8.6 Teoria delle perturbazioni

Supponi di avere $H(\phi,I)=H_0(I)+\varepsilon H_1(\psi,I)$, dove le variabili $(\psi, I)$ sono variabili azione-angolo per l'hamiltoniana cosiddetta imperturbata $H_0$.

Stai cioè pensando di perturbare con $\varepsilon H_1(\psi,I)$ un'hamiltoniana integrabile $H_0$, pensando che $\varepsilon$ sia un parametro reale piccolo. Per l'hamiltoniana $H$ l variabili d'azione non sono piú costanti del moto (infatti $H$ dipende anche dalle $\psi$), e il nuovo sistema non sarà in generale integrabile; peró a tempi fissati ti aspetti di compiere un errore di oridine $\varepsilon$ considerando la soluzione della hamoltoniana imperturbata (scrivi le equazioni del moto: troverai $\dot I=O(\varepsilon )$). Un modo per migliorare questa approssimazione è quello di cercare una trasformazione canonica che porti l'hamiltoniana data in una in cui all'ordine zero non ci sia dipendenza dalle variabili angolari, e la dipendenza da $\varepsilon$ sia al secondo ordine, cioè $K(\psi,A)=K_0(A)+O(\varepsilon ^2)$.

Come si fa? Conviene cercare una funzione generatrice vicina alla funzione generatrice dell'identità, infatti all'ordine 0 in $\varepsilon$ la trasformazione che stiamo cercando non deve operare, perché l'hamiltoniana all'odine 0 è già in variabili azione-angolo, cioè integrabile. Dunque cerchiamo $S(\psi, A) =\psi\cdot A+\varepsilon W(\psi, A)$. La trasfomazione indotta da $S$ è data implicitamente da:

$$\begin{array}{l} I=\partial _{\phi} S=A+\varepsilon \partial ... ...ial _A S= \phi +\varepsilon \partial _A W(\phi, A). \end{array}$$ (8.68)

Non è esplicita, peró $I=A+O(\varepsilon )$, $\psi=\phi+O(\varepsilon )$. Ma allora possiamo esplicitarla in $(A, \psi)$ almeno fino all'ordine $\varepsilon$ che è quello che ci interessa:

$$\begin{array}{l} \phi=\psi-\varepsilon \partial _A W(\phi,A)=... ...silon \partial _{\phi}W(\psi, A)+O(\varepsilon ^2). \end{array}$$ (8.69)

La nuova Hamiltoniana sarà:

$$\begin{array}{l} K=H_0(A+\varepsilon \partial _{\phi}W(\psi, ... ...repsilon \partial _A W(\psi, A) +O(\varepsilon ^2)).\end{array}$$ (8.70)

Sviluppando fino all'ordine $\varepsilon$:

$$K(\psi,A)= H_0(A) + \varepsilon \left( \partial _A H_0( A) \cdot \partial _{\psi} W(\psi, A)+ H_1 (\psi, A) \right) +O(\varepsilon ^2).$$ (8.71)

Il problema è risolto se riusci a trovare $W$ tale che l'ordine $\varepsilon$ sia nullo, cioè:

$$\partial _A H_0( A) \cdot \partial _{\psi} W(\psi, A)+ H_1 (\psi, A)=0.$$ (8.72)

Conviene lavorare in serie di Fourier, infatti le variabili $\psi$ sono variabili angolari. Ti ricordo che stiamo lavorando in dimensione maggiore di uno, dunque nelle formule precedenti e seguenti, se $d$ è la dimensione, $\psi, A, k$ sono vettori di dimensione $d$. La serie di Fourier è definita da:

$$W(\psi,A) \sum_{k\in \mathbb{Z}^d} e^{i k\cdot \psi} \hat W(k,A),$$ (8.73)

dove $k\cdot \psi=\sum_{j=1}^d k_j \psi_j$, e i coefficienti di Fourier sono dati da:

$$\hat W(k,A)={1\over (2\pi)^d} \int_{T^d} d\psi_1\dots d\psi_d e^{-i k\cdot \psi} W(\psi,A),$$ (8.74)

dove $T^d$ è il toro d-dimensionale su cui vivono le variabili angolari $\psi_1, \dots \psi_d$.

