%&latex

\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsmath}
\input amssymb.sty
\usepackage{latexsym}
\usepackage{psfig}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{enumerate}
%\usepackage{showkeys}
%\usepackage{hyperref}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{html}
\usepackage[dvips]{color}
\pagecolor[gray]{1}

\numberwithin{equation}{section}

\newcommand{\grad}{\nabla}
\newcommand{\lap}{\triangle}
\newcommand{\ort}{\perp}
\newcommand{\de}{\partial}
\newcommand{\dde}[2]{{\dfrac {\partial {#1}}{\partial {#2}}}}
\newcommand{\dt}{\dfrac{d~}{dt}}
\newcommand{\dx}{\dfrac{d~}{dx}}
\newcommand{\spaz}{\phantom{..}}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\ve}[1]{{\mathbf {#1}}}
\newcommand{\vev}[1]{{\boldsymbol {#1}}}
\newcommand{\vai}{\htmladdnormallink}
\newtheorem{teo}{Theorem}[section]
\newtheorem{propo}[teo]{Proposition}
\newtheorem{defi}{Definition}[section]
\newtheorem{esercizio}{Esercizio}[section]
\newcommand{\fcr}{\mathcal X}
\newcommand{\Cal}[1]{{\mathcal {#1}}}

\begin{document}





\footnotesize
\baselineskip=14pt


\hsize=500pt

\addtolength{\hoffset}{-50pt}
\addtolength{\voffset}{-60pt}
\addtolength{\textheight}{100pt}
\title{Esercizi di Meccanica Razionale}
\author{AA 1999-2000, corsi Marchioro, Negrini, esercitatore D. Benedetto}
\maketitle
\tableofcontents
\vskip15pt

\vskip10pt
\noindent
I richiami alla bibliografia non sono ovviamente completi:
non sono citati tutti i testi, n\'e i testi in bibliografia sono 
citati tutte le volte che potrebbe essere utile.
Me ne scuso con gli studenti e con gli autori. 

\vskip10pt
\noindent
{\bf Questa versione non \`e definitiva. Possono esserci errori,
anche gravi. La versione pi\`u recente, e presumibilmente pi\`u corretta,
\`e sul sito http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/meccanica}


\vfill\vfill\eject

\section{Altri Esercizi in Formalismo Hamiltoniano}
\label{altriHam}
\subsection{Trasformazioni Canoniche}
\label{trasf_canon}
\begin{esercizio}[III Esonero 26/5/97, prima parte]

Considera la famiglia di trasformazioni da 
$\R^+\times \R^+$ in $\R^+\times \R^-$:
\begin{equation}
\begin{split}
&Q= \left( \frac p{q^3} \right)^{\alpha} \\
&P = -\left( \frac p{q^3} \right)^{\beta} ( q^4 +1 ),
\end{split}
\end{equation}
con $\alpha,\, \beta > 0$.

{\bf a)} Trova i valori di   $\alpha$ e  $\beta$ per i quali la 
trasformazione \`e canonica.

{\bf b)} Determina la funzione generatrice del tipo $F(q,Q)$ della
trasformazione.

\end{esercizio}

\begin{esercizio}[Compito del 5/6/90, parte 2]


Si consideri la trasformazione 
\begin{equation}
\begin{split}
&Q= -\arctan \frac p{2q}  \\
&P = q^2 + \alpha p^2,
\end{split}
\end{equation}
definita nell'insieme $\{ q>0, \, p>0 \}$.
Dimostrare che questa trasformazione \`e canonica per una scelta 
opportuna di $\alpha$ e scrivere, per tale valore, la trasformazione 
inversa.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}[Esonero recupero 19/5/92, prima parte]


Trovare per quali valori di $\alpha,\,\beta$ la seguente trasformazione 
\`e canonica:
\begin{equation}
\begin{split}
&Q= \sqrt{ p } e^{\alpha q}  \\
&P = -2 p^{\beta} e^{\frac q2}.
\end{split}
\end{equation}
In corrispondenza di tali valori scrivere la fuinzione generatrice
della trasformazione.

\end{esercizio}





\begin{esercizio}[III Esonero 1/6/95 (Marchioro), prima parte]

Data la seguente trasformazione: $(q,p)\leftrightarrow (Q,P)$
\begin{equation}
\begin{split}
&q= -\frac 14 Q^{\alpha} P \\
&p = Q^{\beta},
\end{split}
\end{equation}
con 
$\alpha,\, \beta\in \R $, 
trovare i valori di $\alpha$ e $\beta$ per cui essa \`e canonica
e trovarne la funzioni generatrice $F(q,Q)$.
\end{esercizio}

\subsection{Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo}

\begin{esercizio}[by Negrini, 2000]
Si consideri l'hamiltoniana
$$H=\frac {p_1^2}{q_1^2}+\frac {p_2^2}{q_2^2}
+ \sin( q_1^2 + q_2^2),$$
e si consideri la funzione generatrice
$$S= \frac {q_1^2+q_2^2}2 P_1 + q_1^2 P_2.$$

{\bf a)} Si determini la trasformazione canonica individuata da $S$,
nella regione $q_1,\, q_2>0$.

