10 Ulteriori (Pochi) Esercizi in Formalismo Hamiltoniano

Esercizio 10.1   Due aste omogenee di massa $M$ e lunghezza $L$, una di estremi $A$ e $B$ e l'altra di estremi $C$ e $D$, si muovono in un piano verticale. L'estremo $B$ è incernierato, senza attrito, nel baricentro dell'asta $CD$. Una molla di costante elastica $k$ lega $A$ a $C$.

1 Determinare i gradi di libertà

2 Scrivere la Lagrangiana

3 Scrivere l'Hamiltoniana

4 Scrivere l'equazione di Hamilton Jacobi

5 Risolvere l'equazione di Hamilton Jacobi

6 Supponendo che inizialmente le aste sono ferme, con $CD$ parallela all'asse delle $x$,, con l'ascissa di $C$ minore dell'ascissa di $D$ e con $AC$ parallela all'asse delle $y$ con l'ordinata di $A$ maggiore dell'ordinata di $B$. Che angolo forma la direzione di $CD$ con l'asse orizzontale quando $C$ passa per il baricentro di $AB$?

Esercizio 10.2  

Una circonferenza omogenea, di raggio $R$ e massa $M$, è vincolata a muoversi in un piano orizzontale, passando sempre per un punto fisso $O$ del piano. Un'altra circonferenza di raggio $r<R$ e massa $m$ rotola senza strisciare sul bordo interno della prima.

1 Scrivere la lagrangiana

2 Scrivere l'hamiltoniana

3 Scrivere l'equazione di Hamilton Jacobi

4 discutere la riconducibilità del moto alle quadrature e, eventualmente, la regione dello spazio delle fasi in cui si possono definire le variabili azione-angolo

Esercizio 10.3  

In un piano orizzontale, l'estremo $A$ di un'asta omogenea di massa $m$ e lunghezza $L$ è vincolato a muoversi su di una guida circolare fissa del piano, di centro $O$ e raggio $R>L$. L'altro estremo dell'asta è richiamato da $O$ da una molla di costante elastica $k$.

1 Scrivi la lagrangiana

2 Scrivi l'hamiltoniana

3 Determina la regione nello spazio delle fasi in cui si possono introdurre le variabili azione-angolo

4 Discuti le posizioni di equilibrio e la loro stabilità.

5 Prova che esistono moti per cui l'asta rimane parallela al raggio che passa per $A$, sia interna che esterna alla guida. Osserva che sono moti periodici.

6 Discuti se le orbire descritte al punto 5 sono stabili, cioè se una piccola perturbazione dei dati iniziali fa ruotare l'asta in modo che rimanga per tutti i tempi vicina al raggio $OA$ oppure no.

7 Trova un'altra famiglia di soluzioni periodiche, oltre a quelle descritte nel punto 5.

Esercizio 10.4   Sia

$$H=\frac 12 P_{\rho}^2 + \frac 1{2\rho^2} P_{\theta}^2 -\rho \cos \theta -\frac 12 \rho^2 \sin^2\theta,$$

e sia, al tempo 0 $\theta(0)=P_{\theta}=0$ e $\rho = P_{\rho} = 1$. Sia $S(\rho,\theta,P_1,P_2)=P_1 \rho \cos \theta +\alpha P_2 \rho \sin \theta$, con $\alpha \in \mathbb{R}$ una funzione generatrice, con $x_1,x_2,P_1,P_2$ nuove coordinate ed impulsi. Determina i valori di $\alpha \in \mathbb{R}$ tali che l'hamiltoniana nelle nuove variabili sia integrabile.

Utilizza tale trasformazione per determinare il valore di $\theta, \rho, P_{\rho}, P_{\theta}$ al tempo $t=\pi$.