoticamente nel tempo il moto tende ad un moto uniformemente accelerato. In altri termini esistono $ \tilde x$, $ \tilde v$, e $ a$ tali che $ \lim_{t\to \infty} \vert\dot x(t)-(\tilde v + t a)\vert=0$ e $ \lim_{t\to \infty} \vert x(t)-(\tilde x+t\tilde v + \frac {t^2}2 a)\vert=0$.

Soluzione


2.1.13

Un punto materiale di massa $ 1$ si muove sulla semiretta $ x>0$ soggetto ad una forza di energia potenziale $ V(x)= -\frac 1x +\frac 1{2x^2}$.

Per quali dati iniziali il moto è periodico?

Per quali dati iniziali il moto non è periodico?

Per quali dati iniziali il moto è illimitato?

Quali solo le soluzioni stazionarie?

Sia $ x_0=\frac 12$ e $ \dot x_0= 1$. Determina $ \lim_{t\to +\infty} \dot x(t)$.

Sia $ x_0=\frac 12$ e $ \dot x_0= -1$. Qual è il massimo della velocità che il punto raggiuge? E qual è il minima?

Risposta


2.1.14 *

Sia $ V(x)=1+\cos x $ per $ \vert x\vert\le \pi$, e $ V(x)=0$ per $ \vert x\vert\ge \pi$.

Discuti qualitativamente il moto.

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale $ V_{\varepsilon }(x)= V(\frac x\varepsilon )$ con $ \varepsilon >0$; cosa accade nel limite $ \varepsilon \to 0$?

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale $ V_{\varepsilon }(x)= \frac 1\varepsilon V(\frac x\varepsilon )$ con $ \varepsilon >0$; cosa accade nel limite $ \varepsilon \to 0$?

Qual è il moto di una particella che rimbalza contro un ``muro infinitamente rigido''?

Soluzione


2.1.15 *

Sia $ V(x)=-(1+\cos x) $ per $ \vert x\vert\le \pi$, e $ V(x)=0$ per $ \vert x\vert\ge \pi$.

Discuti qualitativamente il moto.

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale $ V_{\varepsilon }(x)= \frac 1\varepsilon V(\frac x\varepsilon )$ con $ \varepsilon >0$, per dati iniziali di energia totale positiva. Cosa accade nel limite $ \varepsilon \to 0$?

Soluzione


2.1.16

Sia $ V(x)=\vert x\vert$. Discuti qualitativamente il moto. Quant'è la forza in $ x=0$? Sia $ V(x)=-\vert x\vert$. Trova il moto di dato iniziale $ (x_0, \dot x_0)=(-1,v)$ al variare di $ v>0$. Considera ora $ V(x)=-\sqrt{a^2+x^2}+a$, con $ a>0$. Determina il moto di dato iniziale $ (x_0, \dot x_0)=(-1,v)$ al variare di $ v>0$, e il limite di tale moto per $ a\to 0$.

Soluzione


2.1.17 *

Sia $ V(x)=-\vert x\vert^{\alpha}$ con $ \alpha >0$. Considera il dato iniziale $ (x_0, \dot x_0)=(1, 0)$. In quanto tempo il punto materiale raggiunge $ +\infty$? Per quanto tempo il moto esiste?

Sia $ V(x)\ge M$ per ogni $ x$ reale. Prova che $ \vert x(t)\vert\le c_1 + c_2 t$, per $ c_1,  c_2$ costanti opportune che dipendono dal dato iniziale. Prova che il moto esiste per tutti i tempi.

Soluzione


2.1.18

Sia $ V(x)=x+\alpha \sin x$, con $ \alpha >0$. Discuti qualitativamente il moto al variare di $ \alpha$. In particolare trova gli $ \alpha$ per cui esistono soluzioni stazionarie e discutine la stabilità. Determina per quali $ \alpha$ esistono orbite periodiche.

Soluzione


2.1.19 *

Sia $ V(x)=\sin(x)+\sin(\alpha x)$, con $ 0<\alpha<1$, e $ (x_0, \dot x_0)=(0,2)$. Determina $ \lim_{t\to \infty} x(t)$ al variare di $ \alpha$. (Suggerimento: vedi l'esercizio sul ritorno)

Soluzione


2.1.20

Sia $ V(x)=(1+\cos(x))\sin\left(\frac x\varepsilon \right)$, e $ (x_0, \dot x_0)=(0,2)$. Per quali valori di $ \varepsilon $ il moto è illimitato? Soluzione


2.1.21 **

Sia $ V(x)=2\sin\left( \frac x\varepsilon \right)$, $ x_0=0$ e $ \dot x_0 > 2$. Determina il tempo necessario per raggiungere $ x=1$, nel limite $ \varepsilon \to 0$. Soluzione


2.1.22 ***

Sia $ V(x)=(1+\cos(x))\sin\left(\frac x\varepsilon \right)$, e $ (x_0, \dot x_0)=(-\pi,2)$. Indica con $ t_{\varepsilon }$ il tempo necessario per raggiungere $ x=\pi$. Prova che $ \lim_{\varepsilon \to 0} t_\varepsilon $ è finito. Sia $ t_{\varepsilon }(x)$ il tempo necessario per raggiungere $ x> \pi$. Prova che $ \frac {t_{\varepsilon }(x)}x>c$ per ogni $ \varepsilon $ ed ogni $ x> \pi$

Soluzione


2.1.23 Domande brevi

a)
In generale un'orbita periodica è descritta da un'ellisse nello spazio delle fasi?
b)
Sia $ V(x)= x + \frac 12 \sin x $. Quant'è $ \lim_{t\to +\infty} x(t)$? Il moto è uniformemente accelerato?
c)
Come è la parte reale degli autovalori di un sistema conservativo linearizzato intorno ad una posizione di equilibrio stabile?
d)
Discuti la stabilità dell'origine per le seguenti equazioni differenziali:
1.
$ \ddot x = x + \dot x$
2.
$ \ddot x = x - \dot x$
3.
$ \ddot x = -x + \dot x$
4.
$ \ddot x = -x - \dot x$
Quale di esse descrive un oscillatore armonico con attrito a tempo invertito? E quale il linearizzato di un pendolo capovolto con attrito?
e)
Per quali dei seguenti moti unidimensionali l'energia meccanica è conservata?
1.
$ \ddot x = e^{\sin x^2}$
2.
$ \ddot x = \cos x$
3.
$ \ddot x = \sin x + t^2$
4.
$ \ddot x = \sin x + 1$
5.
$ \ddot x = x + t $
6.
$ \ddot x = xt$
7.
$ \ddot x = x + \dot x$
8.
$ \ddot x + \dot x +\sin x= 0$
9.
$ \ddot x = \dot x$
10.
$ \ddot x = \arccos(x-3t)$
In due degli esempi precedenti, anche se l'energia meccanica non si conserva, c'è un integrale primo del moto, dipendente dal tempo, che ne permette l'analisi qualitativa. Quali sono? Qual è l'interpretazione fisica di tali integrali primi? (vedi l'inizio dell'esercizio 2.4.5).

Soluzione
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