9.1 Trasformazioni Canoniche

Esercizio 9.1 (III Esonero 26/5/97, prima parte)  

Considera la famiglia di trasformazioni da $\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+$ in $\mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^-$:

$$\begin{split}&Q= \left( \frac p{q^3} \right)^{\alpha} &P = -\left( \frac p{q^3} \right)^{\beta} ( q^4 +1 ), \end{split}$$ (9.1)

con $\alpha, \beta > 0$.

a) Trova i valori di $\alpha$ e $\beta$ per i quali la trasformazione è canonica.

b) Determina la funzione generatrice del tipo $F(q,Q)$ della trasformazione.

Esercizio 9.2 (Compito del 5/6/90, parte 2)  

Si consideri la trasformazione

$$\begin{split}&Q= -\arctan \frac p{2q} &P = q^2 + \alpha p^2, \end{split}$$ (9.2)

definita nell'insieme $\{ q>0, p>0 \}$. Dimostrare che questa trasformazione è canonica per una scelta opportuna di $\alpha$ e scrivere, per tale valore, la trasformazione inversa.

Esercizio 9.3 (Esonero recupero 19/5/92, prima parte)  

Trovare per quali valori di $\alpha, \beta$ la seguente trasformazione è canonica:

$$\begin{split}&Q= \sqrt{ p } e^{\alpha q} &P = -2 p^{\beta} e^{\frac q2}. \end{split}$$ (9.3)

In corrispondenza di tali valori scrivere la fuinzione generatrice della trasformazione.

Esercizio 9.4 (III Esonero 1/6/95 (Marchioro), prima parte)  

Data la seguente trasformazione: $(q,p)\leftrightarrow (Q,P)$

$$\begin{split}&q= -\frac 14 Q^{\alpha} P &p = Q^{\beta}, \end{split}$$ (9.4)

con $\alpha, \beta\in \mathbb{R}$, trovare i valori di $\alpha$ e $\beta$ per cui essa è canonica e trovarne la funzioni generatrice $F(q,Q)$.