4 Alcuni compiti d'esame

4.0.1 L,S,PO: Compito di Meccanica, febbraio '97

Un'asta omogenea di estremi $A$ e $B$, massa $M$, e lunghezza $l$, é vincolata a muoversi su di un piano verticale $\pi$. Il suo estremo $A$ è vincolato a muoversi su di una retta orizzontale $r\subset \pi$. Inoltre, $\pi$ ruota con velocità angolare costante $\omega$ intorno all'asse verticale $s$, ortogonale a $r$ nel punto fisso $O$.

Il punto $A$ dell'asta è richiamato dal punto $O$ da una molla ideale di costante elastica $k$.

Si introducano le coordinate lagrangiane $\rho=$ distanza di $A$ da $O$, e $\theta=$ angolo tra la direzione dell'asta e la direzione dell'asse $s$.

1) Si scriva la Lagrangiana, e, considerando trascurabili gli effetti gravitazionali, e si determinino, conseguentemente, eventuali quantità conservate.

Sempre nell'approssimazione di cui al punto 1:

2) si determinino le soluzioni di equilibrio, al variare del parametro $h=\frac k{M\omega^2}$;

3) si discuta la stabilità delle soluzioni di equilibrio al variare di $h$;

4) nel caso $h>1$ si calcolino le frequenze e i modi normali delle piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabile.

Soluzione

4.0.2 L,S,PO: Primo compito di esonero, a.a. 93-94.

Nel piano verticale, si fissi un sistema di riferimento inerziale $(0,x,y)$, con asse y orientato lungo la retta verticale ascendente. Attorno al punto fisso $O$ é libera di ruotare un'asta illimitata (senza peso). Sia $s$ la coordinata sull'asta, scelta positiva alla destra di $O$, e sia $\theta$ l'angolo (contato in vero antiorario) che l'asta forma con l'asse $x$. Sull'asta, in $s=a, a >0$, é fissato un punto $P_{1}$ di massa $m_{1}$. Inoltre, sull'asta, è libero di scorrere un secondo punto materiale $P_{2}$, di massa $m_{2}$. $P_{2}$ è richiamato da $P_{1}$, con una forza elastica $F = -k(P_{2} - P_{1}), k >0.$

Prima domanda. Si scriva la lagrangiana del sistema.

Seconda domanda. Detto $\alpha =ak {(m_{1} + m_{2}) \over gm_{2}^{2}}$, discutere, al variare di questo parametro, le soluzioni stazionarie del sistema Lagrangiano, determinandone, per $\alpha \ne 1$, le relative proprietà di stabilità.

Terza domanda. Si determinino le frequenze delle "piccole oscillazioni" attorno alle posizioni di equilibrio stabili.

Quarta domanda. Si consideri ora il seguente problema: l'asta gira con frequenza angolare costante $\omega$ attorno ad O. Si discuta il corrispondente problema ad un grado di libertà .

Soluzione

4.0.3 CR,L,S Compito di Meccanica Razionale, 6/6/'96, I$^o$ appello, sess. estiva.

Una circonferenza ${\mathcal {C}}$ di raggio $R$ e massa $M_1$ ruota con velocità angolare costante $\omega$ in un piano verticale, intorno al suo centro $O$. Sul suo bordo interno rotola senza strisciare un disco ${\mathcal {D}}$ di raggio $r<R$ e massa $M$. Il centro $G$ di tale disco é richiamato da una molla elastica di costante $k>0$, da un punto materiale $Q$ di massa $m$, libero di scorrere sull'asse verticale passante per $O$.

Indica con $\psi=\omega t$ e $\phi$ gli angoli di rotazione propria di ${\mathcal {C}}$ e ${\mathcal {D}}$ rispettivamente, con $\theta$ l'angolo che $OG$ forma con la direzione postitiva dell'asse orizzontale, e con $y$ la quota del punto $Q$ rispetto a $O$:

1) scrivi la condizione di puro rotolamento in termini di $\dot \psi, \dot \phi, \dot \theta$, e dimostra che è un vincolo olonomo;

2) scrivi la Lagrangiana del sistema nelle variabili lagrangiane $\theta , y$;

3) determina le soluzioni stazionare del relativo sistema di Lagrange, al variare del parametro adimensionale $\lambda= {(M+m) g\over (R-r) k}$;

4) discuti la stabilità delle posizioni di equilibrio al variare di $\lambda$;

5) determina le condizioni iniziali sul moto del baricentro $G$ del disco ${\mathcal {D}}$ a cui corrispondono solo moti armonici del punto $Q$.

