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\numberwithin{equation}{section}

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\begin{document}





\footnotesize
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\title{Esercizi di Meccanica Razionale}
\author{AA 1999-2000, corsi Marchioro, Negrini, esercitatore D. Benedetto}
\maketitle
\tableofcontents
\vskip15pt

Nella seconda parte (sezione \ref{sez.forLH}) esercizi sui 
moti in pi\'u dimensioni.
\vskip10pt
\noindent
Gli esercizi della sezione \ref{sez.forLH} sono classificati 
approssimativamente per argomento:
\begin{itemize}
\item[{\bf L}] formalismo lagrangiano
\item[{\bf S}] stabilt\`a 
\item[{\bf PO}] piccole oscillazioni
\item[{\bf RU}] riduzione dei gradi di libert\`a
\item[{\bf N}] teorema di Noether
\item[{\bf CR}] corpi rigidi
\item[{\bf H}] formalismo hamiltoniano
\item[{\bf TC}] trasformazioni canoniche
\item[{\bf HJ}] Hamilton-Jacobi
\item[{\bf AA}] variabili azione-angolo
\item[{\bf P}] perturbazioni di sistemi integrabili
\end{itemize}


\vskip10pt
\noindent
I richiami alla bibliografia non sono ovviamente completi:
non sono citati tutti i testi, n\'e i testi in bibliografia sono 
citati tutte le volte che potrebbe essere utile.
Me ne scuso con gli studenti e con gli autori. 

\vskip10pt
\noindent
{\bf Questa versione non \`e definitiva. Possono esserci errori,
anche gravi. La versione pi\`u recente, e presumibilmente pi\`u corretta,
\`e sul sito http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/meccanica}


\vfill\vfill\eject

\section{Alcuni compiti d'esame}
\label{sez.forLH}



\subsubsection{L,S,PO: Compito di Meccanica, febbraio '97}
\label{new.1}



Un'asta omogenea di estremi $A$ e $B$, massa $M$, e lunghezza $l$,
\'e vincolata a muoversi su di un piano verticale $\pi$. Il suo estremo 
$A$  \`e vincolato a muoversi su di una retta orizzontale
 $r\subset \pi$.
Inoltre, $\pi$ ruota con velocit\`a angolare costante 
$\omega$ intorno all'asse verticale $s$, ortogonale a $r$ nel punto fisso
$O$.

Il punto $A$ dell'asta \`e richiamato dal punto $O$ da una molla
ideale di costante elastica $k$.


Si introducano le coordinate lagrangiane 
$\rho=$ distanza di $A$ da $O$, e $\theta=$ angolo tra la 
direzione dell'asta e la direzione dell'asse $s$.




1) Si scriva la Lagrangiana, e, considerando 
trascurabili gli effetti gravitazionali, e si determinino,
conseguentemente,  eventuali 
quantit\`a conservate.



\noindent
{\it Sempre nell'approssimazione di cui al punto 1:}



2) si determinino le soluzioni di equilibrio, al variare del 
parametro $h=\frac k{M\omega^2}$;


3) si discuta la stabilit\`a delle soluzioni di equilibrio 
al variare di $h$;

4) nel caso $h>1$ si calcolino le frequenze e i modi normali delle
piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabile.

\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.1}

\subsubsection{L,S,PO: Primo compito di esonero, a.a. 93-94.}
\label{new.2}

Nel piano verticale, si fissi un sistema di 
riferimento inerziale $(0,x,y)$, con
asse y orientato lungo la retta verticale 
ascendente. Attorno al punto fisso $O$
\'e libera di ruotare un'asta illimitata (senza peso). 
Sia $s$ la coordinata
sull'asta, scelta positiva alla destra di $O$, e sia $\theta$ l'angolo 
(contato 
in vero antiorario) che l'asta forma con l'asse $x$. 
Sull'asta, in $s=a, a >0$,
\'e fissato un punto $P_{1}$ di massa $m_{1}$.
 Inoltre, sull'asta, \`e libero di
scorrere un secondo punto materiale $P_{2}$, di massa $m_{2}$. $P_{2}$ \`e
richiamato da  $P_{1}$, con una forza elastica $F = -k(P_{2} - P_{1}), k >0.$

\noindent
{\it Prima domanda}. Si scriva la lagrangiana del sistema.