{\bf b)} Si determini la nuova Hamiltoniana.

{\bf c)} Si determinino le soluzioni delle equazioni del moto
per la nuova Hamiltoniana.

{\bf d)} Le soluzioni ottenute permettono di trovare le 
soluzioni delle equazioni del moto nelle vecchie variabili?


\end{esercizio}

\noindent
{\bf Soluzione.}

{\bf a)} La funzione generatrice dipende dalle vecchie coordiante e 
dai nuovi impulsi. Pertanto la traformazione canonica 
\`e implicitamente definita da:
\begin{equation}
\begin{split}
&Q_1= \frac {q_1^2 + q_2^2}2 \\
&Q_2= q_1^2 
\end{split}
\spaz\spaz 
\begin{split}
&p_1= q_1P_1 +2q_1P_2 \\
&Q_2= q_2P_1.
\end{split}
\end{equation}
La trasformazione canonica \`e dunque:
\begin{equation}
\begin{split}
&q_1= \pm \sqrt{Q_2}\\
&q_2= \pm \sqrt{2Q_1 -Q_2 }
\end{split}
\spaz\spaz
\begin{split}
&p_1= \pm \sqrt{Q_2} (P_1+2P_2) \\
&p_2 = \pm \sqrt{2Q_1- Q_2} P_1.
\end{split}
\end{equation}
Nella regione $q_1,\,q_2>0$ il segno da scegliere \`e $+$.

{\bf b)} Sostituendo nell'espressione di$H$ si ottiene l'hamiltoniana nelle 
nuove variabili:
$$K=(P_1+2P_2)^2 + P_1^2 + \sin(2Q_1).$$

{\bf c)} 
La variabile $Q_2$ \`e ciclica, dunque $P_2$ si conserva, e $K$ si conserva.
Un modo per ottenere la quadratura del moto \`e di scrivere la
lagrangiana unidimensionale per la variabile $Q_1$, pensando $P_2$
come un parametro fissato (un altro 
\`e la  soluzione dell'equazione di Hamilton-Jacobi, per separazione 
di variabili, o l'ispezione diretta delle equazioni del moto).
Si ottiene 
$$L= P_1 \dot Q_1 - K,$$
dove 
$$\dot Q_1 = \dde {K}{P_1}=4P_1 + 4P_2.$$
La lagrangiana \`e:
$$L=\frac 18 \dot Q_1^2 -\dot Q_1 P_2 -2 P_2^2 -\sin(2Q_1).$$
In questa lagrangiana il termine  $-2 P_2^2$ \`e costante, e posso 
eliminarlo, 
inoltre il termine $\dot Q_1 P_2$ \`e una derivata totale 
ripetto al tempo ($\dot Q_1 P_2 = \dt\left(Q_1P_2\right)$), 
quindi non influisce sulle equazioni del moto, e posso elimare 
anch'esso.
In definitiva la Lagrangiana che descrive il moto \`e
$$L= \frac 18 \dot Q_1^2 -\sin(2Q_1),$$
che ha come energia totale 
$$E= \frac 18 \dot Q_1^2 +\sin(2Q_1).$$
L'analisi qualitativa di questo moto \`e assolutamente standard.

Il moto di $Q_1$ \`e descritto da:
$$t= \pm \int^{Q_1} dQ_1 \frac 1{\sqrt{8(E- \sin(2Q_1))}}, $$
la determinazione del moto nelle altre variabili 
\`e determinato integrando le equazioni di Hamilton:
\begin{equation}
\begin{split}
&P_2(t)=P_2(0) \\
&P_1(t) = \frac 14 \dot Q_1(t) -P_2(0) \\
&Q_2(t) = Q_2(0) + Q_1(t)-Q_1(0) + 4tP_2(0).
\end{split}
\end{equation}

