5.6 La buca variabile rivisitata

(Autore E. Caglioti)

L'esercizio precedente ha una interpretazione termodinamica.

È facile identificare l'energia interna: $U=\frac 12 v^2$. È anche facile identificare il `volume': sarà $V=z$. La pressione è fisicamente la forza esercitata sull'unità di superficie che racchiude il mezzo. D'altra parte in questo caso la superficie è un punto ($x=0$ oppure $x=z$). Se un punto materiale subisce in un certo tempo $\delta t$ una variazione di impulso $\delta (mv)$, la forza che è stata esercitata su di esso è $\frac {\delta (mv)}{\delta t}$. Per un urto n $x=0$ la variazione di impulso è $2m\vert v\vert$. Nel nostro caso non c'è variazione di impulso se non quando la massa tocca $x=0$. Per dare senso alla pressione, si può pensare di considerare l'impulso scambiato con la parete per un tempo sufficientemente lungo affinché avvengano molti urti, ma sufficientemente piccolo affinché la variazione dovuta al moto della barriera mobile non sia significativa (assunzione possibile se $\varepsilon$ è molto piccolo). In altre parole:

$$P=\frac {2m\vert v\vert k}{\tau_k},$$

dove $k$ è il numero di volte che la massa urta la parete in $x=0$, e $\tau_k$ è il tempo necessario per fare $k$ urti. Evidentemente $\tau_k \eqsim k \frac {2z}{\vert v\vert}$ ($2z$ è la distanza da percorrere per tornare in $x=0$ e $v$ è la velocità).

In definitiva, l'interpretazione termodinamica del moto di una particella tra due pareti perfettamente rigide a distanza $z$ dà:

$$\begin{matrix} U=\frac 12 mv^2 \\ V=z\\ P=\frac {mv^2}z. \end{matrix}$$

Prova che se $z$ varia molto lentamente,

$$TdS=dU+PdV=0,$$

cioè la trasformazione è adiabatica.

Osservazione

Fare la termodinamica di una sola particella è abbastanza privo di senso. Si possono considerare, più correttamente, moltissime particelle tra le pareti, che non urtano tra di loro. Questa situazione può far pensare ad un gas perfetto, per cui la termodinamica ha senso, e la pressione è cinematicamente definita attraverso l'impulso scambiato con le pareti. Tenete presente, però, che un insieme di particelle che non urtano tra loro NON sono un gas perfetto. Infatti manca il meccanismo di termalizzazione tipico, ad esempio, dell'equazione di Boltzmann.