\noindent
{\it Seconda domanda}. Detto $\alpha =ak {(m_{1} + m_{2}) \over gm_{2}^{2}}$,
discutere, al variare di questo parametro, le soluzioni
 stazionarie del sistema
Lagrangiano, determinandone, per $\alpha \ne 1$, le relative propriet\`a di
stabilit\`a.

\noindent
{\it Terza domanda.} Si determinino le frequenze delle "piccole oscillazioni"
attorno alle posizioni di equilibrio stabili.

\noindent
{\it Quarta domanda.} Si consideri
ora il seguente problema: l'asta gira con frequenza angolare costante
$\omega$ attorno ad O. Si discuta il corrispondente problema ad un grado
di libert\`a .



\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.2}

\subsubsection{CR,L,S Compito di Meccanica Razionale,  6/6/'96, I$^o$
appello, sess. estiva.}
\label{new.3}

Una circonferenza $\Cal C$ di raggio $R$ e massa $M_1$ ruota con 
velocit\`a angolare costante $\omega$ in un piano verticale,
intorno al suo centro $O$. 
Sul suo bordo interno rotola senza strisciare un disco $\Cal D$ 
di raggio $r<R$ e massa $M$. Il centro $G$ di tale disco 
\'e richiamato da una molla elastica di costante $k>0$, da un punto 
materiale $Q$ di massa $m$, libero di scorrere sull'asse verticale
passante
per $O$.

Indica con $\psi=\omega t$ e $\phi$ gli angoli di rotazione propria
di $\Cal C$ e $\Cal D$ rispettivamente, con $\theta$ l'angolo
che  $OG$ forma con la direzione postitiva dell'asse orizzontale, 
e con $y$ la quota del punto $Q$ rispetto a $O$:

1) scrivi la  condizione di puro rotolamento in termini di 
$\dot \psi,\, \dot \phi,\, \dot \theta$, e dimostra che \`e un vincolo
olonomo;

2) scrivi la Lagrangiana del sistema nelle variabili
lagrangiane  $\theta , \, y$;

3) determina le soluzioni stazionare del relativo sistema di Lagrange,
al variare del parametro adimensionale 
$\lambda= {(M+m) g\over (R-r) k}$;

4) discuti la stabilit\`a delle posizioni di equilibrio al variare di 
$\lambda$;

5) determina le condizioni iniziali sul moto del baricentro $G$ 
del disco $\Cal D$ a cui corrispondono solo moti armonici 
del punto $Q$.






\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.3}

\subsubsection{CR,L,S Compito di Meccanica Razionale, sess. estiva (Pulvirenti)}
\label{new.4}


\noindent
Si consideri un sistema di riferimento piano inerziale di origine $O$ e assi
$(x,y)$, l'asse $y$ essendo scelto allineato con la verticale
ascendente. Un disco omogeneo, di raggio $R$, centro $G$, e massa totale $M$,
rotola senza strisciare (cio\'e puro rotolamento) lungo l'asse $y$. Lungo un
diametro del disco - di estremi $A, B$- \`e libero di scorrere senza attrito un
punto materiale di massa $m$. Tale punto \`e inoltre richiamato dal centro del
disco tramite una molla ideale di costante elastica $k$ ($ k>0$).  
Nell'istante iniziale il centro del disco si trova sull'asse $x$, il diametro
$A, B$ \`e collineare all'asse $x$  e $x_{A} < x_{G} < x_{B}.$ 

 Si consideri un sistema solidale $(\xi, \eta)$ di assi incentrati in $G$, l'asse
$\xi$ orientato come $AB$. Si assumano come parametri Lagrangiani l'angolo
$\phi$ (contato in senso antiorario)  che l'asse solidale $\xi$ forma con l'asse
delle $x$ e l'ascissa $\xi$ del punto $P$. 

\noindent
{\bf $1^{a}$ domanda.}
 Si scriva la Lagrangiana del sistema.

