8.3 Funzioni generatrici e trasformazioni canoniche dipendenti dal tempo

La condizione di simpletticità $3)$, può essere riformulata nel modo seguente:

esiste $F(p,q)$ tale che $p dq - P dQ = dF$.

Un modo di usare questo fatto è pensare che la trasformazione assegnata permetta di considerare le $q$ e le $Q$ come variabili indipendenti. In tal caso anche nelle variabili $(q, Q)$ deve valere $p dq - P dQ = dF$, dove al posto di $p$ e $P$ avremo scritto la loro espressione in termini di $(q, Q)$. Ma allora la trasformazione deve verificare: esiste $F=F(q,Q)$ tale che:

$$\begin{array}{l} p(q, Q) =\partial _q F(q,Q) P(q, Q) =-\partial _Q F(q,Q). \end{array}$$ (8.22)

L'utilità di questo ragionamento è che per avere una trasformazione canonica è sufficiente dare una funzione $F(q,Q)$, di definire le funzioni $p(q,Q)$ e $P(q,Q)$ attraverso le definizioni 8.22 e poi invertire la prima rispetto a $Q$, in modo da ottenere $Q=Q(q,p)$ e $P=P(q,p)$. Ovviamente per fare ciò deve valere almeno la condizione di invertibilità locale $\det \left(\partial _q \partial _q F(q,Q) \right) \ne 0$.

Esercizio 8.6   Trovare i valori dei parametri per cui la trasformazione seguente è canonica, costruendo la funzione generatrice di tipo $F=F(q,Q)$:

$$\begin{array}{l} Q=\sqrt p e^{a q} P=-p^b e^{q};\end{array}$$ (8.23)

La condizione di canonicità espressa tramite la funzione generatrice è particolarmente utile nel caso di trasformazioni dipendenti dal tempo. Infatti, una trasformazione

$$\begin{split}&Q=Q(q,p,t) &P=P(q,p,t) \end{split}$$ (8.24)

è canonica se è simplettica per ogni $t$. Questo è equivalente al fatto che, detta $H$ la vecchia hamiltoniana (anche dipendente dal tempo) e detta $K$ la nuova, esista una funzione $F(p,q,t)$ tale che:

$p dq -H(p,q,t)dt =P dQ -K(P,Q,t) + dF(p,q,t)$.

Anche in questo caso, se si possono considerare le $q$ e le $Q$ come variabili indipendenti si ottiene

$$\begin{array}{l} p(q, Q,t) =\partial _q F(q,Q,t) P(q, Q,t) =-\partial _Q F(q,Q,t). \end{array}$$ (8.25)

E non solo, ottenuta la trasformazione, si ottiene anche la nuova hamiltoniana:

$$K(Q,P,t)= H(q(Q,P,t),p(Q,P,t),t) + \partial _t F(q(Q,P,t),p(Q,P,t),t).$$ (8.26)

Esercizio 8.7   Risolvere le equazioni di Hamilton per l'hamiltoniana $H=-{pq \over 2t} \log \left( {p\over 2t} \right)$, utilizzando la trasformazione canonica generata da $F(q,Q,t)=q^2 e^{Qt}$.

8.3.1 Altri tipi di funzioni generatrici

può essere conveniente pensare l'espressione

$$p dq-H dt=P dQ -K dt +dF$$ (8.27)

in termini di altre coppie di variabili. Considera ad esempio $(q,P)$: è utile scivere $P dQ=d(PQ)-Q dP$ e definire $S=F+PQ$; ottieni:

$$p dq-H dt=-Q dP -K dt +dS,$$ (8.28)

dove $p, Q, H, K, S$ le stai pensando come funzioni di $(q,P,t)$. In tal caso la condizione di canonicità (e quindi la trasformazione in forma implicita, assegnata la funzione $S$) diventa:

$$\begin{array}{l} p(q,P,t)=\partial _q S(q,P,t) Q(q,P,t)=\partial _P S(q,P,t), \end{array}$$ (8.29)

e la relazione tra le hamiltoniane e $S$: $K=H+\partial _t S$.

Esercizio 8.8   (teorico) Trovare tutte le relazioni che definiscono una trasfomazione canonica, assegnata una funzione di qualunque combinazione delle variabili; quante sono per un sistema a $n$ gradi di libertà? Ad esmpio, usa come variabili indipendenti $(q,P), (P,q), (p, P)$, e, a due gradi di libertà $(q_1, P_1, p_2, Q_2)$.

Esercizio 8.9   (teorico) Data $H$ e la trasformazione delle sole coordinate $Q=Q(q,t)$, puoi ottenere una trasformazione canonica nel seguente modo: scrivi la lagrangiana in $(q, \dot q)$, cambia il sistema di coordinate e scrivi la nuova hamiltoniana; hai dunque trovato una legge di trasformazione degli impulsi. Prova che la trasformazione che hai ottenuto è generata da $S=PQ(q,t)$.

Esercizio 8.10   Determinare una trasformazione canonica tra quelle generate da $F=\alpha q^a Q^b$, che trasformi l'hamiltoniana $H=\frac 12 \left( {1\over q^2}+p^2 q^4 \right)$ nell'hamiltoniana di un oscillatore armonico.

Esercizio 8.11   Studiare il moto del sistema di Hamiltoniana

$$H={p_1^2 \over 2m } +\frac 1{2m} (p_2-kq_1)^2,$$ (8.30)

mediante la trasformazione canonica generata da $F=kq_1 Q_2 -p_2 Q_2 +p_2 P_1$.

Esercizio 8.12   Determinare il moto del sistema di Lagrangiana

$$L=q\dot q^2,$$ (8.31)

passando all'hamiltoniana e utilizzando la trasformazione canonica generata da $F(p,Q)=-{p^3\over 12 Q}$.