11 Altro

Esercizio 11.1  

In un piano verticale $(x,y)$ di origine $O$, considerate il sistema materiale formato da due punti $P_1, P_2$, di massa $m_1, m_2$, rispettivamente; un vincolo liscio obbliga $O, P_1, P_2$ ad essere allineati. Inoltre il punto $P_1$ è vincolato a muoversi lungo la circonferenza di centro $(R,O)$ e raggio $R$, ed il punto $P_2$ è vincolato a muoversi lungo la retta $x=2R$.

a) Determinare la funzione di Lagrange;

b) Determinare per quali valori del parametro $a=\frac {m_2}{m_1}$ si possono avere posizioni di equilibrio;

c) Determinare le piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio.

Soluzione

Il problema è evidentemente ad un solo grado si libertà. Scelgo come variabile l'angolo $\phi$ che la direzione $O P_1 P_2$ forma con l'asse delle $x$. Per i vincoli presenti, $-\frac \pi2 < \phi < \frac \pi2$. Con un po' di trigonometria elementare si ottiene:

$$P_1=\binom {2R \cos^2\phi} {2R \sin \phi \cos \phi}\phantom{..}\phantom{..} P_2=\binom {2R} {2R \tan \phi},$$ (11.1)

quindi:

$$\dot P_1=\dot \phi \binom {-4R \sin \phi \cos \phi} {2R (\cos^2 \... ...hantom{..}\phantom{..} \dot P_2=\dot \phi \binom {0} {2R \frac 1{\cos^2 \phi}},$$ (11.2)

L'energia potenziale dovuta alla forza di gravità è

$$V= 2Rg(m_1 \sin \phi \cos \phi + m_2 \tan \phi),$$ (11.3)

dove $g$ è l'accelerazione di gravità.

Quadrando e sommando i termini cinetici si ottiene la Lagrangiana:

$$L= 2R^2 \dot \phi^2 (m_1+m_2 \frac 1{\cos^4 \phi}) - 2Rg(m_1 \sin \phi \cos \phi + m_2 \tan \phi).$$ (11.4)

Per analizzare le posizioni di equilibrio, prima del calcolo delle derivate, tento un grafico qualitativo dell'energia potenziale $V$, ricordandomi che $2\sin \phi \cos \phi = \sin (2\phi)$.

In nero ho disegnato il seno di $(2x)$ e la tangente di $x$, nell'intervallo $(-\frac \pi2, \frac \pi2)$. La curva blu è la somma, con coefficienti davanti al seno e alla tangente, dello stesso ordine, la curva rossa l'ho ottenuta con un coefficiente davanti alla tangente molto piu' piccolo del coefficiente davanti al seno. I due coefficienti sono esattamente le masse. Dunque deve esistere un valore critico $\bar a$ del parametro $a=\frac {m_2}{m_1}$ tale che:

• per $a< \bar a$ ci sono quattro posizioni di equilibrio; nell'ordine crescente di $\phi$: instabile stabile instabile stabile;
• per $a\to 0$ le posizioni estreme tendono a $0=2\pi$, le altre tendono alle posizioni di equilibrio per il potenziale $\sin (2\phi)$, che sono evidentemente $\pm\frac \pi4$;
• per $a \to \bar a^-$ le due posizioni di equilibrio a sinistra andranno a coincidere, cosí come le due a destra (vviamente saranno tutte instabili);
• per $a> \bar a$ non ci sono posizioni di equilibrio: qualunque sia il dato iniziale $\lim_{t\to +\infty} \phi(t)= -\frac \pi2$, cioè l'ordinata di $P_2$ va a $-\infty$ e $P_1 \to O$.

Procedendo esplicitamente:

$$V'= 2Rg( m_1(\cos^2 \phi - \sin^2 \phi) + m_2 \frac 1{\cos^2 \phi}) = 2Rg ( m_1( 2\cos^2 \phi -1) + m_2 \frac 1{\cos^2 \phi}).$$ (11.5)

Le posizioni di equilibrio le ottengo annullando $V'$, risolvendo, cioè:

$$2 m_1 \cos^4 \phi - m_1 \cos^2 \phi + m_2 =0.$$ (11.6)

Ottengo

$$\cos^2 \phi = \frac 14 \left( 1 \pm \sqrt{1-8a} \right).$$ (11.7)

Dunque il valore critico del parametro è $\bar a = \frac 18$. Per $a> \bar a$ non ci sono soluzioni. Per $a< \bar a$ si ha $0<1-8a<1$, dunque

$$\cos \phi = \frac 12 \sqrt{ 1 \pm \sqrt{1-8a} }$$ (11.8)

(scarto i valori negativi perchè $\vert\phi\vert < \frac \pi2$). In definitiva ho le quattro posizioni di equilibrio che mi aspettavo:

$$\phi= \pm \arccos \left( \frac 12 \sqrt{ 1 \pm \sqrt{1-8a} } \right).$$ (11.9)

Per $a=\bar a$ esse coincidono a due a due, nei punti

$$\phi= \pm \frac \pi3.$$ (11.10)

L' analisi della stabilità è facilmente ottenibile dal grafico.

Per $a< \bar a$ esistono due posizioni di equilibrio stabile: $\phi_1= - \arccos \left( 1 - \sqrt{1-8a} \right)$ e $\phi_2= \arccos \left( 1 + \sqrt{1-8a} \right)$ . Il modo più pulito per determinare la frequenza delle piccole oscillazioni è quello di scrivere la lagrangiana delle piccole oscillazioni. Per fare ciò bisogna calcolare la derivata seconda dell'energia potenziale. La indico con $V''$. Detto $\alpha_i$ lo scostamento dall'equilibrio $\phi_i$ ($i=1,2$), le lagrangiane delle piccole oscillazioni sono:

$$L_i= 2R^2 \dot \alpha_i^2 (m_1+m_2 \frac 1{\cos^4 \phi_i}) -\frac 12 V''(\phi_i) \alpha_i^2,$$ (11.11)

quindi le frequenze delle piccole oscillazioni intorno ai due equilibri stabili sono:

$$\omega_i= \frac 1{2R} \sqrt{ \frac {V''(\phi_i)} { m_1 +\frac {m_2}{\cos^4 \phi_i} }}.$$ (11.12)

(Notare che, svolti i conti, esse dipendono solo dal rapporto tra le masse $a$).