\noindent
{\bf $2^{a}$ domanda.} Si determinino le eventuali configurazioni di equilibrio. 

\noindent
{\bf $3^{a}$ domanda.} Si discuta la stabilit\`a delle soluzioni di equilibrio
determinate al punto $2$.

\noindent
{\bf $4^{a}$ domanda.}
Si consideri ora un diverso problema, e cio\'e si consideri il punto $P$
{\bf fissato} nel centro. Descrivere il moto del sistema.


\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.4}

\subsubsection{CR,L,S Compito sessione estiva a.a. 93-94}
\label{new.5}

In un piano orizzontale sono poste due aste $A_1B_1$ e $A_2B_2$
di rispettive masse $M_1$ ed $M_2$ (distribuzione di massa 
omogenea) e lunghezze $L_1$ ed $L_2$. Le aste sono libere di ruotare
attorno ai rispettivi baricentri $G_1$ e $G_2$, fissi nel piano,
con $|G_1 G_2|=l>0$.


Sia $P$ un punto appartenente all'asta  $A_1B_1$, giacente tra $G_1$ e
$A_1$, $Q$ un punto appartenente all'asta $A_2B_2$,
giacente tra 
$G_2$ e $A_2$, $|G_1 P|=|G_2 Q|=r>0$.
Tra i punti $P$ e $Q$ agisce una molla ideale, di costante elastica 
$k>0$. Si richiede:

1) scrivere la Lagrangiana del sistema;

2) determinare gli equilibri;

3) discutere la stabilit\`a degli equilibri al variare del parametro
$\alpha={l\over 2 r}$ in $\R_+-\{1\}$;

4) considerato il sistema corrispondente a $l=0$, 
si discuta il corrispondente sistema lagrangiano, mostrando che \`e 
riconducibile ad un sistema ad un grado di libert\`a.


\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.5}
\subsubsection{CR,L,S,PO: Compito di Meccanica Razionale del 6.10.94}
\label{new.6}


In un piano verticale si adotta un sistema di riferimento inerziale
$(O,x,y)$, con $O$ fisso, asse $y$ orientato lungo la verticale ascendente.
Sull'asse $y$ \`e libero di scorrere senza attrito il punto $P$ di massa
m. Un'asta di estremi $A,B$, massa M, lunghezza $2L$ \`e libera di
ruotare, senza attrito, attorno al suo punto medio, fissato in $O$. Il
punto estremo $A$ (risp. $B$) \`e richiamato dal punto $P$, tramite una molla
elastica ideale, di costante $k_{1}$ (risp. $k_{2}$).
Si assuma  $a = k_{1} - k_{2} >0$. 

(I). Si scriva la Lagrangiana del sistema e si determinino le
configurazioni di equilibrio al variare del parametro $\alpha:={mg \over
aL}\in (0,\infty)$.

(II). Si discuta la stabilit\`a degli equilibri al variare del parametro
$\alpha$ in $\mathbb R^{+} -\{1\}$.

(III). Si studi il sistema Lagrangiano ottenuto per linearizzazione
attorno alla posizione di equilibrio che \`e stabile per ogni $\alpha$,
nell'intervallo predetto.

(IV). Si assuma {\bf ora} $a = 0.$ Si determinino i moti del
corrispondente sistema lagrangiano.




\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.6}

\subsubsection{CR,L,S,PO Compito del 20.6.94 (Marchioro)}
\label{new.7}



Una sbarra rigida omogena pesante $OH$ di lunghezza $L$
e massa $M$ \`e posta in un piano verticale ed \`e libera di ruotare 
senza attrito attorno al suo estremo $O$. Per l'altro estremo $H$
passa una guida di massa trascurabile ortogonale alla sbarra.
Lungo tale guida si muove senza attrito un punto materiale pesante $P$
di massa $m$. Esso \`e soggetto oltre al peso ad una forza elastica 
$F=-k\, OP$, $k>0$.

Scegliamo come variabili lagrangiane l'angolo $\theta $ che la sbarra
forma con la verticale discendente e l'ascissa $x$ del punto 
$P$ lungo la guida.