Soluzione

4.0.4 CR,L,S Compito di Meccanica Razionale, sess. estiva (Pulvirenti)

Si consideri un sistema di riferimento piano inerziale di origine $O$ e assi $(x,y)$, l'asse $y$ essendo scelto allineato con la verticale ascendente. Un disco omogeneo, di raggio $R$, centro $G$, e massa totale $M$, rotola senza strisciare (cioé puro rotolamento) lungo l'asse $y$. Lungo un diametro del disco - di estremi $A, B$- è libero di scorrere senza attrito un punto materiale di massa $m$. Tale punto è inoltre richiamato dal centro del disco tramite una molla ideale di costante elastica $k$ ($k>0$). Nell'istante iniziale il centro del disco si trova sull'asse $x$, il diametro $A, B$ è collineare all'asse $x$ e $x_{A} < x_{G} < x_{B}.$

Si consideri un sistema solidale $(\xi, \eta)$ di assi incentrati in $G$, l'asse $\xi$ orientato come $AB$. Si assumano come parametri Lagrangiani l'angolo $\phi$ (contato in senso antiorario) che l'asse solidale $\xi$ forma con l'asse delle $x$ e l'ascissa $\xi$ del punto $P$.

$1^{a}$ domanda. Si scriva la Lagrangiana del sistema.

$2^{a}$ domanda. Si determinino le eventuali configurazioni di equilibrio.

$3^{a}$ domanda. Si discuta la stabilità delle soluzioni di equilibrio determinate al punto $2$.

$4^{a}$ domanda. Si consideri ora un diverso problema, e cioé si consideri il punto $P$ fissato nel centro. Descrivere il moto del sistema.

Soluzione

4.0.5 CR,L,S Compito sessione estiva a.a. 93-94

In un piano orizzontale sono poste due aste $A_1B_1$ e $A_2B_2$ di rispettive masse $M_1$ ed $M_2$ (distribuzione di massa omogenea) e lunghezze $L_1$ ed $L_2$. Le aste sono libere di ruotare attorno ai rispettivi baricentri $G_1$ e $G_2$, fissi nel piano, con $\vert G_1 G_2\vert=l>0$.

Sia $P$ un punto appartenente all'asta $A_1B_1$, giacente tra $G_1$ e $A_1$, $Q$ un punto appartenente all'asta $A_2B_2$, giacente tra $G_2$ e $A_2$, $\vert G_1 P\vert=\vert G_2 Q\vert=r>0$. Tra i punti $P$ e $Q$ agisce una molla ideale, di costante elastica $k>0$. Si richiede:

1) scrivere la Lagrangiana del sistema;

2) determinare gli equilibri;

3) discutere la stabilità degli equilibri al variare del parametro $\alpha={l\over 2 r}$ in $\mathbb{R}_+-\{1\}$;

4) considerato il sistema corrispondente a $l=0$, si discuta il corrispondente sistema lagrangiano, mostrando che è riconducibile ad un sistema ad un grado di libertà.

Soluzione

4.0.6 CR,L,S,PO: Compito di Meccanica Razionale del 6.10.94

In un piano verticale si adotta un sistema di riferimento inerziale $(O,x,y)$, con $O$ fisso, asse $y$ orientato lungo la verticale ascendente. Sull'asse $y$ è libero di scorrere senza attrito il punto $P$ di massa m. Un'asta di estremi $A, B$, massa M, lunghezza $2L$ è libera di ruotare, senza attrito, attorno al suo punto medio, fissato in $O$. Il punto estremo $A$ (risp. $B$) è richiamato dal punto $P$, tramite una molla elastica ideale, di costante $k_{1}$ (risp. $k_{2}$). Si assuma $a = k_{1} - k_{2} >0$.

