Un'asta omogenea di estremi e
, massa
, e lunghezza
,
é vincolata a muoversi su di un piano verticale
. Il suo estremo
è vincolato a muoversi su di una retta orizzontale
.
Inoltre,
ruota con velocità angolare costante
intorno all'asse verticale
, ortogonale a
nel punto fisso
.
Il punto dell'asta è richiamato dal punto
da una molla
ideale di costante elastica
.
Si introducano le coordinate lagrangiane
distanza di
da
, e
angolo tra la
direzione dell'asta e la direzione dell'asse
.
1) Si scriva la Lagrangiana, e, considerando trascurabili gli effetti gravitazionali, e si determinino, conseguentemente, eventuali quantità conservate.
Sempre nell'approssimazione di cui al punto 1:
2) si determinino le soluzioni di equilibrio, al variare del
parametro
;
3) si discuta la stabilità delle soluzioni di equilibrio
al variare di ;
4) nel caso si calcolino le frequenze e i modi normali delle
piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabile.
Nel piano verticale, si fissi un sistema di
riferimento inerziale , con
asse y orientato lungo la retta verticale
ascendente. Attorno al punto fisso
é libera di ruotare un'asta illimitata (senza peso).
Sia
la coordinata
sull'asta, scelta positiva alla destra di
, e sia
l'angolo
(contato
in vero antiorario) che l'asta forma con l'asse
.
Sull'asta, in
,
é fissato un punto
di massa
.
Inoltre, sull'asta, è libero di
scorrere un secondo punto materiale
, di massa
.
è
richiamato da
, con una forza elastica
Prima domanda. Si scriva la lagrangiana del sistema.
Seconda domanda. Detto
,
discutere, al variare di questo parametro, le soluzioni
stazionarie del sistema
Lagrangiano, determinandone, per
, le relative proprietà di
stabilità.
Terza domanda. Si determinino le frequenze delle "piccole oscillazioni" attorno alle posizioni di equilibrio stabili.
Quarta domanda. Si consideri
ora il seguente problema: l'asta gira con frequenza angolare costante
attorno ad O. Si discuta il corrispondente problema ad un grado
di libertà .
Una circonferenza
di raggio
e massa
ruota con
velocità angolare costante
in un piano verticale,
intorno al suo centro
.
Sul suo bordo interno rotola senza strisciare un disco
di raggio
e massa
. Il centro
di tale disco
é richiamato da una molla elastica di costante
, da un punto
materiale
di massa
, libero di scorrere sull'asse verticale
passante
per
.
Indica con
e
gli angoli di rotazione propria
di
e
rispettivamente, con
l'angolo
che
forma con la direzione postitiva dell'asse orizzontale,
e con
la quota del punto
rispetto a
:
1) scrivi la condizione di puro rotolamento in termini di
, e dimostra che è un vincolo
olonomo;
2) scrivi la Lagrangiana del sistema nelle variabili
lagrangiane
;
3) determina le soluzioni stazionare del relativo sistema di Lagrange,
al variare del parametro adimensionale
;
4) discuti la stabilità delle posizioni di equilibrio al variare di
;
5) determina le condizioni iniziali sul moto del baricentro
del disco
a cui corrispondono solo moti armonici
del punto
.
Si consideri un sistema di riferimento piano inerziale di origine e assi
, l'asse
essendo scelto allineato con la verticale
ascendente. Un disco omogeneo, di raggio
, centro
, e massa totale
,
rotola senza strisciare (cioé puro rotolamento) lungo l'asse
. Lungo un
diametro del disco - di estremi
- è libero di scorrere senza attrito un
punto materiale di massa
. Tale punto è inoltre richiamato dal centro del
disco tramite una molla ideale di costante elastica
(
).
Nell'istante iniziale il centro del disco si trova sull'asse
, il diametro
è collineare all'asse
e
Si consideri un sistema solidale
di assi incentrati in
, l'asse
orientato come
. Si assumano come parametri Lagrangiani l'angolo
(contato in senso antiorario) che l'asse solidale
forma con l'asse
delle
e l'ascissa
del punto
.
domanda.
Si scriva la Lagrangiana del sistema.
domanda. Si determinino le eventuali configurazioni di equilibrio.
domanda. Si discuta la stabilità delle soluzioni di equilibrio
determinate al punto
.
domanda.
Si consideri ora un diverso problema, e cioé si consideri il punto
fissato nel centro. Descrivere il moto del sistema.