1) Scrivere le equazioni del moto del sistema.

2) Trovare le posizioni di equilibrio e discuterne il numero e la
stabilit\`a.

3) Studiare le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di
equilibrio stabile.


\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.7}
\subsubsection{CR,L,S,PO: Compito del 11.7.94 (Marchioro)}
\label{new.8}


In un piano orizzontale si muovono due sbarrette omogenee di lunghezza
$L$
e massa $M$ di estremi rispettivamente $A,\, B$, e $B,\, C$, 
incernierate tra loro in $B$ ma libere di ruotare senza attrito.
Gli estremi $A$ e $C$ sono obbligati a scorrere senza attrito
lungo un asse fisso $x$. Su $A$ agisce una forza 
$F_1=-k H_1A$, su $C$ una forza $F_2=-k H_2 C$ ($k>0$), ove
$H_1$ e $H_2$ sono punti dell'asse $x$ di ascisse rispettivamente 
$-\frac L2$ e $\frac L2$. Scegliamo come variabili lagrangiane l'ascissa
di $B$ $x_B$, e l'angolo $\theta $ che $AB$ forma con l'asse $x$.


1) Trovare le equazioni del moto.


2) Trovare le posizioni di equilibirio e discuterne la stabilit\`a.

3) Scrivere le piccole oscillazioni attorno ad una posizione di 
equilibrio stabile.

4) Trovare se esistono condizioni iniziali per cui il moto sia armonico
con frequenza $\omega$ non solo per piccole oscillazioni ma anche per
oscillazioni finite.



\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.8}
\subsubsection{CR,L,S,PO Esonero di Meccanica Razionale del 14-5-90}
\label{new.9}

Un disco omogeneo pesante di massa $M$ e
raggio $R$ \`e vincolato in un piano verticale
 a rotolare senza
strisciare su una guida
orizzontale $Oy$.  Un punto materiale di massa
$m$ \`e vincolato senza attrito al suo bordo.  Sul
centro $\Omega$ del disco agisce la forza
$-kO\Omega$ ($k \ge 0$).

\noindent
1) Determinare gli equilibri e la loro
stabilit\`a, (per $k > 0$).

\noindent
2) Scrivere la lagrangiana e le equazioni di
Lagrange studiando, per $k > 0$, le piccole
oscillazioni attorno alla posizione di
equilibrio stabile.  Si calcolino le frequenze
proprie e i modi normali. 


\noindent
3) Per $k = 0$ si determinino 2 integrali primi
del moto.


\noindent
4) (facoltativo)  Per $k = 0$ determinare i moti
tali che la quota del punto materiale rimanga
costante nel tempo.


\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.9}

\subsubsection{CR,LS,PO  Esonero di Meccanica Razionale del 14-5-90}
\label{new.10}

Un disco omogeneo pesante di massa $M$ e
raggio $R$ \`e vincolato in un piano verticale
 a rotolare senza
strisciare su una guida
orizzontale $Oy$.  Un punto materiale di massa
$m$ \`e vincolato senza attrito al suo bordo.  Sul
centro $\Omega$ del disco agisce la forza
$-kO\Omega$ ($k \ge 0$).

\noindent
1) Determinare gli equilibri e la loro
stabilit\`a, (per $k > 0$).

\noindent
2) Scrivere la lagrangiana e le equazioni di
Lagrange studiando, per $k > 0$, le piccole
oscillazioni attorno alla posizione di
equilibrio stabile.  Si calcolino le frequenze
proprie e i modi normali. 


\noindent
3) Per $k = 0$ si determinino 2 integrali primi
del moto.


\noindent
4) (facoltativo)  Per $k = 0$ determinare i moti
tali che la quota del punto materiale rimanga
costante nel tempo.


\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.10}

\subsubsection{L,RU Compito di Meccanica del 23.2.1995}
\label{new.11}

 Un punto materiale pesante \`e vincolato senza attrito alla
superficie di rotazione d'asse verticale $z$, descritta
in coordinate cilindriche dall'equazione $\rho^2=(1+a\cos z)$,
con $0<z<2\pi$, $a$ costante positiva minore di $1$.

a) Dimostra che il corrispondente sistema lagrangiano \`e 
integrabile.

b) Dimostra che esistono condizioni iniziali tali che il
punto si muova mantenendo la quota costante. Descrivi tali moti.


