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Subsections
2.1 Esercizi sui moti unidimensionali
Sono trattati in tutti i libri di meccanica. Un'esposizione molto chiara
è sull'Olivieri [10].
2.1.1
Calcola il periodo delle oscillazioni del moto unidimensionale di
energia potenziale
, per
, in
funzione dell'energia (vedi Landau [9]).
Soluzione
2.1.2
Considera il moto unidimensionale
. Trova il moto
con dato iniziale
. In quanto tempo
la traiettoria arriva in ?
Trova tutti i dati iniziali tali che
.
Trova tutti i dati iniziali tali che
.
Soluzione
2.1.3 La doppia buca di potenziale
Considera il moto di un punto materiale di
massa nella ``doppia buca di potenziale''
.
Disegna le orbite nello spazio delle fasi.
Discuti la stabilità delle posizioni di equilibrio.
Determina il numero delle orbite ad energia , al variare di .
Considera il dato iniziale
;
per quali valori di
il punto materiale raggiunge la posizione
?
Con che velocità ci arriva?
Per il moto avviene sulla ``separatrice''. Con che angolo
la separatrice interseca gli assi?
Soluzione
2.1.4 La doppia buca parte II
Considera il moto di un punto materiale di
massa di energia potenziale
,
con
.
Discuti qualitativamente il moto al variare di
In paricolare determina le posizioni di equilibrio
e la loro stabilità al variare di .
Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio
al variare di .
Soluzione
2.1.5
Considera il moto di un punto materiale di massa
di energia potenziale
,
con
.
Discuti qualitativamente il moto al variare di
In paricolare determina le posizioni di equilibrio
e la loro stabilità al variare di .
Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio
al variare di .
Soluzione
2.1.6 Variante della doppia buca
Considera il moto di un punto materiale di massa , soggetto ad una
forza
di energia potenziale
,
con
.
Discuti qualitativamente il moto al variare di
In paricolare determina le posizioni di equilibrio
e la loro stabilità al variare di .
Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio
al variare di .
Soluzione
2.1.7 Il pendolo su un piano ruotante
Considera il moto
dove è un angolo, la massa, una lunghezza,
un'accelerazione e
una frequenza.
Questa equazione descrive un pendolo, cioè un punto
materiale di massa
su un estremo di un'asta di lunghezza
con l'altro estremo fissato, soggetta alla forza
di gravità, su di un piano
verticale che ruota con velocità costante di frequenza .
L'angolo è misurato dala verticale. Quando
il punto materiale si trova nella posizione di minima altezza.
Discuti qualitativamente il moto.
In particolare studia l'esistenza e la stabilità delle
posizioni di equilibrio
al variare del parametro
.
Che dimensioni fisiche ha ?
Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al
variare di .
(Vedi Dell'Antonio [5]).
Considera il dato iniziale
.
Prova che il moto è periodico e scrivi il periodo dell'orbita.
In quanto tempo il pendolo arriva in
?
Con che
ci arriva?
Quanto vale
quando il pendolo passa per ?
Quant'è il valore massimo che
assume?
Per quali istanti di tempo
raggiunge il massimo?
Quanto vale quando
è massimo?
Considera il dato iniziale
,
con .
Per quali valori di il pendolo ha un moto periodico?
Esprimi per tali valori il periodo del moto.
Determina l'andamento asintotico del periodo per
.
La componente verticale della reazione vincolare è:
Reazione
(Perché ?)
Determina il suo andamento asintotico per
,
quando il pendolo è in
.
Soluzione
2.1.8
Considera il moto di un punto materiale di massa ,
di energia potenziale
dove
hanno, rispettivamente,
le dimensioni di una lunghezza e di una accelerazione, e
ha le dimensioni di una frequenza.
Nota che gli aspetti qualitativi del moto
dipendono dai parametri fisici
attraverso
un unico parametro adimensionale.
Discuti qualitativamente il moto, in particolare
l'esistenza delle posizioni di equilibrio e la loro stabilità.
Soluzione
2.1.9
Considera il moto di un punto materiale di massa ,
di energia potenziale
dove
, hanno, rispettivamente,
le dimensioni di una lunghezza, di una accelerazione e di
una costante di elasticità.
Nota che gli aspetti qualitativi del moto
dipendono dai parametri fisici
attraverso
un unico parametro adimensionale.
Discuti qualitativamente il moto, in particolare
l'esistenza delle posizioni di equilibrio e la loro stabilità.
Soluzione
2.1.10
Un punto materiale di massa si muove su una retta sotto l'azione
di una forza di energia potenziale
.
