5.2 Il `ritorno' parte I

Considera una pulce su una circonferenza, che al tempo iniziale sia nel punto di angolo al centro $\phi=0$. Ad ogni secondo la pulce fà un salto di un angolo $\alpha$. Sia $\phi_k$, con $0\le \phi_k<2\pi$, la posizione della pulce al secondo $k$.

a)

Prova che se $\frac \alpha\pi$è razionale il moto della pulce è periodico, cioè esiste $k$ tale che $\phi_k=0$

b)

Prova che se $\frac \alpha\pi$ è irrazionale la pulce non torna mai in $\phi=0$.

c)

Sempre nel caso $\frac \alpha\pi\notin \mathbb{Q}$, prova che esiste una successione crescente di interi $n_k$ tale che $\lim_{k\to +\infty} \phi_{n_k}=0$.

d)

Sempre nel caso $\frac \alpha\pi\notin \mathbb{Q}$, prova che per ogni $\phi$ esiste una successione crescente di interi $n_k$ tale che $\lim_{k\to +\infty} \phi_{n_k}=\phi$ (in altre parole il moto è `denso` sulla circonferenza, o anche l'$\omega-$limite del moto è tutta la circonferenza.

(Vedi Arnold [2])