(I). Si scriva la Lagrangiana del sistema e si determinino le configurazioni di equilibrio al variare del parametro $\alpha:={mg \over aL}\in (0,\infty)$.

(II). Si discuta la stabilità degli equilibri al variare del parametro $\alpha$ in $\mathbb{R}^{+} -\{1\}$.

(III). Si studi il sistema Lagrangiano ottenuto per linearizzazione attorno alla posizione di equilibrio che è stabile per ogni $\alpha$, nell'intervallo predetto.

(IV). Si assuma ora $a = 0.$ Si determinino i moti del corrispondente sistema lagrangiano.

Soluzione

4.0.7 CR,L,S,PO Compito del 20.6.94 (Marchioro)

Una sbarra rigida omogena pesante $OH$ di lunghezza $L$ e massa $M$ è posta in un piano verticale ed è libera di ruotare senza attrito attorno al suo estremo $O$. Per l'altro estremo $H$ passa una guida di massa trascurabile ortogonale alla sbarra. Lungo tale guida si muove senza attrito un punto materiale pesante $P$ di massa $m$. Esso è soggetto oltre al peso ad una forza elastica $F=-k OP$, $k>0$.

Scegliamo come variabili lagrangiane l'angolo $\theta$ che la sbarra forma con la verticale discendente e l'ascissa $x$ del punto $P$ lungo la guida.

1) Scrivere le equazioni del moto del sistema.

2) Trovare le posizioni di equilibrio e discuterne il numero e la stabilità.

3) Studiare le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

Soluzione

4.0.8 CR,L,S,PO: Compito del 11.7.94 (Marchioro)

In un piano orizzontale si muovono due sbarrette omogenee di lunghezza $L$ e massa $M$ di estremi rispettivamente $A, B$, e $B, C$, incernierate tra loro in $B$ ma libere di ruotare senza attrito. Gli estremi $A$ e $C$ sono obbligati a scorrere senza attrito lungo un asse fisso $x$. Su $A$ agisce una forza $F_1=-k H_1A$, su $C$ una forza $F_2=-k H_2 C$ ($k>0$), ove $H_1$ e $H_2$ sono punti dell'asse $x$ di ascisse rispettivamente $-\frac L2$ e $\frac L2$. Scegliamo come variabili lagrangiane l'ascissa di $B$ $x_B$, e l'angolo $\theta$ che $AB$ forma con l'asse $x$.

1) Trovare le equazioni del moto.

2) Trovare le posizioni di equilibirio e discuterne la stabilità.

3) Scrivere le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.

4) Trovare se esistono condizioni iniziali per cui il moto sia armonico con frequenza $\omega$ non solo per piccole oscillazioni ma anche per oscillazioni finite.

Soluzione

4.0.9 CR,L,S,PO Esonero di Meccanica Razionale del 14-5-90

Un disco omogeneo pesante di massa $M$ e raggio $R$ è vincolato in un piano verticale a rotolare senza strisciare su una guida orizzontale $Oy$. Un punto materiale di massa $m$ è vincolato senza attrito al suo bordo. Sul centro $\Omega$ del disco agisce la forza $-kO\Omega$ ($k \ge 0$).

1) Determinare gli equilibri e la loro stabilità, (per $k>0$).

2) Scrivere la lagrangiana e le equazioni di Lagrange studiando, per $k>0$, le piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. Si calcolino le frequenze proprie e i modi normali.

3) Per $k = 0$ si determinino 2 integrali primi del moto.

4) (facoltativo) Per $k = 0$ determinare i moti tali che la quota del punto materiale rimanga costante nel tempo.

Soluzione

4.0.10 CR,LS,PO Esonero di Meccanica Razionale del 14-5-90

Un disco omogeneo pesante di massa $M$ e raggio $R$ è vincolato in un piano verticale a rotolare senza strisciare su una guida orizzontale $Oy$. Un punto materiale di massa $m$ è vincolato senza attrito al suo bordo. Sul centro $\Omega$ del disco agisce la forza $-kO\Omega$ ($k \ge 0$).

1) Determinare gli equilibri e la loro stabilità, (per $k>0$).