Considera i dati iniziali di energia totale
, e sia
. Determina i valori di per i quali il moto è
periodico e dai un'espressione del periodo.
Soluzione
2.1.11
Un punto materiale di massa si muove su una retta sotto l'azione
di una forza di energia potenziale
,
con
.
Per quali valori di tutte le orbite sono limitate?
Per quali valori di l'origine è stabile?
Risposta
2.1.12 *
Un punto materiale di massa , su una retta, inizialmente
in con velocità
,
si muove sotto l'azione
di una forza di energia potenziale
.
Prova che il moto è illimitato.
Prova che esiste un'accelerazione asintotica
(cioè
è finito)
Prova che asintoticamente nel tempo il moto tende
ad un moto uniformemente accelerato.
In altri termini esistono , , e
tali che
e
.
Soluzione
2.1.13
Un punto materiale di massa si muove sulla semiretta
soggetto ad una forza di energia potenziale
.
Per quali dati iniziali il moto è periodico?
Per quali dati iniziali il moto non è periodico?
Per quali dati iniziali il moto è illimitato?
Quali solo le soluzioni stazionarie?
Sia
e
. Determina
.
Sia
e
.
Qual è il massimo della velocità che il punto raggiuge?
E qual è il minima?
Risposta
2.1.14 *
Sia
per
, e per
.
Discuti qualitativamente il moto.
Discuti qualitativamente il moto per il potenziale
con
; cosa accade nel limite
?
Discuti qualitativamente il moto per il potenziale
con
; cosa accade nel limite
?
Qual è il moto di una particella che rimbalza
contro un ``muro infinitamente rigido''?
Soluzione
2.1.15 *
Sia
per
, e per
.
Discuti qualitativamente il moto.
Discuti qualitativamente il moto per il potenziale
con
, per dati iniziali di
energia totale positiva. Cosa accade nel limite
?
Soluzione
2.1.16
Sia .
Discuti qualitativamente il moto.
Quant'è la forza in ?
Sia . Trova il moto di dato iniziale
al variare di .
Considera ora
, con .
Determina il moto di dato iniziale
al variare di , e il limite di tale moto per .
Soluzione
2.1.17 *
Sia
con . Considera
il dato iniziale
.
In quanto tempo il punto materiale raggiunge ?
Per quanto tempo il moto esiste?
Sia per ogni reale. Prova che
, per
costanti opportune
che dipendono dal dato iniziale.
Prova che il moto esiste per tutti i tempi.
Soluzione
2.1.18
Sia
, con
.
Discuti qualitativamente il moto al variare di .
In particolare trova gli per cui esistono
soluzioni stazionarie e discutine la stabilità.
Determina per quali esistono orbite
periodiche.
Soluzione
2.1.19 *
Sia
, con
, e
.
Determina
al variare di .
(Suggerimento:
vedi l'esercizio sul ritorno)
Soluzione
2.1.20
Sia
, e
.
Per quali valori di
il moto è illimitato?
Soluzione
2.1.21 **
Sia
, e
.
Determina il tempo necessario per raggiungere , nel limite
.
Soluzione
2.1.22 ***
Sia
, e
.
Indica con
il tempo necessario per raggiungere
.
Prova che
è finito.
Sia
il tempo necessario per raggiungere
.
Prova che
per ogni
ed ogni
Soluzione
2.1.23 Domande brevi
- a)
- In generale un'orbita periodica è descritta da
un'ellisse nello spazio delle fasi?
- b)
- Sia
. Quant'è
?
Il moto è uniformemente accelerato?
- c)
- Come è la parte reale degli autovalori
di un sistema conservativo linearizzato intorno ad una posizione di equilibrio
stabile?
- d)
- Discuti la stabilità dell'origine per le
seguenti equazioni differenziali:
- 1.
-
- 2.
-
- 3.
-
- 4.
-
Quale di esse descrive
un oscillatore armonico con attrito a tempo invertito?
E quale il linearizzato di un pendolo capovolto
con attrito?
- e)
- Per quali dei seguenti moti unidimensionali
l'energia meccanica è conservata?
- 1.
-
- 2.
-
- 3.
-
- 4.
-
- 5.
-
- 6.
-
- 7.
-
- 8.
-
- 9.
-
- 10.
-
In due degli esempi precedenti, anche se l'energia meccanica
non si conserva, c'è un integrale primo del moto,
dipendente dal tempo, che ne permette
l'analisi qualitativa. Quali sono? Qual è l'interpretazione
fisica di tali integrali primi? (vedi l'inizio dell'esercizio
2.4.5).
Soluzione
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2001-04-02