8.5 Costruzione delle variabili azione-angolo

8.5.1 Variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico

Considera l' oscillatore armonico:

$$H=\frac 12 (p^2+\omega^2 q^2).$$

La soluzione dell'equazione di H.J. è $W(q, \alpha)=\int^q dq \sqrt{2\alpha-\omega^2 q^2}.$ Nel piano delle fasi l'integrale primo dell'energia, cioè $\alpha$, individua la curva chiusa $C_{\alpha}$ descritta da $p = \pm \sqrt{2(\alpha - \omega^2 q^2)}$, che interseca l'asse delle $q$ in $\pm {\sqrt{2\alpha}\over \omega}$.

La variabile d'azione è:

$$\begin{array}{l} I=\int_{C_{\alpha}}p dq=\frac 2\pi \int_0^{... ...} \int_0^1 d\xi \sqrt{1-\xi^2}=\frac \alpha \omega. \end{array}$$ (8.41)

Come determini la variabile angolare conigata ad $I$? Pensando $W$ come funzione di $I$ e derivandola rispetto ad I:

$$\begin{array}{l} \phi=\partial _I W(q,I)=\partial _I \int^q d... ...qrt{1-\xi^2}}=\arcsin({\sqrt{\omega \over 2 I} q}), \end{array}$$ (8.42)

ovvero $q=\sqrt{2I\over \omega} \sin \phi$. Sostituendo nell'hamiltoniana: $K(I)=\alpha (I)= I \omega$. Quindi, dalle equazioni di Hamilton nelle variabili $(\phi, I)$:

$$\begin{split}&\dot I = - {\dfrac {\partial {K}}{\partial {\ph... ...\phi={\dfrac {\partial {K}}{\partial {I}}}= \omega, \end{split}$$ (8.43)

cioè la frequenza della variabile angolare è la frequenza dell'oscillatore armonico.

8.5.2 Un esempio

Considera l'hamiltoniana: $H=\frac 12 p_x^2 +\frac 12 x^2 (p_{\phi}^2-\cos \phi).$

a) Risolvi l'equazione di H.J. per separazione di varibili, e riduci il moto alle quadrature, cercando $W=A(x,\alpha ,\beta )+B(\phi, \alpha ,\beta)$ ( $\alpha ,\beta$ saranno i nuovi impulsi)

b) Determina la regione dello spazio delle fasi un cui il moto si può descrivere in variabili azione-angolo.

c) In questa regione trova le frequenze dei moti quasi periodici.

Soluzione

a) Cerca: $W=A(x,\alpha ,\beta )+B(\phi, \alpha ,\beta)$ ( $\alpha ,\beta$ saranno i nuovi impulsi). L'equazione da risolvere è:

$$\frac 12 \left( \partial _x A\right)^2 + \frac 12 x^2 \left( \left( \partial _{\phi} B\right)^2 -\cos \phi \right) =\alpha.$$ (8.44)

Riesci a risolverla ponendo $\left( \partial _{\phi} B\right)^2 -\cos \phi=\beta$. Ottieni:

$$B=\pm \int^{\phi} d\phi \sqrt{ \beta +\cos \phi},\phantom{..}\phantom{..}\phantom{..} A=\pm \int^x dx \sqrt{ 2 \alpha -\beta x^2}.$$ (8.45)

Hai risolto l'eq. di H.J. , quindi puoi scrivere le formule di quadratura (cioé la soluzione in forma implicita delle equazioni del moto) procedendo cosí: chiama $q_{\alpha}, q_{\beta}$ le nuove coordinate associate ai nuovi impulsi $\alpha, \beta$; le determini attraverso $W$:

$$\begin{array}{l} q_{\alpha}=\partial _{\alpha} W= \pm \int^x ... ...m \int^{\phi} {d\phi\over 2 \sqrt{\beta+\cos \phi}}.\end{array}$$ (8.46)

Nota che ai fini della soluzione esplicita del moto, sono questi gli integrali che può essere utile calcolare esplicitamente, e non quelli che definiscono $W$. Le formule di quadratura le ottieni dalle equazioni di Hamilton nelle nuove variabili che ti dicono che $\alpha, \beta, q_{\beta}=c_2$ sono costanti, mentre $q_{\alpha}(t)=c_1+t$:

$$\begin{array}{l} c_1+t=\partial _{\alpha} W= \pm \int^{x(t)} ... ...nt^{\phi(t)} {d\phi\over 2 \sqrt{\beta+\cos \phi}}. \end{array}$$ (8.47)

b) Hai due integrali primi $\alpha, \beta$. Questo ti permette di capire come è fatto il moto (analisi qualitativa). Procedi cosí. Controlla per prima cosa quali sono i valori possibili per i due integrali primi: $\beta=p_{\phi}^2+\cos \phi$, dunque $\beta\ge -1$. La proiezione dell'orbita sul piano coordinato $\phi p_{\phi}$, è costituita dai punti $(\pm \frac {\pi}2,0)$ per $\beta=-1$; da due curve chiuse per $-1<\beta < 1$; due separatrici (omocline per la periodicità di $\phi$) ed un punto fisso per $\beta = 1$; due curve periodiche per $\beta>1$.