{\bf d)} 
La trasformazione effettuata \`e valida solo fino a che 
$Q_2\ge 0$ e $2Q_1-Q_2\ge 0$.
Quindi posso ottenere le soluzioni nelle vecchie 
variabili solo fino a quando 
$Q_2(t)\ge 0$ e  $2Q_1(t)-Q_2(t)\ge 0$.
Dalle soluzioni delle  equazioni di Hamilton si ottiene:
\begin{equation}
\begin{split} 
&Q_2(t) = Q_2(0) + Q_1(t)-Q_1(0) + 4tP_2(0) \\
&(2Q_1-Q_2)(t)= 2Q_1(0)- Q_2(0) + Q_1(t)-Q_1(0) -4tP_2(0)
\end{split}
\end{equation}
Ne segue che  se $P_2(0) \ne 0$, e il moto in $Q_1$ \`e limitato, 
il moto raggiunge o la frontiera $Q_2(t)=0$ o 
la frontiera $2Q_1(t) - Q_2(t)=0$.
Infatti, o $Q_1(t)-Q_1(0) + 4tP_2(0)$ o $Q_1(t)-Q_1(0) + 4tP_2(0)$
tende a meno infinito.

Quindi la soluzione trovata non pu\`o essere estesa per tutti 
i tempi nelle vecchie variabili.
Per ottenere la soluzioni per tutti i tempi 
bosogna considerare la trasfrmazione canonica 
nelle altre regioni dello spazio delle fasi.

Esistono, per\`o, dati iniziali per cui si ottiene 
globalemente il moto nelle vecchie variabili.
Sia ad esempio $P_2>0$ e consideriamo i moti illimitati in $Q_1$,
con $\dot Q_1>0$ (che corrispondono a $E>1$).
Allora, 
se $\sqrt{8(E-1)}>4P_2$, le condizioni per l'invertibilit\`a sono 
sempre soddisfatte, infatti:
$$\frac {Q_1(t)-Q_1(0)}t=\dot Q_1(\tau)= \sqrt{8(E-\sin(2Q_1(\tau)))},$$
per un opportuno tempo intermedio $0<\tau<t$.
Dunque: $Q_1(t)-Q_1(0)\pm 4t P_2>0$.




\begin{esercizio}[(III Esonero 26/5/97, seconda parte]

Un'asta omogenea di massa $m$ e lunghezza $l$ \`e vincolata 
a muoversi su di un piano orizzontale $(O,\,x,\,y)$.
Sul suo punto medio $P$ \`e applicata  una forza di energia potenziale
$$V=\frac {J^2}{2m} \frac {y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} + \frac k2 
(x^2+y^2), $$
dove $x,\,y$ sono le coordinate del punto $P$, e $k>0,\, J$ paramteri 
fissati.

Usa come variabili lagrangiane la distanza $\rho$ di $P$ dall'origine 
$O$, 
l'angolo $\theta $ che $PO$ forma con l'asse delle $x$, e l'angolo $\phi$ 
che l'asta forma con l'asse delle $x$.

{\bf a)}
Scrivi la Lagrangiana e l'Hamiltoniana;

{\bf b)} risolvi l'equazione di Hamilton-Jacobi per separazione 
di variabili;

{\bf c)} considera il dato iniziale
\begin{equation}
\begin{split}
&P_{\rho}(0)= 0 \\
&\rho(0)=\rho_0>0 \end{split}
\spaz\spaz
\begin{split}
&P_{\theta}(0) = 0
\\
&\theta(0)= \theta_0 
\end{split}
\spaz\spaz
\begin{split}
&P_{\phi}(0)= p_0 > 0 \\
&\phi(0)=0.
\end{split} 
\end{equation}
Per quali valori di $\theta_0$ il moto \`e multiperiodico (
cio\`e \`e nella regione dello spazio delle fasi in cui il moto pu\`o 
essere descritto in variabili azione-angolo)?

{\bf d)} Sia ora $P_{\phi} (0)= 0$. Trova un valore di $\theta_0$ per 
cui il moto \`e periodico.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}[III Esonero 1/6/95 (Marchioro) seconda parte]

In un piano verticale \`e posto un disco omogeneo di centro $C$, masa 
$M$ e raggio $R$, che rotola senza strisciare lungo un asse orizzontale 
$x$. In tale piano \`e posta un'asta omogenea pesante di massa $m$ 
e lunghezza $L=R$ ed i cui estremi $A$ e $B$ sono obbligati a scorrere 
senza attrito lungo una guida liscia solidale alla circonferenza 
del disco.

Scegliamo come variabili Lagrangiane l'ascisa $x_C$ del centro del
disco e l'angolo $\theta $ che $CH$ forma con la verticale 
discendente, ove $H$ \`e il punto di mezzo dell'asta $AB$.


{\bf a)} Scrivere le equazioni del moto con il metodo di Lagrange.

