8.1 Le trasformazioni canoniche

8.1.1 Il problema

Considera un Hamiltoninana $H(q,p,t)$, e una trasformazione regolare di coordinate

$$\begin{split}&Q=Q(q,p,t) &P=P(q,p,t). \end{split}$$ (8.1)

Esiste $K=K(Q,P,t)$ tale che

$$\left\{ {\begin{array}{l} \dot q={\partial H\over dp} \dot p=-{\partial H\over dq} \end{array}} \right. \phantom{..} \phantom{..} \left\{ {\begin{array}{l} \dot Q={\partial K\over dP} \dot P=-{\partial K\over dQ} \end{array}} \right.\phantom{..}$$ (8.2)

In altre parole, il sistema di equazioni differenziali nelle variabili $Q,P$ è hamiltoniano? E se lo è, qual è l'Hamiltoniana?

Risolvere questo problema è utile perché in alcuni casi il sistema nelle nuove variabili è piú facilmente risolubile di quello nelle vecchie.

8.1.2 Un esempio

Sia $H=\frac 12 q^2+\frac 12 p^2$ e sia data la trasformazione:

$$\begin{split}&Q=p+q &P=q. \end{split}$$ (8.3)

La trasformazione inversa è

$$\begin{split}&q=P &p=Q-P \end{split}$$ (8.4)

Le equazioni del moto, nelle vecchie variabili sono:

$$(1) \left\{ \begin{array}{l} \dot q=p \dot p =-q. \end{array} \right.$$ (8.5)

Nelle nuove variabili le equazioni si ottengono utilizzando le equazioni $(1)$ e le trasformazioni di coordinate. Si ottiene:

$$(2) \left\{ \begin{split}&\dot Q=\dot p + \dot q = -q + p = Q-2P &\dot P= \dot q = p = Q-P. \end{split} \right.$$ (8.6)

Un sistema differenziale è Hamiltoniano se esiste l'hamiltoniana, cioè se esiste una funzione $K(P,Q)$ tale che

$$\begin{split}&\dot Q = {\dfrac {\partial {K}}{\partial {P}}} &\dot P= -{\dfrac {\partial {K}}{\partial {Q}}}. \end{split}$$ (8.7)

Nel nostro caso, questo accade se una delle seguenti condizioni equivalenti è soddisfatta:

i)

la forma differenziale $(P-Q)dQ+(Q-2P)dP$ è chiusa

ii)

div$_{Q,P} \binom {Q-2P}{Q-P}=0$

Ed in effetti div$_{Q,P} \binom {Q-2P}{Q-P}= 1-1=0$. Per la determinare la Hamiltoniana $K$ bisogna trovare la primitiva della forma differenziale $(P-Q)dQ+(Q-2P)dP$. Integrando nella variabile $Q$ si ottiene: $K(P,Q)= -\frac {Q^2}2+QP+ g(P)$, dove $g$ si determina imponendo ${\dfrac {\partial {K}}{\partial {P}}}=Q-2P$. Si ottiene $Q + {\dfrac {\partial {g}}{\partial {P}}} = Q-2P$, quindi $g(P)=P^2$. In definitiva $K(P,Q)= -\frac {Q^2}2+QP+P^2$.

8.1.3 Un esempio molto particolare

Sia $H=\frac {p^2}2$, e sia $P=p^2, Q=q$ la trasformazione assegnata. Nelle nuove variabili il sistema differenziale è $\dot Q=\sqrt P, \dot P=0$, che è hamiltonianio di halmiltoniana $K=\frac 23 P^{\frac 32}$. D'altra parte per l'hamiltoniana $H={qp^2\over 2}$, il sistema trasformato $\dot Q=\sqrt P, \dot P=-P^{\frac 32}$ non è hamiltoniano.

In questo esempio la trasformazione porta il sistema di Hamiltoniana $H=\frac {p^2}2$ in un sistema hamiltoniano, mentre porta il sistema di hamiltoniana $H={qp^2\over 2}$ in un sistema che non è hamiltoniano.

Il fatto importante è che esistono invece trasformazioni che portano sistemi Hamiltoniani in sistemi Hamiltoniani qualunque sia l'Hamiltoniana di partenza. Nel seguito chiamerò trasformazioni canoniche tali trasformazioni.

Esercizio 8.1   (teorico) Provare che ogni cambiamento lineare invertibile per sistemi a un grado di libertà di coordinate è canonico nel senso detto sopra.

Una classe di trasformazioni canoniche è quella dei diffeomorfismi simplettici (nel seguito chiamate trasformazioni simplettiche):

$$\begin{split}&Q=Q(q,p) &P=P(q,p) \end{split}$$ (8.8)

è un diffeomorfismo simplettico se lo jacobiano della trasformazione è simplettico per ogni valore di $(q,p)$:

$$D=\left(\matrix\partial _q Q & \partial _p Q \partial _q P & \partial _p P \endmatrix\right): \phantom{..}\phantom{..}DJD^t=J\phantom{..} \phantom{..} J=\left( \matrix0 & I -I & 0\endmatrix\right)$$ (8.9)

(in dimensione $n>2$, la matrice $D$ è una matrice $2n\times 2n$, dove ogni blocco è definito nel modo ovvio: ${\dfrac {\partial {Q}}{\partial {q}}}$ è la matrice delle derivate delle $n$ funzioni $Q_i$ rispetto alle $n$ variabili $q_j$, cioè $(\partial _q Q)_{i,j}={\partial Q_i\over \partial q_j}$ etc. . Per queste trasformazioni, nel caso in cui $H$ non dipenda dal tempo la regola per trovare la nuova Hamiltoniana è $K(Q,P)=H(q(Q,P),p(Q,P))$.

In sintesi esistono

a)

trasformazioni che trasformano un sistema hamiltoniano di hamiltoniana $H$ assegnata in un altro sistema hamiltoniano

b)

trasformazioni canoniche che trasformano un sistema hamiltoniano in un sistema hamiltoniano qualunque sia l'hamiltoniana $H$

c)

trasformazioni simplettiche, cioè quelle che verificano l'identità (8.9). In particolare queste trasformazioni sono canoniche. La nuova Hamiltoniana si ottiene semplicemente esprimendo la vecchia nelle nuove coordinate $K(Q,P)=H(q(Q,P),p(Q,P))$.

Nel seguito mi interesserò solo alle trasformazioni simplettiche, che chiamerò, con abuso di linguaggio, canoniche.