2.2 Equazioni lineari

Nei testi di analisi matematica l'aspetto qualitativo è tipicamente sottorappresentato. Vedi invece i testi di Arnold [1,2] e in generale i libri di Meccanica.

2.2.1

Linearizza l'equazione del pendolo

$$\ddot \phi = - \omega_0^2 \sin \phi$$

intorno a tutte le posizioni di equilibrio.

2.2.2

Descrivi le traiettorie nello spazio delle fasi di

$$\dot {\mathbf {z}} = A {\mathbf {z}},$$

per

$$A=\left( \begin{matrix}0 & 1 1 & \lambda \end{matrix} \right)... ...x} \right), \left( \begin{matrix}0 & -1 -1 & \lambda \end{matrix} \right),$$

al variare di $\lambda \in \mathbb{R}$ (anche negativo).

2.2.3

Che relazione devono verificare la matrice $A$ e il vettore ${\mathbf {w}}$ affinché il sistema

$$\dot {\mathbf {z}} = A {\mathbf {z}} + \cos(t) {\mathbf {w}}$$

ammetta una soluzione periodica di periodo $t$? (Suggerimento: cerca soluzioni del tipo $\sin(t) {\mathbf {a}} + \cos(t) {\mathbf {b}}$).

2.2.4 *

Considera il sistema lineare

$$\dot {\mathbf {z}} = A {\mathbf {z}},$$

con dato iniziale ${\mathbf {z}}(0)={\mathbf {z}}_0$. Prova che la soluzione è lineare nel dato iniziale. Questo implica che esiste una matrice $U(t)$ tale che ${\mathbf {z}}(t)=U(t){\mathbf {z}}_0$. Prova che la matrice $U(t)$ può essere ottenuta come somma della serie di matrici:

$$U(t)= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac {t^n A^n}{n!}.$$

Per questo motivo $U(t)$ si indica spesso con $e^{At}$. (Suggerimento: lo spazio delle matrici con la norma $\Vert A\Vert=\max_{\vert v\vert=1} \vert A(v)\vert$ è completo e vale $\Vert AB\Vert\le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$. La serie è una serie di potenze in $t$ quindi ha un raggio di convergenza, determinalo e deriva termine a termine).