2) Scrivere la lagrangiana e le equazioni di Lagrange studiando, per $k>0$, le piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile. Si calcolino le frequenze proprie e i modi normali.

3) Per $k = 0$ si determinino 2 integrali primi del moto.

4) (facoltativo) Per $k = 0$ determinare i moti tali che la quota del punto materiale rimanga costante nel tempo.

Soluzione

4.0.11 L,RU Compito di Meccanica del 23.2.1995

Un punto materiale pesante è vincolato senza attrito alla superficie di rotazione d'asse verticale $z$, descritta in coordinate cilindriche dall'equazione $\rho^2=(1+a\cos z)$, con $0<z<2\pi$, $a$ costante positiva minore di $1$.

a) Dimostra che il corrispondente sistema lagrangiano è integrabile.

b) Dimostra che esistono condizioni iniziali tali che il punto si muova mantenendo la quota costante. Descrivi tali moti.

Soluzione

4.0.12 L,RU,N: Primo compito di esonero, a.a.94-95.

Si consideri la funzione Lagrangiana:

$$L = {1\over 2}({\dot q_{1}}^{2} + {\dot q_{2}}^{2}) + {q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} - ({q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2})^{3}.$$ (4.1)

1) Sfruttando la simmetria della Lagrangiana dimostrare che esiste un integrale primo del corrispondente sistema di Lagrange, distinto dall'integrale primo dell'energia. Detto $I$ tale integrale primo, si consideri il sistema di Lagrange ristretto sui livelli $I = c, c\in R\setminus\{0\}$. Si dimostri che tale restrizione è ancora un sistema Lagrangiano, ad un grado di libertà, e si scriva la corrispondente Lagrangiana $L^{(c)}$. Si studino quindi le orbite al variare di $c$.

2) Si considerino per il sistema di Lagrangiana $L$ le condizioni iniziali:

$$\begin{array}{l} \alpha q_{1}(0) + \beta q_{2}(0) = 0 \alpha \dot q_{1}(0) + \beta \dot q_{2}(0) = 0 \end{array}$$ (4.2)

$\alpha, \beta \in {\mathbb{R}}^2, \beta \ne 0.$

Si studino i corrispondenti moti, individuando in particolare, se esistono, moti a meta asintotica.

Soluzione

4.0.13 CR,L,RU: Compito di Meccanica Razionale del 26.2.96

Un disco rigido di massa M e raggio $R$ è libero di scorrere senza attrito su di un piano orizzontale fisso. Sul bordo del disco puó scorrere, ancora senza attrito, un punto materiale di massa $m$.

Si richiede di determinare il moto del sistema.

Soluzione

4.0.14 CR,L,S,RU Compito sessione estiva a.a. 93-94

In un piano orizzontale sono poste due aste $A_1B_1$ e $A_2B_2$ di rispettive masse $M_1$ ed $M_2$ (distribuzione di massa omogenea) e lunghezze $L_1$ ed $L_2$. Le aste sono libere di ruotare attorno ai rispettivi baricentri $G_1$ e $G_2$, fissi nel piano, con $\vert G_1 G_2\vert=l>0$.

Sia $P$ un punto appartenente all'asta $A_1B_1$, giacente tra $G_1$ e $A_1$, $Q$ un punto appartenente all'asta $A_2B_2$, giacente tra $G_2$ e $A_2$, $\vert G_1 P\vert=\vert G_2 Q\vert=r>0$. Tra i punti $P$ e $Q$ agisce una molla ideale, di costante elastica $k>0$. Si richiede:

1) scrivere la Lagrangiana del sistema;

2) determinare gli equilibri;

3) discutere la stabilità degli equilibri al variare del parametro $\alpha={l\over 2 r}$ in $\mathbb{R}_+-\{1\}$;

4) considerato il sistema corrispondente a $l=0$, si discuta il corrispondente sistema lagrangiano, mostrando che è riconducibile ad un sistema ad un grado di libertà.

