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\numberwithin{equation}{section}

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\begin{document}





\footnotesize
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\title{Esercizi di Meccanica Razionale}
\author{AA 1999-2000, corsi Marchioro, Negrini, esercitatore D. Benedetto}
\maketitle
\tableofcontents
\vskip15pt

\vskip10pt
\noindent
I richiami alla bibliografia non sono ovviamente completi:
non sono citati tutti i testi, n\'e i testi in bibliografia sono 
citati tutte le volte che potrebbe essere utile.
Me ne scuso con gli studenti e con gli autori. 

\vskip10pt
\noindent
{\bf Questa versione non \`e definitiva. Possono esserci errori,
anche gravi. La versione pi\`u recente, e presumibilmente pi\`u corretta,
\`e sul sito http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/meccanica}


\vfill\vfill\eject

\section{Ulteriori (Pochi)  Esercizi in Formalismo Hamiltoniano}
\label{ulterHam}

\begin{esercizio}
Due aste omogenee di massa $M$ e lunghezza $L$, una 
di estremi $A$ e $B$ e l'altra di estremi $C$ e $D$, si muovono 
in un piano verticale.
L'estremo $B$ \`e incernierato, senza attrito,
 nel baricentro dell'asta $CD$.
Una molla di costante elastica $k$ lega $A$ a $C$.

{\bf 1} Determinare i gradi di libert\`a

{\bf 2} Scrivere la Lagrangiana

{\bf 3} Scrivere l'Hamiltoniana

{\bf 4} Scrivere l'equazione di Hamilton Jacobi

{\bf 5} Risolvere l'equazione di Hamilton Jacobi

{\bf 6} Supponendo che inizialmente le aste sono ferme, 
con $CD$  parallela all'asse
delle $x$,,
con l'ascissa di $C$ minore dell'ascissa di $D$
 e con $AC$ parallela all'asse delle $y$ con l'ordinata di $A$ maggiore
dell'ordinata di $B$.
Che angolo forma la direzione di $CD$  con l'asse orizzontale 
quando $C$ passa per il baricentro di $AB$?

\end{esercizio}

\begin{esercizio}

Una circonferenza omogenea, di raggio $R$ e massa $M$, \`e vincolata 
a muoversi in un piano orizzontale, passando sempre per un punto fisso
$O$ del piano. Un'altra circonferenza di raggio $r<R$ e massa $m$ rotola
senza strisciare sul bordo interno della prima.

{\bf 1} Scrivere la lagrangiana

{\bf 2} Scrivere l'hamiltoniana

{\bf 3} Scrivere l'equazione di Hamilton Jacobi

{\bf 4} discutere la riconducibilit\`a del moto alle 
quadrature e, eventualmente, la regione dello 
spazio delle fasi in cui si possono definire le variabili 
azione-angolo

\end{esercizio}

\begin{esercizio}

In un piano orizzontale, l'estremo $A$ di un'asta omogenea
di massa $m$ e lunghezza $L$ \`e vincolato a muoversi su di una
guida circolare fissa del piano, di centro $O$ e raggio $R>L$. 
L'altro estremo dell'asta \`e richiamato da $O$ da una molla
di costante elastica $k$.



{\bf 1} Scrivi la lagrangiana

{\bf 2} Scrivi l'hamiltoniana

{\bf 3} Determina la regione nello spazio delle fasi 
in cui si possono introdurre le variabili azione-angolo


{\bf 4} Discuti le posizioni di equilibrio e la loro 
stabilit\`a.

{\bf 5} Prova che esistono moti per cui l'asta rimane 
parallela al raggio che passa per $A$, sia interna che 
esterna alla guida. Osserva che sono moti periodici.

{\bf 6} Discuti se le orbire descritte al punto 5 
sono stabili, cio\`e se una piccola perturbazione 
dei dati iniziali fa ruotare l'asta in modo che 
rimanga per tutti i tempi vicina al raggio $OA$ oppure no.

{\bf 7} Trova un'altra famiglia di soluzioni periodiche, oltre 
a quelle descritte nel punto 5.

