8.4 Equazione di Hamilton Jacobi

Come si è visto una trasformazione canonica può rendere banalmente integrabile le equazioni di Hamilton. Peró, chi ti dice come trovare la trasformazione? Tentiamo allora di cercare una funzione generatrice $S(q,P,t)$ tale che la nuova hamiltoniana $K$ sia esattamente 0. In tal caso, infatti, le equazioni nelle nuove varibili $(Q,P)$ sono banali:

$$\begin{array}{l} \dot Q=0 \dot P=0,\end{array}$$ (8.32)

dunque nota la trasfomazione si può risalire al moto nelle variabili $q$, $p$. Come deve essere fatta una tale $S$? Deve valere: $\partial _q S=p$ e $K=0$, cioè:

$$H\left( q, \partial _q S(q, P,t), t \right) +\partial _t S(q, P, t)=0.$$ (8.33)

Per Hamiltoniane indipendenti dal tempo, si può cercare una soluzione del tipo $S(q, P, t)=W(q, P)-P_n t$, dove $P_n$ è l'ultimo impulso: l'equazione di H.J. diventa (equazione caratteristica di H.J.):

$$H\left( q, \partial _q W(q, P,t) \right) =P_n.$$ (8.34)

In realtà, invece di cercare $S$ dipendente dal tempo che renda nulla l'Hamiltoniana, puoi pensare che basta trovare $W$ che rende costante l'Hamiltoniana. Infatti puoi pensare che la funzione generatrice $W$ rende l'hamiltoniana uguale ad uno dei nuovi impulsi; anche cosí le equazioni di Hamilton sono banali:

$$\begin{array}{l} \dot Q_i=\partial _{P_i} K=0 \phantom{..}i=1... ...ot P_i=-\partial _{Q_i} K=0\phantom{..}i=1,... n. \end{array}$$ (8.35)

Come si procede in pratica? Sempre e solo per separazione di variabili; in alcuni rari casi ci si riesce (sistemi integrabili) in generale no. Separazione di variabili significa che cerchi la soluzione come somma di $n$ funzioni ognuna delle quali dipende solo da una delle vecchie coordinate. Il fatto che si riesca a trovare la soluzione dipende dal fatto che dentro $H$ la dipendenza delle variabili è separtata.

8.4.1 Esempio

$H=\frac 12 \left( q_2 (p_1 q_1)^2 +p_2 \right)^2$. Cerco la funzione $W((q_1, q_2 , a_1, a_2)= A(q_1, a_1, a_2)+B(q_2, a_1, a_2)$. I parametri $a_1, a_2$ saranno i nuovi impulsi. La separazione di variabili in questo caso consiste nel cercare la funzione $W$ come la somma di una funzione che dipende solo da $q_1$ e di una funzione che dipende solo da $q_2$.

L'equazione da risolvere è:

$$\frac 12 \left( q_2 (q_1\partial _{q_1}A)^2 +\partial _{q_2}B \right)^2=a_2.$$ (8.36)

Stai cercando $B$ in modo che non dipenda da $q_2$, ma solo da $q_1$. Dall'equazione puoi ricavare:

$$\partial _{q_2}B=\pm \sqrt{2a_2}-q_2 (q_1\partial _{q_1}A)^2$$ (8.37)

peró in questa espressione $\partial _{q_2}B$ dipendende da $q_1$ e da $A(q_1)$; l'unica possibilità che ho è dunque che la combinazione $q_1 \partial _{q_1}A$ non dipenda da $q_1$, cioè: $q_1 \partial _{q_1}A=a_1$, ovvero $A(q_1)=a_1 \log q_1$. A questo punto posso risolvere anche l'equazione in $B$ infatti $\partial _{q_2}B=\pm \sqrt{2a_2}-q_2 a_1^2$ è una funzione della sola $q_2$ e dei nuovi impulsi. Riassumendo, ottieni:

$$W=a_1 \log q_1 \pm \sqrt{2a_2}q_2-\frac 12 q_2^2 a_1^2.$$ (8.38)

La trasformazione generata da $W$ è:

$$\begin{split}&Q_1= \log q_1 - a_1 q_2^2 &Q_2= \pm {q_2 \ov... ...a_1\over q_1} &p_2=\pm \sqrt{2 a_2 }-a_1^2 q_2. \end{split}$$ (8.39)

Usando la soluzione delle equazioni del moto per l'hamiltoniana $K$ e tornando indietro con la trasformazione, ottieni:

$$\begin{split}&q_2(t)=\pm \sqrt{2 a_2(0)} (Q_2(0)+t) &q_1(... ... &p_2=\pm \sqrt{2 a_2(0)} (1-a_1^2(0) (Q_2(0)+t)). \end{split}$$ (8.40)

Il segno $+,-$ lo determini a seconda del segno di $q_2 (p_1 q_1)^2+p_2=\pm \sqrt{2 a_2}$. Nella soluzione compaiono i termini $Q_1(0), Q_2(0), a_1(0), a_2(0)$, che trovi imponendo i dati iniziali.

OSSERVAZIONE 1. La separazione di variabili funziona perché la dipendenza da $p_1$, $q_1$ dell'hamiltoniana è isolata nel termine $(p_1 q_1)^2$, cioè abbiamo potuto risolvere separatamente l'equazione per $A$ nella variabile $q_1$ senza coinvolgere l'altra variabile.

OSSERVAZIONE 2. In effetti, ci sei riuscito perché oltre all'energia c'è un altro integrale primo, esattamente $p_1 q_1$, infatti $a_1$ si conserva. L'esistenza di questo integrale primo ti ha permesso di portare il moto alle quadrature, così come accade nei problemi lagrangiani. In generale, peró, il tipico integrale primo che ti capita di trovare risolvendo l'equazione di H.J. non è un momento che proviene da una simmetria della lagrangiana. Considera ad esempio le Hamiltoniane: $H_1=\frac 12 \left( q_2^2 (p_1 q_1)^2 +p_2^2 \right)$ e $H_2=\frac 12 \left( q_2^2 (p_1^2 +q_1^2) +p_2^2 \right)$. Per $H_1$ si conserva $p_1 q_1$ e la lagrangiana è $L=\frac 12 \left( \dot q_2^2 +{\dot q_1^2 \over q_2^2 q_1^2} \right)$, che ha il gruppo ad un parametro di simmetrie $g_{\tau} \binom {q_1}{q_2}= \binom {e^{\tau} q_1}{q_2}$. Per $H_2$ si conserva $p_1^2+q_1^2$, la lagrangiana è $L=\frac 12 \left( {\dot q_1^2\over q_2^2} +\dot q_2^2 +q_1^2 q_2^2\right)$ che non ha evidenti simmetrie.

OSSERVAZIONE 3. I nuovi impulsi li scegli tu, mentre risolvi l'equazione di H.J.. Infatti potevi, ad esempio, decidere che $\partial _{q_1} A q_1=a_2^2$, oppure $\log a_2$, o $a_1 a_2,...$, o potevi decidere che $H=a_1+a_2$. Avresti ottenuto una soluzione di H.J. con una diversa dipendenza dai nuovi impulsi, che comunque risolveva il problema. In sostanza, scegli come impulsi una qualche combinazione delle costanti da cui la soluzione di H.J. dipende. Inoltre la soluzione di H.J. deve dipendere da un numero di costanti pari ai gradi di libertà in modo non triviale (c'è comunque una costante additiva che si può aggiungere a $W$ ).