In un piano orizzontale sono poste due aste e
di rispettive masse
ed
(distribuzione di massa
omogenea) e lunghezze
ed
. Le aste sono libere di ruotare
attorno ai rispettivi baricentri
e
, fissi nel piano,
con
.
Sia un punto appartenente all'asta
, giacente tra
e
,
un punto appartenente all'asta
,
giacente tra
e
,
.
Tra i punti
e
agisce una molla ideale, di costante elastica
. Si richiede:
1) scrivere la Lagrangiana del sistema;
2) determinare gli equilibri;
3) discutere la stabilità degli equilibri al variare del parametro
in
;
4) considerato il sistema corrispondente a ,
si discuta il corrispondente sistema lagrangiano, mostrando che è
riconducibile ad un sistema ad un grado di libertà.
In un piano verticale si adotta un sistema di riferimento inerziale
, con
fisso, asse
orientato lungo la verticale ascendente.
Sull'asse
è libero di scorrere senza attrito il punto
di massa
m. Un'asta di estremi
, massa M, lunghezza
è libera di
ruotare, senza attrito, attorno al suo punto medio, fissato in
. Il
punto estremo
(risp.
) è richiamato dal punto
, tramite una molla
elastica ideale, di costante
(risp.
).
Si assuma
.
(I). Si scriva la Lagrangiana del sistema e si determinino le
configurazioni di equilibrio al variare del parametro
.
(II). Si discuta la stabilità degli equilibri al variare del parametro
in
.
(III). Si studi il sistema Lagrangiano ottenuto per linearizzazione
attorno alla posizione di equilibrio che è stabile per ogni ,
nell'intervallo predetto.
(IV). Si assuma ora Si determinino i moti del
corrispondente sistema lagrangiano.
Una sbarra rigida omogena pesante di lunghezza
e massa
è posta in un piano verticale ed è libera di ruotare
senza attrito attorno al suo estremo
. Per l'altro estremo
passa una guida di massa trascurabile ortogonale alla sbarra.
Lungo tale guida si muove senza attrito un punto materiale pesante
di massa
. Esso è soggetto oltre al peso ad una forza elastica
,
.
Scegliamo come variabili lagrangiane l'angolo che la sbarra
forma con la verticale discendente e l'ascissa
del punto
lungo la guida.
1) Scrivere le equazioni del moto del sistema.
2) Trovare le posizioni di equilibrio e discuterne il numero e la stabilità.
3) Studiare le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.
In un piano orizzontale si muovono due sbarrette omogenee di lunghezza
e massa
di estremi rispettivamente
, e
,
incernierate tra loro in
ma libere di ruotare senza attrito.
Gli estremi
e
sono obbligati a scorrere senza attrito
lungo un asse fisso
. Su
agisce una forza
, su
una forza
(
), ove
e
sono punti dell'asse
di ascisse rispettivamente
e
. Scegliamo come variabili lagrangiane l'ascissa
di
, e l'angolo
che
forma con l'asse
.
1) Trovare le equazioni del moto.
2) Trovare le posizioni di equilibirio e discuterne la stabilità.
3) Scrivere le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di equilibrio stabile.
4) Trovare se esistono condizioni iniziali per cui il moto sia armonico
con frequenza non solo per piccole oscillazioni ma anche per
oscillazioni finite.
Un disco omogeneo pesante di massa e
raggio
è vincolato in un piano verticale
a rotolare senza
strisciare su una guida
orizzontale
. Un punto materiale di massa
è vincolato senza attrito al suo bordo. Sul
centro
del disco agisce la forza
(
).
1) Determinare gli equilibri e la loro
stabilità, (per ).
2) Scrivere la lagrangiana e le equazioni di
Lagrange studiando, per , le piccole
oscillazioni attorno alla posizione di
equilibrio stabile. Si calcolino le frequenze
proprie e i modi normali.
3) Per si determinino 2 integrali primi
del moto.
4) (facoltativo) Per determinare i moti
tali che la quota del punto materiale rimanga
costante nel tempo.
Un disco omogeneo pesante di massa e
raggio
è vincolato in un piano verticale
a rotolare senza
strisciare su una guida
orizzontale
. Un punto materiale di massa
è vincolato senza attrito al suo bordo. Sul
centro
del disco agisce la forza
(
).
1) Determinare gli equilibri e la loro
stabilità, (per ).
2) Scrivere la lagrangiana e le equazioni di
Lagrange studiando, per , le piccole
oscillazioni attorno alla posizione di
equilibrio stabile. Si calcolino le frequenze
proprie e i modi normali.
