La variabile d'azione è:
![]() |
(8.41) |
![]() |
(8.42) |
![]() |
(8.43) |
Considera l'hamiltoniana:
a) Risolvi l'equazione di H.J. per separazione di varibili,
e riduci il moto alle quadrature,
cercando
(
saranno i nuovi impulsi)
b) Determina la regione dello spazio delle fasi un cui il moto si può descrivere in variabili azione-angolo.
c) In questa regione trova le frequenze dei moti quasi periodici.
Soluzione
a) Cerca:
(
saranno i nuovi impulsi).
L'equazione da risolvere è:
![]() |
(8.44) |
![]() |
(8.45) |
![]() |
(8.46) |
![]() |
(8.47) |
b)
Hai due integrali primi
. Questo ti permette di
capire come è fatto il moto (analisi qualitativa).
Procedi cosí. Controlla per prima cosa quali sono i valori possibili
per i due integrali primi:
, dunque
. La proiezione dell'orbita
sul piano coordinato
, è costituita dai punti
per
;
da due curve chiuse per
; due separatrici (omocline per la
periodicità di
) ed un punto fisso
per
; due curve periodiche per
.
La proiezione dell'orbita sul piano è fatta cosí:
se
deve essere
, quindi
la proiezione è una curva chiusa simmetrica rispetto agli assi,
che interseca l'asse delle
nei punti
;
se
, e
, la proiezione consiste in due curve aperte che
intersecano l'asse delle
in
; se
due curve aperte che intersecano l'asse delle
in
.
Dunque, se e
, l'orbita vive sul prodotto diretto
delle due curve chiuse proiezioni sui due piani coordinati;
chiama
queste due curve
rispettivamente. L'orbita vive dunque
su una varietà in
diffeomorfa ad un toro bidimensionale.
In questo caso ha senso tentare di scrivere le variabili azione-angolo,
cioé di tentare di descrivere il moto attraverso delle variabili angolari
che esprimano la rotazione sul toro. Ci riesci scegliendo come
nuovi impulsi non
, ma delle loro opportune funzioni (variabili
d'azione) che determini nel modo seguente: saranno gli integrali
della forma
, divisi per
, sulle curve che hai ottenuto proiettando il moto sui piani coordinati;
tali integrali dipendono evidentemente da
:
![]() |
(8.48) |
![]() |
(8.49) |
c)
Le frequenze
sono costanti,
in quanto dipendono
da
che sono delle costanti del moto; essendo
degli angoli,
in effetti
sono le frequenze delle rotazioni. Il moto nelle singole
variabili angolari è dunque una rotazione con velocità angolare costante;
globalmente è un moto quasi-periodico su un toro.
Come calcoli le frequenze ? Devi calcolare le derivate di
rispetto alle variabili d'azione, peró hai a disposizione solo
l'espressione delle variabili d'azione in funzione di
.
Dunque procedi cosí:
![]() |
(8.50) |
![]() |
(8.51) |
![]() |
(8.52) |
Considera l'Hamiltoniana:
![]() |
(8.53) |
a) Risolvi, per
separazione di variabili, l'equazione di Hamilton Jacobi per .
b) Determina la regione dello spazio delle fasi in cui il moto può essere descritto in variabili azione-angolo.
c) Calcola esplicitamente l'espressione dell'Hamiltoniana in termini delle variabili d'azione, e le frequenze dei moti multiperiodici.
d) Considera il moto di dato iniziale
![]() |
(8.54) |
e) Trova il periodo del moto per .
f) Discuti la stabilità della soluzione stazionaria
![]() |
(8.55) |
Soluzione
a) Cerca una soluzione dell'equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi del tipo:
![]() |
(8.56) |
![]() |
(8.57) |
![]() |
(8.58) |
b) La regione dello spazio delle fasi in cui il moto
é multiperiodico è data da ,
.
c) Devi calcolare:
![]() |
(8.59) |
![]() |
(8.60) |
![]() |
(8.61) |
![]() |
(8.62) |
![]() |
(8.63) |
d) Sostituendo il valore del dato iniziale in ,
ottieni:
![]() |
(8.64) |
e) per ,
, dunque
.
, dunque
.
f) Le equazioni di Hamilton sono
![]() |
(8.65) |
![]() |
(8.66) |
![]() |
(8.67) |