\end{esercizio}
\begin{esercizio}
Sia 
$$H=\frac 12 P_{\rho}^2 + \frac 1{2\rho^2} P_{\theta}^2 -\rho \cos \theta
-\frac 12 \rho^2 \sin^2\theta,$$
e sia, al tempo 0
$\theta(0)=P_{\theta}=0$ e $\rho = P_{\rho} = 1$.
Sia $S(\rho,\theta,P_1,P_2)=P_1 \rho \cos \theta +\alpha 
P_2 \rho \sin \theta $,
con $\alpha \in \R$ una funzione generatrice, con $x_1,x_2,P_1,P_2$
nuove coordinate ed impulsi.
Determina i valori di $\alpha\in \R$ tali 
che l'hamiltoniana nelle nuove variabili sia 
integrabile.

Utilizza tale trasformazione per 
determinare il valore di $\theta, \rho, P_{\rho}, P_{\theta}$ al tempo 
$t=\pi$.
\end{esercizio}


\section{Altro}
\label{altro}

\begin{esercizio}

In un piano verticale $(x,y)$ di origine $O$, 
considerate il sistema materiale
formato da due punti $P_1,\,P_2$, 
di massa $m_1,\, m_2$, rispettivamente; un vincolo liscio obbliga
$O, \, P_1, \, P_2$ ad essere allineati.
Inoltre il punto $P_1$ \`e vincolato a muoversi lungo la
circonferenza di centro $(R,O)$ e raggio $R$, ed il punto $P_2$ \`e 
vincolato a muoversi lungo la retta $x=2R$.

a) Determinare la funzione di Lagrange;

b) Determinare per quali valori del parametro $a=\frac {m_2}{m_1}$ 
si possono avere
posizioni di equilibrio;

c) Determinare le piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio.

\end{esercizio}

\noindent
{\bf Soluzione}

\noindent
Il problema \`e evidentemente ad un solo grado si libert\`a. 
Scelgo come variabile l'angolo $\phi$ che la direzione $O\, P_1\, P_2$
forma con l'asse delle $x$.
Per i vincoli presenti, $-\frac \pi2 < \phi < \frac \pi2$.
Con un po' di trigonometria elementare si ottiene:

\begin{equation} 
P_1=\binom {2R \cos^2\phi} {2R \sin \phi \cos \phi}\spaz \spaz
P_2=\binom {2R} {2R \tan \phi},
\end{equation}
quindi:
\begin{equation} 
\dot P_1=\dot \phi \binom {-4R \sin \phi \cos \phi} 
{2R (\cos^2 \phi- \sin^2 phi}\spaz \spaz
\dot P_2=\dot \phi \binom {0} {2R \frac 1{\cos^2 \phi}},
\end{equation}

L'energia potenziale dovuta alla forza di gravit\`a \`e 
\begin{equation}
V= 2Rg(m_1  \sin \phi \cos \phi + m_2 \tan \phi),
\end{equation}
dove $g$ \`e l'accelerazione di gravit\`a.

Quadrando e sommando i termini cinetici si ottiene la Lagrangiana:
\begin{equation}
L= 2R^2 \dot \phi^2 (m_1+m_2 \frac 1{\cos^4 \phi}) -
2Rg(m_1  \sin \phi \cos \phi + m_2 \tan \phi).
\end{equation}

Per analizzare le posizioni di equilibrio, prima del calcolo delle
derivate, tento un grafico qualitativo dell'energia potenziale $V$,
ricordandomi che $2\sin \phi \cos \phi = \sin (2\phi)$.
\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=silvia.eps}
}
\end{figure}