3) Per si determinino 2 integrali primi
del moto.
4) (facoltativo) Per determinare i moti
tali che la quota del punto materiale rimanga
costante nel tempo.
Un punto materiale pesante è vincolato senza attrito alla
superficie di rotazione d'asse verticale , descritta
in coordinate cilindriche dall'equazione
,
con
,
costante positiva minore di
.
a) Dimostra che il corrispondente sistema lagrangiano è integrabile.
b) Dimostra che esistono condizioni iniziali tali che il punto si muova mantenendo la quota costante. Descrivi tali moti.
Si consideri la funzione Lagrangiana:
2) Si considerino per il sistema di Lagrangiana le condizioni iniziali:
![]() |
(4.2) |
Si studino i corrispondenti moti, individuando in particolare, se esistono, moti a meta asintotica.
Un disco rigido di massa M e raggio è libero di
scorrere senza attrito su
di un piano orizzontale fisso. Sul bordo del disco puó scorrere, ancora
senza attrito, un punto materiale di massa
.
Si richiede di determinare il moto del sistema.
In un piano orizzontale sono poste due aste e
di rispettive masse
ed
(distribuzione di massa
omogenea) e lunghezze
ed
. Le aste sono libere di ruotare
attorno ai rispettivi baricentri
e
, fissi nel piano,
con
.
Sia un punto appartenente all'asta
, giacente tra
e
,
un punto appartenente all'asta
,
giacente tra
e
,
.
Tra i punti
e
agisce una molla ideale, di costante elastica
. Si richiede:
1) scrivere la Lagrangiana del sistema;
2) determinare gli equilibri;
3) discutere la stabilità degli equilibri al variare del parametro
in
;
4) considerato il sistema corrispondente a ,
si discuta il corrispondente sistema lagrangiano, mostrando che è
riconducibile ad un sistema ad un grado di libertà.
Si consideri in un piano orizzontale un punto materiale , di massa
.
Il punto è richiamato, tramite una molla ideale di costante elastica
, (
, dal punto fisso
. Inoltre, a distanza
da
é posto il centro di un cerchio, di raggio
. Il cerchio è fisso. Sul
cerchio è libero di scorrere senza attrito un punto materiale
di massa
. I punti
e
interagiscono tramite una molla ideale di costante
elastica
, (
Si scriva la Lagrangiana del sistema e si determinino le
soluzioni stazionarie del corrispondente sistema di Lagrange.
Si discuta la stabilità delle soluzioni di equilibrio trovate al
punto
, determinando le frequenze delle piccole oscillazioni attorno
alla posizione di equilibrio stabile.
Si consideri il caso:
Si dimostri che il sistema
Lagrangiano ha un integrale primo indipendente dall'energia. Si scriva la
funzione di Hamilton del sistema corrispondente al valore nullo di detto
integrale primo, usando come coordinata spaziale indipendente la differenza
delle anomalie angolari di
e di
.
Si consideri il caso limite in cui
è
trascurabile rispetto a
; si valuti quindi in questa
approssimazione la funzione di Hamilton a partire da quella determinata nel
punto precedente, e si dimostri che il corrispondente sistema Hamiltoniano è
integrabile.
![]() |
(4.3) |
Seconda domanda. Usando la simmetria del sistema si riduca di
uno il numero dei gradi di libertà, considerando quindi una opportuna
Lagrangiana ridotta. Determinare gli equilibri di tale Lagrangiana ridotta e
darne una interpretazione in termini delle coordinate
Terza domanda. Si studi la stabilità degli equilibri nel caso particolare:
![]() |
(4.4) |
Un punto materiale di massa unitaria è vincolato a muoversi
sulla superficie di rotazione
di equazione
, dove
.
Sul punto agisce una forza costante, di intesità unitaria, diretta
verso la direzione negativa dell'asse .
1) Scrivi la Lagrangiana e l'Hamiltoniana del sistema.
2) Determina gli integrali primi del moto.
3) Determina le condizioni sui dati iniziali per cui il moto esiste per tutti i tempi, per cui si hanno orbite limitate, per cui si hanno orbite illimitate.
4) Considera un'orbita illimitata. È finito
l'angolo
?
(
è l'angolo che la congiungente tra il punto materiale
e l'asse delle
forma con un asse orizzontale fisso).
5) Risolvi il moto per quadrature mediante la soluzione dell'equazione di Hamilton -Jacobi.
6) Determina la regione dello spazio delle fasi in cui il moto si puó descrivere in variabili azione-angolo e determina le variabili d'azione.