La proiezione dell'orbita sul piano $x p_x$ è fatta cosí: se $\beta>0$ deve essere $\alpha=\frac 12 (p_x^2+\beta x^2)>0$, quindi la proiezione è una curva chiusa simmetrica rispetto agli assi, che interseca l'asse delle $x$ nei punti $x=\pm \sqrt{2\alpha\over \beta}$; se $\beta <0$, e $\alpha >0$, la proiezione consiste in due curve aperte che intersecano l'asse delle $p_x$ in $p_x=\pm \sqrt{2\alpha}$; se $\beta<0, \alpha<0$ due curve aperte che intersecano l'asse delle $x$ in $x=\pm \sqrt{2\alpha\over \beta}$.

Dunque, se $\alpha >0$ e $0<\beta<1$, l'orbita vive sul prodotto diretto delle due curve chiuse proiezioni sui due piani coordinati; chiama $C_{\phi}(\alpha, \beta), C_x(\alpha, \beta)$ queste due curve rispettivamente. L'orbita vive dunque su una varietà in $\mathbb{R}^4$ diffeomorfa ad un toro bidimensionale. In questo caso ha senso tentare di scrivere le variabili azione-angolo, cioé di tentare di descrivere il moto attraverso delle variabili angolari che esprimano la rotazione sul toro. Ci riesci scegliendo come nuovi impulsi non $\alpha, \beta$, ma delle loro opportune funzioni (variabili d'azione) che determini nel modo seguente: saranno gli integrali della forma $p dq$, divisi per $2\pi$ , sulle curve che hai ottenuto proiettando il moto sui piani coordinati; tali integrali dipendono evidentemente da $\alpha, \beta$:

$$\begin{array}{l} I_1=\frac 1{2\pi} \int_{C_{\phi}(\alpha, \b... ...{2\alpha \over \beta}} \sqrt{2\alpha -\beta x^2} dx.\end{array}$$ (8.48)

Hai introdotto $I_1, I_2$ come funzioni di $\alpha, \beta$, in linea di principio puoi invertire questa funzione da $\mathbb{R}^2$ in $\mathbb{R}^2$, per ottenere $\alpha, \beta$ in funzione di $I_1, I_2$; la funzione generatrice adesso è $W$ pensata come funzione di $I_1, I_2$ attraverso $\alpha, \beta$. Questa scelta assicura che le coordinate coniugate sono delle variabili angolari, sono cioé periodiche di periodo $2\pi$; chiama $\gamma_1 \gamma_2$ queste nuove variabili. Chi è la nuova Hamiltoniana? Evidentemente $K(I_1, I_2)=\alpha(I_1, I_2)$, dunque le equazioni del moto sono:

$$\begin{array}{l} \dot \gamma_1=\partial _{I_1} \alpha(I_1, I... ...tom{..} \begin{array}{l} \dot I_1=0 \dot I_2=0. \end{array}$$ (8.49)

Nota che la regione $\alpha>0, 0<\beta<1$ non è l'unica alla quale corrispondono moti quasi periodici sul toro. Infatti anche se $\alpha >0$ e $\beta>1$ il moto è quasi periodico sul toro; l'unica differenza è che la curva chiusa nel piano $\phi, p_{\phi}$ é $\sqrt{ \beta +\cos \phi}$ al variare di $\phi\in [0,2\pi]$, quindi $I_1={1\over 2\pi} \int_0^{2\pi} \sqrt{\beta+\cos \phi} d\phi$. Nota che nonostante $\phi$ sia già una variabile angolare, che descrive con periodicità $2\pi$ la proiezione dell'orbita, non è la variabile angolare giusta perché la sua velocità angolare non è costante.

c) Le frequenze $\omega_i=\partial _{I_i} \alpha(I_1, I_2)$ sono costanti, in quanto dipendono da $I_1, I_2$ che sono delle costanti del moto; essendo $\gamma_i$ degli angoli, in effetti $\omega_i$ sono le frequenze delle rotazioni. Il moto nelle singole variabili angolari è dunque una rotazione con velocità angolare costante; globalmente è un moto quasi-periodico su un toro.

Come calcoli le frequenze $\omega_i$? Devi calcolare le derivate di $\alpha$ rispetto alle variabili d'azione, peró hai a disposizione solo l'espressione delle variabili d'azione in funzione di $\alpha ,\beta$. Dunque procedi cosí:

$$\left( \matrix \partial _{I_1} \alpha & \partial _{I_2} \alpha \\... ...beta} I_1 -\partial _{\alpha} I_2 & \partial _{\alpha} I_1 \endmatrix\right)$$ (8.50)

Ora:

$$\begin{split}&\partial _{\alpha} I_1=0 &\partial _{\beta}... ...er \beta}} {x^2\over \sqrt{2\alpha -\beta x^2} } dx.\end{split}$$ (8.51)