{\bf b)} Trovare due integrali primi e, tramite questi, considerando 
le seguenti condizioni inizilali:
$$x_C(0)=0;\spaz \dot x_C(0)=0; \spaz \theta(0)=0: \spaz
\dot \theta (0)= \dot\theta_0,$$
trovare i valori di $\dot \theta_0$ per cui l'asta compie una rotazione
completa.

{\bf c)} Scrivere prima l'Hamiltoniana e poi 
l'equazione di Hamilton-Jacobi.

{\bf d)} (aggiunto) Risolvere per separazione di variabili l'equazione 
di Hamilton-Jacobi. Esiste una regione nello spazio delle fasi 
in cui il motot pu\`o essere descritto in variabile azione-angolo?
\end{esercizio}

\begin{esercizio}[Esonero 19/5/92 (recupero), seconda parte]

Data la Lagrangiana 
$$L= (1+q^2) \dot q^2 - \dot q + q,$$

{\bf a)} Scrivere la corrispondente Hamiltoniana e le equazioni di 
Hamilton.

{\bf b)} Scirvere l'equazione di Hamilton-Jacobi relativa a tale 
Hamiltoniana e riportare il moto del sistema alle quadrature.

{\bf c}) Scrivere l'energia meccanica totale corrispondente alla 
Lagrangiana $L$. Utilizzando la conservazione dell'energia, 
riportare il sistema alle quadrature. Confrontare il risultato 
con quanto ottenuto mediante l'equazione di Hamilton-Jacobi.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}[Compito 12/10/94, seconda parte]

Si consideri il sistema di equazioni differenziali
\begin{equation}
\begin{split}
&\dot q = p - q^2 \\
&\dot p = 2 q^3 - 2 pq 
\end{split}
\end{equation}

{\bf a)} Si riconosca che il sistema \`e hamiltoniano.

{\bf b)} Si risolva il sistema usando il metodo di Hamilton-Jacobi.

\end{esercizio}

\begin{esercizio}[Compito 23/9/91]

Un corpo rigido \`e formato da un semidisco omogeneo di massa $M$ e raggio 
$R$ e da un'asta di massa $m$ e lunghezza $2R$. 
Esso \`e vicolato da una cerniera a ruotare attorno a $C$ in un piano 
verticale, e sia $\theta$ l'angolo che l'asta forma con l'asse
(vedi figura).
\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=figbo.eps}
}
\end{figure}

{\bf a)} Scirvere la Lagrangiana e mostrare che essa assume la forma
$$L= \frac I2 \dot \theta^2 - a\sin \theta - b \cos \theta,$$
e scrivere le espressioni di $I,\, a,\, b$ in funzione dei $R,\,M,\, m$.

{\bf b)} Determinata l'Hamiltoniana, scrivere l'equazione di Hamilton-Jacobi
e risolvere il problema della dinamica del corpo riportando tale 
equazione alle quadrature.

{\bf c)} Dire sotto quali condizioni la posizione $\theta=0$ \`e di equilibrio.
AQl di fuori di tali condizioni studiare il moto del corpo con 
condizioni iniziali $\theta(0)=0,\, \dot \theta (0)=0$.
Specificare se la rotazione avviene inizialemente in senso orario o 
antiorario, se esiste un tempo $t^*$ in cui l'asta raggiunge una posizione 
verticale ed in tal caso determinare l'espressione di tale tempo $t^*$.
\end{esercizio}

\begin{esercizio}[Compito 5/6/90, prima parte]

Una particella puntiforme di massa $m=1$ si muove nel piano 
sotto l'azione di una forza conservativa di energia potenziale
$$V(r)= -\frac 1{r^{\frac 32}},$$
esendo $r$ la distanza dall'origine.

Si supponga che, all'istante $t=0$, indicando con $\theta$ 
l'angolo polare rispetto all'origine:
$$r(0)=1,\spaz \dot r(0)= v_0,\spaz \dot \theta(0)=1.$$
Si chiede di dire per quali valori di $v_0$ il moto \`e quasi periodico.
\end{esercizio}

\subsection{Teoria delle perturbazioni}
\begin{esercizio}
Si consideri l'Hamiltoniana
$$H(q,p)= \frac 12 p^2 + \frac 12 \omega^2 q^2 + \eps 
( q^3 + \lambda qp^2).$$
Si trovi una trasformazione canonica polinomiale, che trasforma 
$H$ in una 
Hamiltoniana della forma:
$$K(Q,P)=\frac 12 P^2 + \frac 12 \omega^2 Q^2 + 
\eps^2 V(Q,P,\eps),$$
con $V(Q,P,\eps)$ limitato in $\eps$.
Si utilizzi tale trasformazione per scrivere la soluzione 
generale delle equazioni del moto a meno di termini di oridine
$\eps^2$.
\end{esercizio}





\end{document}