Per trovare $W$ ti basta dunque trovarne i coefficienti di Fourier; l'equazione per i coefficienti è:

$$i \hat W(k,A) \left( \partial _A H_0(A) \cdot k\right)+\hat H_1(k, A)=0.$$ (8.75)

Quando puoi risolvere questa equazione lineare per $\hat W(k,A)$? Evidentemente ci riesci a meno che $\partial _A H_0(A) \cdot k=0$ e $\hat H_1(k, A) \neq 0$ e riesci a risommare la serie che definisce $W$. Se $H_1$ ha solo un numero finito di coefficienti di Fourier possono accadere sostanzialmente tre cose.

a) I valori di $k$ per cui $\partial _A H_0(A) \cdot k=0$ annullano anche $\hat H_1(k,A)$; dunque

$$\hat W(k,A)=\left\{ \begin{array}{l} i {\hat H_1(k, A) \over \par... ...} \text{se } \phantom{..}\hat H_1(k,A)\neq 0 \text{altrimenti;} \end{array}$$ (8.76)

quindi $W$ l'hai trovata e dunque sei riuscito a portare la perturbazione al secondo ordine; la nuova hamiltoniana all'ordine 0 è $K_0(A)=H_0(A)$, (cioè sono uguali, ma la variabile $A$ non è $I$...).

b) Termine di media non nullo: come sopra tranne che $\hat H_1(0), A)\neq 0$ (qui $O$ dentro $H$ è il vettore nullo in $\mathbb{Z}^d$; palesemente non puoi definire $\hat W(0,A)$ perché nell'equazione ha coefficiente 0 davanti; peró $\hat H_1(0), A)={1\over (2\pi)^d} \int_{T^d} d\psi W(\psi,A)$ è il valor medio sul toro di $H_1$, dunque non dipende dalle variabili angolari, puoi cioè incorporarlo dentro $H_0$:

$$H(\phi,I)=\left( H_0(I)+\varepsilon \hat H_1(0,I)\right) +\varepsilon \tilde H_1(\phi, I),$$ (8.77)

dove $\tilde H_1(\phi, I)=H_1(\phi,I)-\hat H_1(0),I)$ ha ora media nulla, cioè $\hat {\tilde H}_1(0,I)=0$; ti riduci cioè al caso precedente, peró la nuova hamiltoniana all'ordine 0 nella nupva variabile $A$ è $K_0(A)=H_0(A)+\varepsilon \hat H_1(0,A)$;

c) risonanza: per qualche $k$ diverso del vettore nullo, $\partial _A H_0(A) \cdot k=0$ mentre $\hat H_1(k, A) \neq 0$; in tal caso non puoi rimuovere la perturbazione di ordine $\varepsilon$ per quel particolare valore di $k$.

8.6.1 Esempi

Considera l'hamiltoniana $H=\frac 12 \left( p_1^2 +p_2^2\right) +\frac 12 \left( q_1^2+\omega^2 q_2^2\right) +\varepsilon q_1^2 q_2$, con $\omega\neq 0$. Per $\varepsilon = 0$ è intergabile, infatti è la somma delle hamiltoniane di due oscillatori armonici disaccoppiati: $H_0=\frac 12 (p_1^2 +q_1^2) +\frac 12 (p_2^2 +\omega^2 q_2^2).$ Passa dunque alle variabili azione-angolo separatamente nella coppia di variabili coniugate. Ottieni

$$\begin{array}{l} q_1=\sqrt{2I_1} \sin \phi_1 q_2=\sqrt{2I... ... I_2=\alpha_1=\frac 12 ( p_2^2+\omega^2 q_2^2). \end{array}$$ (8.78)

In variabili azione angolo per l'hamiltoniana con $\varepsilon = 0$, tutta l'hamiltoniana assegnata, diventa: $H=H_0+\varepsilon H_1=I_1+\omega I_2 +\varepsilon \left( a \sin^2 \phi_1 \sin \phi_2 \right)$, dove $a(I_1, I_2)=2 \sqrt{2\over \omega}I_1 I_2^\frac 12$. Tenta di rimuovere il primo ordine della perturbazione, cerca cioè una funzione $W(\psi, A)$ tale che valga in trasformata di Fourier:

$$i \hat W(k,A) \left( \partial _A H_0(A) \cdot k\right)+\hat H_1(k, A)=0.$$ (8.79)

Ti serve trovare la trasformata di $H_1$. La dipendenza angolare è $\sin^2 \phi_1Ê\sin \phi_2$. Ora

$$\sin \psi=\frac 1{2i} \left( e^{i\psi}-e^{-i\psi} \right).$$ (8.80)

Dunque, svolgendo il quadrato e i prodotti:

$$H_1={a\over 4 i} \left( e^{i\psi_2}-e^{-i\psi_2}\right) -{a\over ... ...e^{-i(2 \psi_1+\psi_2)} +e^{-i(2 \psi_1-\psi_2)}-e^{i(2 \psi_1-\psi_2)}\right).$$ (8.81)

Dunque i valori di $k$ per cui la trasformata di Fourier di $H_1$ non è nulla, sono

$$k=\pm \binom 01, \phantom{..}\pm \binom 21 , \phantom{..}\pm \binom 2{-1}.$$ (8.82)

