9.2 Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo

Esercizio 9.5 (by Negrini, 2000)   Si consideri l'hamiltoniana

$$H=\frac {p_1^2}{q_1^2}+\frac {p_2^2}{q_2^2} + \sin( q_1^2 + q_2^2),$$

e si consideri la funzione generatrice

$$S= \frac {q_1^2+q_2^2}2 P_1 + q_1^2 P_2.$$

a) Si determini la trasformazione canonica individuata da $S$, nella regione $q_1, q_2>0$.

b) Si determini la nuova Hamiltoniana.

c) Si determinino le soluzioni delle equazioni del moto per la nuova Hamiltoniana.

d) Le soluzioni ottenute permettono di trovare le soluzioni delle equazioni del moto nelle vecchie variabili?

Soluzione.

a) La funzione generatrice dipende dalle vecchie coordiante e dai nuovi impulsi. Pertanto la traformazione canonica è implicitamente definita da:

$$\begin{split}&Q_1= \frac {q_1^2 + q_2^2}2 &Q_2= q_1^2 \en... ...begin{split}&p_1= q_1P_1 +2q_1P_2 &Q_2= q_2P_1. \end{split}$$ (9.5)

La trasformazione canonica è dunque:

$$\begin{split}&q_1= \pm \sqrt{Q_2} &q_2= \pm \sqrt{2Q_1 -Q_... ..._2} (P_1+2P_2) &p_2 = \pm \sqrt{2Q_1- Q_2} P_1. \end{split}$$ (9.6)

Nella regione $q_1, q_2>0$ il segno da scegliere è $+$.

b) Sostituendo nell'espressione di$H$ si ottiene l'hamiltoniana nelle nuove variabili:

$$K=(P_1+2P_2)^2 + P_1^2 + \sin(2Q_1).$$

c) La variabile $Q_2$ è ciclica, dunque $P_2$ si conserva, e $K$ si conserva. Un modo per ottenere la quadratura del moto è di scrivere la lagrangiana unidimensionale per la variabile $Q_1$, pensando $P_2$ come un parametro fissato (un altro è la soluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi, per separazione di variabili, o l'ispezione diretta delle equazioni del moto). Si ottiene

$$L= P_1 \dot Q_1 - K,$$

dove

$$\dot Q_1 = {\dfrac {\partial {K}}{\partial {P_1}}}=4P_1 + 4P_2.$$

La lagrangiana è:

$$L=\frac 18 \dot Q_1^2 -\dot Q_1 P_2 -2 P_2^2 -\sin(2Q_1).$$

In questa lagrangiana il termine $-2 P_2^2$ è costante, e posso eliminarlo, inoltre il termine $\dot Q_1 P_2$ è una derivata totale ripetto al tempo ( $\dot Q_1 P_2 = \dfrac{d }{dt}\left(Q_1P_2\right)$), quindi non influisce sulle equazioni del moto, e posso elimare anch'esso. In definitiva la Lagrangiana che descrive il moto è

$$L= \frac 18 \dot Q_1^2 -\sin(2Q_1),$$

che ha come energia totale

$$E= \frac 18 \dot Q_1^2 +\sin(2Q_1).$$

L'analisi qualitativa di questo moto è assolutamente standard.

Il moto di $Q_1$ è descritto da:

$$t= \pm \int^{Q_1} dQ_1 \frac 1{\sqrt{8(E- \sin(2Q_1))}},$$

la determinazione del moto nelle altre variabili è determinato integrando le equazioni di Hamilton:

$$\begin{split}&P_2(t)=P_2(0) &P_1(t) = \frac 14 \dot Q_1(t... ...0) &Q_2(t) = Q_2(0) + Q_1(t)-Q_1(0) + 4tP_2(0). \end{split}$$ (9.7)

d) La trasformazione effettuata è valida solo fino a che $Q_2\ge 0$ e $2Q_1-Q_2\ge 0$. Quindi posso ottenere le soluzioni nelle vecchie variabili solo fino a quando $Q_2(t)\ge 0$ e $2Q_1(t)-Q_2(t)\ge 0$. Dalle soluzioni delle equazioni di Hamilton si ottiene:

$$\begin{split}&Q_2(t) = Q_2(0) + Q_1(t)-Q_1(0) + 4tP_2(0) ... ...-Q_2)(t)= 2Q_1(0)- Q_2(0) + Q_1(t)-Q_1(0) -4tP_2(0) \end{split}$$ (9.8)