\noindent
In nero ho disegnato il seno di $(2x)$ e la tangente di $x$, 
nell'intervallo $(-\frac \pi2, \frac \pi2)$. 
La curva blu \`e la somma, con coefficienti davanti al seno e 
alla tangente, dello stesso ordine,
la curva rossa l'ho ottenuta con un coefficiente davanti alla tangente
molto piu' piccolo del coefficiente davanti al seno.
I due coefficienti sono esattamente le masse. Dunque deve 
esistere un valore critico $\bar a$ del parametro $a=\frac {m_2}{m_1}$ 
tale che:
\begin{itemize}
\item per $a< \bar a$ ci sono quattro posizioni di 
equilibrio;
nell'ordine crescente di $\phi$: instabile stabile instabile stabile;
\item per $a \to 0$ le posizioni estreme tendono a $0=2\pi$, 
le altre tendono alle posizioni di equilibrio per il potenziale 
$\sin (2\phi)$, che sono evidentemente $\pm\frac \pi4$;
\item per $a \to \bar a^-$ le due posizioni di equilibrio a sinistra andranno 
a coincidere, cos\'{\i}     come le due a destra (vviamente saranno 
tutte instabili);
\item 
per  $a> \bar a$ non ci sono posizioni di equilibrio: qualunque sia 
il dato iniziale $\lim_{t\to +\infty} \phi(t)= -\frac \pi2$, 
cio\`e l'ordinata di $P_2$ va a $-\infty$ e $P_1 \to O$.
\end{itemize}

Procedendo esplicitamente:
\begin{equation} 
V'= 2Rg( m_1(\cos^2 \phi - \sin^2 \phi)  + m_2 \frac 1{\cos^2 \phi}) = 
2Rg ( m_1( 2\cos^2 \phi -1) +
 m_2 \frac 1{\cos^2 \phi}).
\end{equation}
Le posizioni di equilibrio le ottengo annullando $V'$, 
risolvendo, cio\`e:
\begin{equation}
2 m_1 \cos^4 \phi - m_1 \cos^2 \phi   + m_2 =0.
\end{equation}
Ottengo
\begin{equation} 
\cos^2 \phi = \frac 14 \left( 1 \pm \sqrt{1-8a} \right).
\end{equation}
Dunque il valore critico del parametro \`e $\bar a = \frac 18$.
Per $a> \bar a$ non ci sono soluzioni.
Per $a< \bar a$ si ha $0<1-8a<1$, dunque
\begin{equation} 
\cos \phi =  \frac 12 \sqrt{ 1 \pm \sqrt{1-8a} }
\end{equation}
(scarto i valori negativi perch\`e $|\phi| < \frac \pi2$).
In definitiva ho le quattro posizioni di equilibrio che mi aspettavo:
\begin{equation} 
\phi= \pm \arccos \left( 
 \frac 12 \sqrt{ 1 \pm \sqrt{1-8a} } \right).
\end{equation}
Per $a=\bar a$ esse coincidono a due a due, nei punti
\begin{equation}
\phi= \pm \frac \pi3.
\end{equation}
L' analisi della  stabilit\`a \`e facilmente ottenibile dal 
grafico.


Per $a<\bar a$ esistono due posizioni di equilibrio stabile:
$\phi_1= - \arccos \left( 1 - \sqrt{1-8a} \right)$ 
e
$\phi_2= \arccos \left( 1 + \sqrt{1-8a} \right)$ .
Il modo pi\`u pulito per determinare la frequenza delle piccole 
oscillazioni \`e quello di scrivere la lagrangiana delle 
piccole oscillazioni. Per fare ci\`o bisogna calcolare 
la derivata seconda  dell'energia potenziale.
La indico con $V''$. 
Detto $\alpha_i$ lo scostamento dall'equilibrio $\phi_i$ ($i=1,2\,$), 
le lagrangiane delle piccole oscillazioni sono:
\begin{equation}
L_i=  2R^2 \dot \alpha_i^2 (m_1+m_2 \frac 1{\cos^4 \phi_i})
-\frac 12 V''(\phi_i) \alpha_i^2,
\end{equation}
quindi le frequenze delle piccole oscillazioni intorno ai due 
equilibri stabili sono:
\begin{equation}
\omega_i= \frac 1{2R} \sqrt{ \frac {V''(\phi_i)} {
m_1 +\frac {m_2}{\cos^4 \phi_i} }}.
\end{equation}
(Notare che, svolti i conti, esse dipendono solo dal rapporto tra 
le masse $a$).









\end{document}