Per controllare se ti trovi nel caso a) o nel caso c) (il caso b) è escluso perché $H_1$ è a media nulla, cioè la trasformata per $k=(0,0)$ è zero), devi determinare $\partial _A H_0(A)= \binom 1{\omega}$. Controlla se $k\cdot \partial _A H_0(A)=0$. Vale $k\cdot \partial _A H_0(A)=k_1+\omega k_2$, ma allora per poter rimuovere il primo ordine ti basta che $k_1+\omega k_2\neq 0$ per i valori di $k$ che hai determinato sopra. Sostituendo: $\omega, 2+\omega, 2-\omega$ devono essere diversi da zero, cioè $\omega\neq 0,2, -2$. In tal caso puoi procedere e ottieni:

$$\begin{array}{l} \hat W(\pm(0,1), A_1, A_2)= {I_1 I_2^\frac 1... ...1 I_2^\frac 12 \over 2 (2-\omega) \sqrt{2 \omega}}. \end{array}$$ (8.83)

Chi è la nuova hamiltoniana all'ordine 0? $K_0=A_1+\omega A_2$.

Esercizio 8.13   Considera $H=I_1\omega_1 +{I_2^2 \omega_2 \over 2} +\varepsilon I_1^2 I_2^2 \sin ^2 \phi_1 \sin^2 \phi_2$. Rimuovi la perturbazioe al primo ordine.

Soluzione

Usando l'espressione esponenziale del seno, si ottiene:

$$\begin{split}&\sin^2 \psi_1 \sin^2\psi_2= \frac 1{16} \lef... ... 2\psi_1}-2 e^{i 2\psi_2}-2 e^{-i 2\psi_2} \right). \end{split}$$ (8.84)

Dunque:

$$\hat H_1(k_1,k_1,A_1,A_2)= A_1^2 A_2^2 \cdot\left\{ \begin{matrix... ... (2,0), \pm (0,2) 0 & \phantom{..}\text{altrimenti}. \end{matrix} \right.$$ (8.85)

La media è nulla, dunque devi portare il termine di media in $H_0$, cioè l'hamiltoniana imperturbata che devi considerare è

$$\tilde H_0=H=I_1\omega_1 +{I_2^2 \omega_2 \over 2}-\frac {\varepsilon }4 I_1^2 I_2^2.$$ (8.86)

Sotto quali condizioni riesci a rimuovere la perturbazione al primo ordine? Calcola le frequenze $\partial _A H_1= \binom {\omega_1}{A_2\omega_2}$. Allora deve essere:

$$\omega_1 \pm 2 A_2\omega_2 \neq 0, \phantom{..}\omega_1\neq 0,\phantom{..}A_2\omega_2 \neq 0.$$ (8.87)

In tal caso:

$$\hat W(\pm(2,-2), A)= \pm i{A_1^2 A_2^2 \over 32(\omega_1-A_2 \om... ...}, \hat W(\pm(2,2), A)= \pm i{A_1^2 A_2^2 \over 32(\omega_1+A_2 \omega_2) },$$ (8.88)

$$\hat W(\pm(2,0), A)=\mp i {A_1^2 A_2^2 \over 16\omega_1 }, \hat W(\pm(0,2), A)=\mp i {A_1^2 A_2^2 \over 16\omega_2 }.$$ (8.89)

La nuova hamiltonianana all'ordine 0 (che in realtà dipende da $\varepsilon$, ma non dalle variabili angolari) è $K_0=A_1\omega_1 +{A_2^2 \omega_2 \over 2}-\frac {\varepsilon }4 A_1^2 A_2^2.$

Che succede nelle risonanze, cioè, ad esempio, se ti interessa il moto nella regione intorno a $A_2={2\omega_1 \over \omega_2}$? Non puoi rimuovere tutto il primo ordine; in pratica sopravvive un termine di ordine $\varepsilon$ che dipende dalle $\psi$. Operando come sopra, non puoi risolvere l'equazione per i coefficienti di $W$ con $k=\pm(2,-2)$; i corripondenti termini di $H_1$ sopravvivono , e sono:

$${A_1^2 A_2^2 \over 16}\left( e^{i(2\psi_1-2\psi_2)}+ e^{-i(2\psi_1-2\psi_2)} \right)={A_1^2 A_2^2 \over 8} \cos (2\psi_1-2\psi_2).$$ (8.90)

L'hamiltoniana che ottieni è:

$$K=A_1\omega_1 +{A_2^2 \omega_2 \over 2}-\frac {\varepsilon }4 A_1^2 A_2^2+\varepsilon {A_1^2 A_2^2 \over 8} \cos (2\psi_1-2\psi_2).$$ (8.91)