5.5 Un esempio di invariante adiabatico

Come si muove un punto materiale soggetto ad una forza di energia potenziale $V(x,t)=V(x-ct)$ con $c$ costante?

Come si muove un punto materiale in presenza di una parete infinitamente rigida che si muove con velocità costante $c$?

Un punto materiale di massa $m$ si muove tra due pareti infinitamente rigide, la prima fissa in $x=0$ e la seconda in $x=z(t)=z_0-\varepsilon t$, con $\varepsilon >0$. All'istante iniziale il punto è in $x=0$ con velocità $v$. Determina, nel $\lim_{\varepsilon \to 0}$, il modulo della velocità del punto nell'istante in cui la barriera mobile è arrivata in $x=\frac 12$.

Prova più in generale che $\lim_{\varepsilon \to 0} \vert v\left(\frac t\varepsilon \right) z\left( \frac t\varepsilon \right)\vert=vz_0$.

Suggerimento: supponi che al tempo $t_0$ la barriera mobile sia in $a$ e la particella sia in 0 con velocità $v$. Calcola il tempo $t_1$ di ritorno della particella in 0, la velocità che ha la particella e la posizione della barriera mobile. Nota che il prodotto della velocità per la posizione della barriera al tempo $t_1$ è identico al prodotto al tempo $t_0$. Estendi ricorsivamente per i ritorni successivi, e determina la successione dei tempi di urto con la parete fissa...

Osservazione

Fisicamente $m\vert v(t)z(t)\vert$ ha le dimensioni di una energia per il tempo (ha le dimensioni dell'azione). Per $z$ costante, l'azione è proporzionale all'area racchiusa dall'orbita nello spazio delle fasi (che in questo caso è un rettangolo!).

È ovvio che $\lim_{\varepsilon \to 0} \vert v(t)z(t)\vert= v_0z_0$, infatti per $\varepsilon = 0$ la barriera è ferma. Questo limite non è uniforme in $t$. Dall'esercizio puoi notare che ad un tempo dell'ordine di $\frac 1\varepsilon$ la variazione di $\vert V(t)z(t)\vert$ rispetto a $v_0z_0$ è di ordine $\varepsilon$.

Cioè l'azione è praticamente invariante, rispetto a variazioni lente (adiabatiche) dei parametri fisici che governano il moto.

Per maggiori dettagli vedi l'Arnold [1] e il Landau [9].