Ne segue che se $P_2(0) \ne 0$, e il moto in $Q_1$ è limitato, il moto raggiunge o la frontiera $Q_2(t)=0$ o la frontiera $2Q_1(t) - Q_2(t)=0$. Infatti, o $Q_1(t)-Q_1(0) + 4tP_2(0)$ o $Q_1(t)-Q_1(0) + 4tP_2(0)$ tende a meno infinito.

Quindi la soluzione trovata non può essere estesa per tutti i tempi nelle vecchie variabili. Per ottenere la soluzioni per tutti i tempi bosogna considerare la trasfrmazione canonica nelle altre regioni dello spazio delle fasi.

Esistono, però, dati iniziali per cui si ottiene globalemente il moto nelle vecchie variabili. Sia ad esempio $P_2>0$ e consideriamo i moti illimitati in $Q_1$, con $\dot Q_1>0$ (che corrispondono a $E>1$). Allora, se $\sqrt{8(E-1)}>4P_2$, le condizioni per l'invertibilità sono sempre soddisfatte, infatti:

$$\frac {Q_1(t)-Q_1(0)}t=\dot Q_1(\tau)= \sqrt{8(E-\sin(2Q_1(\tau)))},$$

per un opportuno tempo intermedio $0<\tau<t$. Dunque: $Q_1(t)-Q_1(0)\pm 4t P_2>0$.

Esercizio 9.6 ((III Esonero 26/5/97, seconda parte)  

Un'asta omogenea di massa $m$ e lunghezza $l$ è vincolata a muoversi su di un piano orizzontale $(O, x, y)$. Sul suo punto medio $P$ è applicata una forza di energia potenziale

$$V=\frac {J^2}{2m} \frac {y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac k2 (x^2+y^2),$$

dove $x, y$ sono le coordinate del punto $P$, e $k>0, J$ paramteri fissati.

Usa come variabili lagrangiane la distanza $\rho$ di $P$ dall'origine $O$, l'angolo $\theta$ che $PO$ forma con l'asse delle $x$, e l'angolo $\phi$ che l'asta forma con l'asse delle $x$.

a) Scrivi la Lagrangiana e l'Hamiltoniana;

b) risolvi l'equazione di Hamilton-Jacobi per separazione di variabili;

c) considera il dato iniziale

$$\begin{split}&P_{\rho}(0)= 0 &\rho(0)=\rho_0>0 \end{split... ... \begin{split}&P_{\phi}(0)= p_0 > 0 &\phi(0)=0. \end{split}$$ (9.9)

Per quali valori di $\theta_0$ il moto è multiperiodico ( cioè è nella regione dello spazio delle fasi in cui il moto può essere descritto in variabili azione-angolo)?

d) Sia ora $P_{\phi} (0)= 0$. Trova un valore di $\theta_0$ per cui il moto è periodico.

Esercizio 9.7 (III Esonero 1/6/95 (Marchioro) seconda parte)  

In un piano verticale è posto un disco omogeneo di centro $C$, masa $M$ e raggio $R$, che rotola senza strisciare lungo un asse orizzontale $x$. In tale piano è posta un'asta omogenea pesante di massa $m$ e lunghezza $L=R$ ed i cui estremi $A$ e $B$ sono obbligati a scorrere senza attrito lungo una guida liscia solidale alla circonferenza del disco.

