8.2 Trasformazioni simplettiche indipendenti dal tempo

Condizioni equivalenti di simpletticità sono:

1)

lo jacobiano è una matrice simplettica;

2)

$\{Q_i,Q_j\}=0=\{P_i,P_j\}$, $\forall i,j$, $\{Q_i,P_j\}=\delta_{ij}$ (le parentesi di Poisson sono definite da $\{f,g\}=\partial _q f\cdot \partial _p g-\partial _p f\cdot \partial _q g$, e sono un prodotto antisimmetrico per le funzioni regolari di $(q,p)$);

3)

la forma differenziale $p dq-P dQ=\sum_i (p_i dq_i - P_i dQ_i)=\sum_i (p_i dq_i-\sum_j (\partial _{q_j}Q_i dq_j+ \partial _{p_j}Q_i dp_j))$ è chiusa (localmente esatta).

4)

ne esistono altre ( vedi ``parentesi di lagrange'' sui testi di meccanica analitica).

Esercizio 8.2   (teorico) Verifica che le condizioni 1,2,3 sono equivalenti e che implicano la canonicità della trasformazione.

Esercizio 8.3  

$$\begin{array}{l} Q=\log \left( \frac 1q \sin p\right) P= q \text{ ctg} p\end{array}$$ (8.10)

Dove è definita? Qual è l'inversa? È canonica?

Soluzione

Perché la traformazione abbia senso deve essere $\frac 1q \sin p >0$, dunque $(q, p)$ devono essere nelle regioni $q>0$ e $p\in(2k\pi, 2(k+1)\pi)$, con $k\in \mathbb{Z}$, o nelle regioni $q<0$ e $p\in(2k-1\pi, 2k\pi)$, con $k\in \mathbb{Z}$. In entrambi i casio anche la seconda equazione ha senso, infatti essa ha singolarità solo per $\sin p = 0$. Quindi la trasformazione è definita nelle regioni descritte sopra.

Per calcolare l'inversa bisogna esprimere $(q, p)$ in funzione di $(Q, P)$. Comincio con l'invertire il logaritmo: $\sin p = qe^Q$. Dalla seconda $\sin p = \frac qP \cos p$. Ma allora $qe^Q= \frac qP \cos p$. Dunque

$$p=\pm \arccos\left( Pe^Q \right).$$

Inserendo questa relazione nella prima equazione ottengo

$$q=\pm \sqrt{ 1- P^2 e^Q} e^{-Q}.$$

I segni si determinano a seconda della regione in cui si inverte la trasformazione.

Per verificare la canonicità è sufficiente calcolare verificare se $\{ Q,P \}=1$. Calcolo quindi lo Jacobiano della trasformazione.

$$\left( \begin{matrix}{\dfrac {\partial {Q}}{\partial {q}}} & {\df... ...1q & \text{ctg } p \text{ctg } p & q(1- \text{ctg}^2 p \end{matrix} \right)$$ (8.11)

Ma allora $\{ Q,P \}=1$.

Esercizio 8.4  

$$\begin{array}{l} Q=2a \log p +\log q P=-p^b q \log q\end{array}$$ (8.12)

Trovare per quali valori di $a$ e $b$ è canonica. Considera l'hamiltoniana $H= \frac 12 p^2 q^2 (\log q)^2$, e il dato iniziale $(q(0), p(0))= (e, \frac 1e)$. Trova la soluzione delle equazioni del moto utilizzando la trasformazione canonica trovata.

Soluzione Calcolo lo Jacobiano

$$\left( \begin{matrix}{\dfrac {\partial {Q}}{\partial {q}}} & {\df... ...1q & 2a \frac 1p -p^b (\log q +1) & -b p^{b-1} q\log q \end{matrix} \right)$$ (8.13)

Impongo $\{ Q, P \}=1$:

$$-\frac 1q b p^{b-1} q\log q + 2a \frac 1p p^b (\log q +1)=1,$$

cioè:

$$p^{b-1}( -b\log q + 2a \log q + 2a )=1.$$

Se deve fare $1$, in particolare non deve dipendere da $p$. Dunque $b=1$. Ottengo

$$(2a-1)\log q + 2a =1.$$

Ma non deve dipendere nemmeno da $q$, dunque $2a=1$. Quindi per $b=1$ e $a=\frac 12$ la trasformazione è canonica.

La trasformazione cercata è

$$\begin{split}&Q=\log p + \log q &P= -pq \log q. \end{split}$$ (8.14)

La nuova Hamiltoniana è $K(P,Q)=H(p(Q,P),q(Q,P))=\frac 12 P^2$. Ma allora le equazioni del moto sono

$$\begin{split}&\dot Q=P &\dot P=0, \end{split}$$ (8.15)

che hanno soluzioni

$$\begin{split}&Q(t)=Q(0)+P(0)t &P(t)=P(0). \end{split}$$ (8.16)

Impongo il dato iniziale e ottengo $Q(0)=0$ e $P(0)=-1$. Quindi:

$$\begin{split}&Q(t)=-t &P(t)=-1. \end{split}$$ (8.17)

Ma allora posso cercare di esprimere la soluzione nelle vecchie variabili attraverso la trasformazione inversa. Dopo un pò di algebra si ottiene

$$\begin{split}&q=e^{-Pe^{-Q}} &p=e^{Q+Pe^{-Q}}. \end{split}$$ (8.18)

Dunque

$$\begin{split}&q(t)=e^{e^{t}} &p(t)=e^{-t-e^{t}}. \end{split}$$ (8.19)

Come visto negli esercizi precedenti, la simpletticità si controlla sia calcolando l'esattezza della forma differenziale $p dq-P dQ$, sia calcolando le parentesi di Poisson. Nel caso di un sistema ad un grado di libertà, questi conti sono particolarmente semplici. Infatti, per antisimmetria, $\{Q,Q\}=\{P,P\}=0$ qualunque siano le funzioni $Q$ e $P$. Dunque la condizione di simpletticità è semplicemente $\{ Q,P \}=1$.

In più dimensioni il calcolo si complica. Ad esempio considera l'esercizio

Esercizio 8.5   Verificare la canonicità di:

$$\begin{array}{l} Q_1=q_1 q_2 Q_2=q_1+q_2 P_1={p_1-p_2... ... P_2={q_2 p_2 -q_1 p_1 \over q_2-q_1}-(q_2+q_1). \end{array}$$ (8.20)

In questo caso le relazioni per le parentesi di Poisson da verificare sono:

$$\begin{array}{l} \{Q_1,Q_2\}=\{P_1,P_2\}=\{Q_1,P_2\}=\{P_1,Q_2\}=0 \{Q_1,P_1\}=\{Q_2,P_2\}=0.\end{array}$$ (8.21)