Soluzione

4.0.15 L,S,H Secondo appello Meccanica Razionale a.a. 93-94.

Si consideri in un piano orizzontale un punto materiale $P$, di massa $m$. Il punto è richiamato, tramite una molla ideale di costante elastica $k_{1}$, ( $k_{1} > 0)$, dal punto fisso $O$. Inoltre, a distanza $l$ da $O$ é posto il centro di un cerchio, di raggio $R$. Il cerchio è fisso. Sul cerchio è libero di scorrere senza attrito un punto materiale $Q$ di massa $M$. I punti $P$ e $Q$ interagiscono tramite una molla ideale di costante elastica $k_{2}$, ( $k_{2} > 0).$

$I^{o}.$ Si scriva la Lagrangiana del sistema e si determinino le soluzioni stazionarie del corrispondente sistema di Lagrange.

$II^{o}.$ Si discuta la stabilità delle soluzioni di equilibrio trovate al punto $I^{o}$, determinando le frequenze delle piccole oscillazioni attorno alla posizione di equilibrio stabile.

$III^{o}.$ Si consideri il caso: $l = 0.$ Si dimostri che il sistema Lagrangiano ha un integrale primo indipendente dall'energia. Si scriva la funzione di Hamilton del sistema corrispondente al valore nullo di detto integrale primo, usando come coordinata spaziale indipendente la differenza delle anomalie angolari di $P$ e di $Q$.

$IV^{o}.$ Si consideri il caso limite in cui $m\vert OP\vert^{2}$ è trascurabile rispetto a $M R^{2}$; si valuti quindi in questa approssimazione la funzione di Hamilton a partire da quella determinata nel punto precedente, e si dimostri che il corrispondente sistema Hamiltoniano è integrabile.

Soluzione

4.0.16 L,S,N

Si consideri un punto materiale di massa $m$ soggetto ad un campo di forze di energia potenziale $V(x, y, z)$ soddisfacente il seguente requisito: il potenziale è invariante rispetto al gruppo di diffeomorfismi:

$$h_{\tau}(x, y, z) = \left( \matrix \cos \tau & -\sin\tau & 0 \... ... \endmatrix\right) + \left( \matrix 0 0 \alpha \tau \endmatrix\right) .$$ (4.3)

Prima domanda. Si trovi l'integrale primo corrispondente alla simmetria dell'energia potenziale e si determini un sistema di coordinate adattato $(r, \theta, z).$

Seconda domanda. Usando la simmetria del sistema si riduca di uno il numero dei gradi di libertà, considerando quindi una opportuna Lagrangiana ridotta. Determinare gli equilibri di tale Lagrangiana ridotta e darne una interpretazione in termini delle coordinate $(r, \theta, z).$

Terza domanda. Si studi la stabilità degli equilibri nel caso particolare:

$$V(r, \theta, z) = {1 \over {r^{2}(\cos^{2}(\alpha\theta - z) - \sin^{2}(\alpha\theta - z))}}.$$ (4.4)

Soluzione

4.0.17 L,RU,H,HJ,AA Compito di Meccanica Razionale, 9/7/'96, II$^o$ appello, sess. estiva

Un punto materiale di massa unitaria è vincolato a muoversi sulla superficie di rotazione di equazione $z=-\frac 1{\rho^2}-\frac 1\rho$, dove $\rho^2=x^2+y^2$.

Sul punto agisce una forza costante, di intesità unitaria, diretta verso la direzione negativa dell'asse $z$.

1) Scrivi la Lagrangiana e l'Hamiltoniana del sistema.

2) Determina gli integrali primi del moto.

3) Determina le condizioni sui dati iniziali per cui il moto esiste per tutti i tempi, per cui si hanno orbite limitate, per cui si hanno orbite illimitate.

4) Considera un'orbita illimitata. È finito l'angolo $\lim_{t\to +\infty}\theta(t)-\lim_{t\to -\infty}\theta(t)$? ($\theta(t)$ è l'angolo che la congiungente tra il punto materiale e l'asse delle $z$ forma con un asse orizzontale fisso).

5) Risolvi il moto per quadrature mediante la soluzione dell'equazione di Hamilton -Jacobi.

6) Determina la regione dello spazio delle fasi in cui il moto si puó descrivere in variabili azione-angolo e determina le variabili d'azione.