Scegliamo come variabili Lagrangiane l'ascisa $x_C$ del centro del disco e l'angolo $\theta$ che $CH$ forma con la verticale discendente, ove $H$ è il punto di mezzo dell'asta $AB$.

a) Scrivere le equazioni del moto con il metodo di Lagrange.

b) Trovare due integrali primi e, tramite questi, considerando le seguenti condizioni inizilali:

$$x_C(0)=0;\phantom{..}\dot x_C(0)=0; \phantom{..}\theta(0)=0: \phantom{..} \dot \theta (0)= \dot\theta_0,$$

trovare i valori di $\dot \theta_0$ per cui l'asta compie una rotazione completa.

c) Scrivere prima l'Hamiltoniana e poi l'equazione di Hamilton-Jacobi.

d) (aggiunto) Risolvere per separazione di variabili l'equazione di Hamilton-Jacobi. Esiste una regione nello spazio delle fasi in cui il motot può essere descritto in variabile azione-angolo?

Esercizio 9.8 (Esonero 19/5/92 (recupero), seconda parte)  

Data la Lagrangiana

$$L= (1+q^2) \dot q^2 - \dot q + q,$$

a) Scrivere la corrispondente Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton.

b) Scirvere l'equazione di Hamilton-Jacobi relativa a tale Hamiltoniana e riportare il moto del sistema alle quadrature.

c) Scrivere l'energia meccanica totale corrispondente alla Lagrangiana $L$. Utilizzando la conservazione dell'energia, riportare il sistema alle quadrature. Confrontare il risultato con quanto ottenuto mediante l'equazione di Hamilton-Jacobi.

Esercizio 9.9 (Compito 12/10/94, seconda parte)  

Si consideri il sistema di equazioni differenziali

$$\begin{split}&\dot q = p - q^2 &\dot p = 2 q^3 - 2 pq \end{split}$$ (9.10)

a) Si riconosca che il sistema è hamiltoniano.

b) Si risolva il sistema usando il metodo di Hamilton-Jacobi.

Esercizio 9.10 (Compito 23/9/91)  

Un corpo rigido è formato da un semidisco omogeneo di massa $M$ e raggio $R$ e da un'asta di massa $m$ e lunghezza $2R$. Esso è vicolato da una cerniera a ruotare attorno a $C$ in un piano verticale, e sia $\theta$ l'angolo che l'asta forma con l'asse (vedi figura).

a) Scirvere la Lagrangiana e mostrare che essa assume la forma

$$L= \frac I2 \dot \theta^2 - a\sin \theta - b \cos \theta,$$

e scrivere le espressioni di $I, a, b$ in funzione dei $R, M, m$.

b) Determinata l'Hamiltoniana, scrivere l'equazione di Hamilton-Jacobi e risolvere il problema della dinamica del corpo riportando tale equazione alle quadrature.

c) Dire sotto quali condizioni la posizione $\theta=0$ è di equilibrio. AQl di fuori di tali condizioni studiare il moto del corpo con condizioni iniziali $\theta(0)=0, \dot \theta (0)=0$. Specificare se la rotazione avviene inizialemente in senso orario o antiorario, se esiste un tempo $t^*$ in cui l'asta raggiunge una posizione verticale ed in tal caso determinare l'espressione di tale tempo $t^*$.

Esercizio 9.11 (Compito 5/6/90, prima parte)  

Una particella puntiforme di massa $m=1$ si muove nel piano sotto l'azione di una forza conservativa di energia potenziale

$$V(r)= -\frac 1{r^{\frac 32}},$$

esendo $r$ la distanza dall'origine.

Si supponga che, all'istante $t=0$, indicando con $\theta$ l'angolo polare rispetto all'origine:

$$r(0)=1,\phantom{..}\dot r(0)= v_0,\phantom{..}\dot \theta(0)=1.$$

Si chiede di dire per quali valori di $v_0$ il moto è quasi periodico.