Si consideri, in un piano fisso orizzontale, una guida
, liscia, a forma di arco di parabola, libera di ruotare senza
attrito attorno al suo vertice
, fissato sul piano.
Sia
il suo momento di
inerzia rispetto ad
.
In un sistema di coordinate cartesiane
,
solidale con la guida, essa è rappresentata dall'equazione
,
,
,
.
Un punto materiale di massa
, è libero di scorrere
senza attrito sulla guida
. Il punto
é richiamato da
per il tramite di una molla
elastica di costante
.
Si denoti con l'angolo che
la direzione tangente in
alla guida forma con una direzione fissa
del piano (vedi figura).
2) Dopo aver riconosciuto l'esistenza di un integrale primo
(ulteriore rispetto all'energia), si analizzino i moti del
sistema unidimensionale che si ottiene fissando il valore di
.
3) Si determinino delle condizioni sui dati iniziali per cui il moto del sistema composto dalla guida e dal punto materiale sia periodico.
4) Si scriva l' Hamiltoniana e si discuta l'equazione di Hamilton-Jacobi, con il metodo di separazione delle variabili.
Considera una terna di riferimento inerziale
.
Un disco rigido di massa
e raggio
, e' vincolato ad avere il
centro in
. L'asse
, passante per
ed ortogonale al disco, è vincolato a muoversi sul piano
, ed inoltre
il disco è libero di ruotare intorno a tale asse
.
Sul bordo del disco è fissato un punto materiale
di massa
, che è richiamato dall'asse
da una molla di
costante elastica
.
Considera il sistema in assenza della forza di gravità.
1) Individua i gradi di libertà del sistema e scrivi la Lagrangiana e l'Hamiltoniana.
2) Determina simmetrie ed integrali primi, e riduci lo studio del moto del sistema ad un problema ad un grado di libertà.
3) Studia qualitativamente il moto unidimensionale che hai ottenuto, ed in particolare analizza la stabilità delle soluzioni stazionarie, al variare dei parametri.
4) Risolvi il problema con il metodo di Hamilton-Jacobi e determina la regione dello spazio delle fasi nella quale il moto puó essere descritto in variabili azione-angolo.
![]() |
(4.5) |
a) Determinare i valori di per cui
é canonica;
b) scrivere per tali valori l'espressione esplicita di
.
Si consideri la trasformazione
![]() |
(4.6) |
a) Determinare i valori di per cui
é canonica;
b) scrivere per tali valori l'espressione esplicita di
.
Si consideri la funzione
![]() |
(4.7) |
Si dimostri che la trasformazione:
![]() |
(4.8) |
(2). Si consideri quindi la seguente Hamiltoniana:
![]() |
(4.9) |
![]() |
(4.10) |
Si dimostri che è possibile introdurre variabili azione-angolo, in modo che in queste nuove variabili l'Hamiltoniana assuma la forma:
![]() |
(4.11) |
(3). Si determinino le condizioni su , talché
con un cambiamento di variabili
simplettico
, la
Hamiltoniana prenda la forma:
![]() |
(4.12) |
Considera l'Hamiltoniana:
![]() |
(4.13) |
a) Risolvi, per
separazione di variabili, l'equazione di Hamilton Jacobi per .
b) Determina la regione dello spazio delle fasi in cui il moto puó essere descritto in variabili azione-angolo.
c) Calcola esplicitamente l'espressione dell'Hamiltoniana in termini delle variabili d'azione, e le frequenze dei moti multiperiodici.
d) Considera il moto di dato iniziale
![]() |
(4.14) |
e) Trova il periodo del moto per .
f) Discuti la stabilità della soluzione stazionaria
![]() |
(4.15) |
Un'asta omogenea di massa lunga
ha un estremo fisso in 0. L'altro
estremo è vincolato senza
attrito su una circonferenza di raggio
che giace su
un piano orizzontale e il cui centro è sulla
verticale sotto 0. Un punto materiale pesante
P di massa
è vincolato senza attriti alla
retta contenente l'asta ed è anche soggetto alla
forza elastica
,
.
1) Scrivere l'hamiltoniana del sistema e individuare due integrali primi del moto.
2) Scrivere le equazioni di Hamilton-Jacobi e portarne alle quadrature la soluzione.
3) Integrare le equazioni di Hamilton-Jacobi
all'ordine zero in e dare
un'interpretazione fisica del risultato.
4) (facoltativo) Valutare la correzione al
primo ordine in , relativamente al punto 3).