Soluzione

4.0.18 CR,L,RU,H,HJ Compito di Meccanica Razionale, 24/9/'96, I$^o$ appello, sess. autunnale

Si consideri, in un piano fisso orizzontale, una guida ${\mathcal {G}}$, liscia, a forma di arco di parabola, libera di ruotare senza attrito attorno al suo vertice $O$, fissato sul piano. Sia $I$ il suo momento di inerzia rispetto ad $O$. In un sistema di coordinate cartesiane $(O, \xi, \eta)$, solidale con la guida, essa è rappresentata dall'equazione $\eta=a \xi^2$, $a>0$, $\vert\xi\vert\le r$, $r>0$.

Un punto materiale $P$ di massa $m$, è libero di scorrere senza attrito sulla guida ${\mathcal {G}}$. Il punto $P$ é richiamato da $O$ per il tramite di una molla elastica di costante $k>0$.

Si denoti con $\theta$ l'angolo che la direzione tangente in $O$ alla guida forma con una direzione fissa del piano (vedi figura).

1) Si scriva la Lagrangiana del sistema, riconoscendone le eventuali simmetrie ed i conseguenti integrali primi.

2) Dopo aver riconosciuto l'esistenza di un integrale primo $J$ (ulteriore rispetto all'energia), si analizzino i moti del sistema unidimensionale che si ottiene fissando il valore di $J$.

3) Si determinino delle condizioni sui dati iniziali per cui il moto del sistema composto dalla guida e dal punto materiale sia periodico.

4) Si scriva l' Hamiltoniana e si discuta l'equazione di Hamilton-Jacobi, con il metodo di separazione delle variabili.

Soluzione

4.0.19 CR,L,RU,H,HJ,AA Compito di Meccanica Razionale, 8/10/'96, II$^o$ appello, sess. autunnale

Considera una terna di riferimento inerziale $(O, {\mathbf {x}},{\mathbf {y}},{\mathbf {z}})$. Un disco rigido di massa $M$ e raggio $R$, e' vincolato ad avere il centro in $O$. L'asse ${\mathbf {u}}$, passante per $O$ ed ortogonale al disco, è vincolato a muoversi sul piano ${\mathbf {x}}, {\mathbf {y}}$, ed inoltre il disco è libero di ruotare intorno a tale asse ${\mathbf {u}}$.

Sul bordo del disco è fissato un punto materiale $P$ di massa $m$, che è richiamato dall'asse ${\mathbf {z}}$ da una molla di costante elastica $k$.

Considera il sistema in assenza della forza di gravità.

1) Individua i gradi di libertà del sistema e scrivi la Lagrangiana e l'Hamiltoniana.

2) Determina simmetrie ed integrali primi, e riduci lo studio del moto del sistema ad un problema ad un grado di libertà.

3) Studia qualitativamente il moto unidimensionale che hai ottenuto, ed in particolare analizza la stabilità delle soluzioni stazionarie, al variare dei parametri.

4) Risolvi il problema con il metodo di Hamilton-Jacobi e determina la regione dello spazio delle fasi nella quale il moto puó essere descritto in variabili azione-angolo.

Soluzione

4.0.20 TC: Compito di Meccanica del 23.2.1995

Si consideri la trasformazione $S_{\beta}:\mathbb{R}^2_+\rightarrow \mathbb{R}^2$

$$\begin{array}{l} Q=-\text{arctan }\left( {2P\over q}\right) P=\beta q^2 +p^2 \end{array}$$ (4.5)

a) Determinare i valori di $\beta$ per cui $S_{\beta}$ é canonica;

b) scrivere per tali valori l'espressione esplicita di $S_{\beta}^{-1}$.

Soluzione

4.0.21 TC

Si consideri la trasformazione $S_{\beta}:\mathbb{R}^2_+\rightarrow \mathbb{R}$

$$\begin{array}{l} Q=-\text{arctan }\left( {2P\over q}\right) P=\beta q^2 +p^2 \end{array}$$ (4.6)

a) Determinare i valori di $\beta$ per cui $S_{\beta}$ é canonica;

b) scrivere per tali valori l'espressione esplicita di $S_{\beta}^{-1}$.