Infine:

$$\omega_1(\alpha,\beta)= -{\partial _{\beta} I_2 \over \partial _{... ...hantom{..}\phantom{..} \omega_2(\alpha,\beta)={1\over \partial _{\alpha} I_2 }.$$ (8.52)

8.5.3 Un altro esempio

Considera l'Hamiltoniana:

$$H=\frac 12 P_x^2+ \frac 12 P_y^2 (1+x^2) +\frac 12 (1+x^2) y^2.$$ (8.53)

a) Risolvi, per separazione di variabili, l'equazione di Hamilton Jacobi per $H$.

b) Determina la regione dello spazio delle fasi in cui il moto può essere descritto in variabili azione-angolo.

c) Calcola esplicitamente l'espressione dell'Hamiltoniana in termini delle variabili d'azione, e le frequenze dei moti multiperiodici.

d) Considera il moto di dato iniziale

$$\begin{array}{l} x(0)=0 P_x(0)=a \end{array} \phantom{..}\phantom{..} \begin{array}{l} y(0)=0 P_y(0)=1, \end{array}$$ (8.54)

con $a\in \mathbb{R}$; trova i valori di $a$ per cui è periodico.

e) Trova il periodo del moto per $a=1$.

f) Discuti la stabilità della soluzione stazionaria

$$\begin{array}{l} x(0)=0 P_x(0)=0 \end{array} \phantom{..}\phantom{..} \begin{array}{l} y(0)=0 P_y(0)=0. \end{array}$$ (8.55)

Soluzione

a) Cerca una soluzione dell'equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi del tipo:

$$W(x,y,\alpha,\beta)=A(x)+B(y).$$ (8.56)

Sostituendo:

$$\frac 12 (\partial _x A)^2+ \frac 12 (1+x^2) \left( (\partial _y B)^2 + y^2\right)= \alpha.$$ (8.57)

Ottengo la soluzione ponendo $(\partial _y B)^2 + y^2=\beta$:

$$\begin{array}{l} B(y, \beta)= \pm \int^y dy\sqrt{ \beta -y^2}... ...)= \pm \int^x dx \sqrt{ 2\alpha- \beta -\beta x^2}. \end{array}$$ (8.58)

Nota che sono ammissibili solo i valori $\beta \ge 0$ e $\alpha \ge \frac {\beta}2$, altrimenti ottieni per $A$ e $B$ quantità immaginarie.

b) La regione dello spazio delle fasi in cui il moto é multiperiodico è data da $\beta>0$, $\alpha > \frac {\beta}2$.

c) Devi calcolare:

$$\begin{split}&I_1= \frac 2\pi \int_0^{\sqrt \beta} dy\sqrt{ \... ...\over \beta}} dx \sqrt{ 2\alpha- \beta -\beta x^2}. \end{split}$$ (8.59)

Ricorda che

$$\frac 2\pi \int_0^{\sqrt{2 h} \over \omega} dq \sqrt{ 2 h -\omega^2 q^2}=\frac h\omega.$$ (8.60)

Ottieni:

$$I_1=\frac {\beta}2, \phantom{..}\phantom{..}\phantom{..} I_2=\left( \alpha-\frac {\beta}2 \right) {1 \over \sqrt{\beta} }.$$ (8.61)

Dunque la nuova Hamiltoniana è:

$$K=\alpha= \sqrt{ 2I_1} I_2 +I_1.$$ (8.62)

Le frequenze:

$$\begin{array}{l} \omega_1={I_2\over \sqrt{ 2I_1}} +1=\frac 12... ...a}{\beta} \omega_2= \sqrt{ 2I_1}=\sqrt{ \beta}. \end{array}$$ (8.63)

d) Sostituendo il valore del dato iniziale in $\alpha$, $\beta$ ottieni:

$$\omega_1=1+\frac {a^2}2, \omega_2=1$$ (8.64)

Il moto è periodico se e solo se $a^2\in {\mathbb{Q}}$.

e) per $a=1$, ${\omega_1 \over \omega_2}=\frac 32$, dunque $T=3T_1=2T_2$. $T_2=\frac {2\pi}\omega_2=2\pi$, dunque $T=4\pi$.

f) Le equazioni di Hamilton sono

$$\begin{array}{l} \dot x=P_x \dot P_x=-x\left( P_y^2+y^2 \... ...rray}{l} \dot y=P_y(1+x^2) \dot P_y=- y (1+x^2). \end{array}$$ (8.65)

Considera il dato iniziale:

$$\begin{array}{l} x(0)=0 P_x(0)=\varepsilon \end{array} \p... ...}\phantom{..} \begin{array}{l} y(0)=0 P_y(0)=0, \end{array}$$ (8.66)

che è una piccola perturbazione della posizione stazionaria. La soluzione delle equazioni di Hamilton è:

$$\begin{array}{l} x(t)=-t \varepsilon P_x(t)=\varepsilon \... ...}\phantom{..} \begin{array}{l} y(t)=0 P_y(t)=0. \end{array}$$ (8.67)

Dunque la posizione di equilibio è instabile.