Soluzione

4.0.22 TC,AA,P Secondo compito di esonero a.a.94.

Si consideri la funzione

$$H = {1 \over 2}\{(p_{1}- f(q_{1}))^{2} + p_{2}^{2}\} +g(q_{1}, q_{2}).$$ (4.7)

Si dimostri che la trasformazione:

$$\begin{array}{l} p_{1} - f(q_{1}) = P_{1} q_{1} = Q_{1} p_{2} = P_{2} q_{2} = Q_{2} \end{array}$$ (4.8)

é canonica.

(2). Si consideri quindi la seguente Hamiltoniana:

$$\tilde H = {1 \over 2}\{P_{1}^{2} + P_{2}^{2}\} +g(Q_{1}, Q_{2}).$$ (4.9)

dove

$$g(Q_{1}, Q_{2}) = {1 \over 2}(Q_{1}^{2} + \omega^{2}Q_{2}^{2}) + \varepsilon Q_{1}^{2}Q_{2}.$$ (4.10)

Si dimostri che è possibile introdurre variabili azione-angolo, in modo che in queste nuove variabili l'Hamiltoniana assuma la forma:

$$\tilde H(I_{1},I_{2},\phi_{1},\phi_{2}) = I_{1} +\omega I_{2} + \varepsilon aI_{1} (I_{2})^{1\over 2}sen^{2}\phi_{1} sen\phi_{2},$$ (4.11)

per un opportuno valore della costante $a$.

(3). Si determinino le condizioni su $\omega$, talché con un cambiamento di variabili simplettico $(I,\phi)\rightarrow (J,\psi)$, la Hamiltoniana prenda la forma:

$$H(J,\psi) = J_{1} + \omega J_{2} + O(\varepsilon^{2}).$$ (4.12)

Soluzione

4.0.23 H,HJ,AA,S: II esonero 10/5/'96

Considera l'Hamiltoniana:

$$H=\frac 12 P_x^2+ \frac 12 P_y^2 (1+x^2) +\frac 12 (1+x^2) y^2.$$ (4.13)

a) Risolvi, per separazione di variabili, l'equazione di Hamilton Jacobi per $H$.

b) Determina la regione dello spazio delle fasi in cui il moto puó essere descritto in variabili azione-angolo.

c) Calcola esplicitamente l'espressione dell'Hamiltoniana in termini delle variabili d'azione, e le frequenze dei moti multiperiodici.

d) Considera il moto di dato iniziale

$$\begin{array}{l} x(0)=0 P_x(0)=a \end{array} \phantom{..}\phantom{..} \begin{array}{l} y(0)=0 P_y(0)=1, \end{array}$$ (4.14)

con $a\in \mathbb{R}$; trova i valori di $a$ per cui è periodico.

e) Trova il periodo del moto per $a=1$.

f) Discuti la stabilità della soluzione stazionaria

$$\begin{array}{l} x(0)=0 P_x(0)=0 \end{array} \phantom{..}\phantom{..} \begin{array}{l} y(0)=0 P_y(0)=0. \end{array}$$ (4.15)

Soluzione

4.0.24 CR,H,HJ,P: Esonero di Meccanica Razionale del 6-6-90

Un'asta omogenea di massa $M$ lunga $L$ ha un estremo fisso in 0. L'altro estremo è vincolato senza attrito su una circonferenza di raggio $L/2$ che giace su un piano orizzontale e il cui centro è sulla verticale sotto 0. Un punto materiale pesante P di massa $m$ è vincolato senza attriti alla retta contenente l'asta ed è anche soggetto alla forza elastica $-k0P$, $k>0$.

1) Scrivere l'hamiltoniana del sistema e individuare due integrali primi del moto.

2) Scrivere le equazioni di Hamilton-Jacobi e portarne alle quadrature la soluzione.

3) Integrare le equazioni di Hamilton-Jacobi all'ordine zero in $m/M$ e dare un'interpretazione fisica del risultato.

4) (facoltativo) Valutare la correzione al primo ordine in $m/M$, relativamente al punto 3).

Soluzione