\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.11}

\subsubsection{L,RU,N: Primo compito di esonero, a.a.94-95.}
\label{new.12}


\noindent
Si consideri la funzione Lagrangiana:
\begin{equation}\label{1}
L = {1\over 2}({\dot q_{1}}^{2} + 
{\dot q_{2}}^{2}) + {q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2} -
({q_{1}}^{2} + {q_{2}}^{2})^{3}. \end{equation}
1) Sfruttando la simmetria della Lagrangiana dimostrare che esiste un
integrale primo del corrispondente sistema di Lagrange, distinto dall'integrale
primo dell'energia. Detto $I$ tale integrale primo, si consideri il sistema di
Lagrange ristretto sui livelli $I = c, c\in R\setminus\{0\}$. Si dimostri che
tale restrizione \`e ancora un sistema Lagrangiano, ad un grado di libert\`a, e
si scriva la corrispondente Lagrangiana $L^{(c)}$. Si studino quindi le orbite
al variare di $c$.

\noindent
2) Si considerino per il sistema di Lagrangiana $L$ le condizioni iniziali:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
\alpha q_{1}(0) + \beta q_{2}(0)  = 0 \\
\alpha \dot q_{1}(0) + \beta \dot q_{2}(0)  = 0 
\end{array}
\end{equation}
$\alpha, \beta \in {\mathbb R}^2, \beta \ne 0.$

Si studino  i corrispondenti moti, individuando in particolare, se esistono,
moti a meta asintotica. 





\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.12}

\subsubsection{CR,L,RU: Compito di Meccanica Razionale del 26.2.96}
\label{new.13}

Un disco rigido di massa M e raggio $R$ \`e libero di 
scorrere senza attrito su
di  un piano orizzontale fisso.  Sul bordo del disco pu\'o scorrere, ancora
senza attrito, un punto materiale di massa $m$.

Si richiede di determinare il moto del sistema.
 




\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.13}

\subsubsection{CR,L,S,RU Compito sessione estiva a.a. 93-94}
\label{new.14}


In un piano orizzontale sono poste due aste $A_1B_1$ e $A_2B_2$
di rispettive masse $M_1$ ed $M_2$ (distribuzione di massa 
omogenea) e lunghezze $L_1$ ed $L_2$. Le aste sono libere di ruotare
attorno ai rispettivi baricentri $G_1$ e $G_2$, fissi nel piano,
con $|G_1 G_2|=l>0$.


Sia $P$ un punto appartenente all'asta  $A_1B_1$, giacente tra $G_1$ e
$A_1$, $Q$ un punto appartenente all'asta $A_2B_2$,
giacente tra 
$G_2$ e $A_2$, $|G_1 P|=|G_2 Q|=r>0$.
Tra i punti $P$ e $Q$ agisce una molla ideale, di costante elastica 
$k>0$. Si richiede:

1) scrivere la Lagrangiana del sistema;

2) determinare gli equilibri;

3) discutere la stabilit\`a degli equilibri al variare del parametro
$\alpha={l\over 2 r}$ in $\R_+-\{1\}$;

4) considerato il sistema corrispondente a $l=0$, 
si discuta il corrispondente sistema lagrangiano, mostrando che \`e 
riconducibile ad un sistema ad un grado di libert\`a.



\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.14}

\subsubsection{L,S,H Secondo appello Meccanica Razionale a.a. 93-94.}
\label{new.15}

Si consideri in un piano orizzontale un punto materiale $P$, di massa $m$.
Il punto \`e richiamato, tramite una molla ideale di costante elastica
$k_{1}$, ($k_{1} > 0)$, dal punto fisso $O$. Inoltre, a distanza $l$ da $O$ 
\'e posto il centro di un cerchio, di raggio $R$. Il cerchio \`e fisso. Sul
cerchio \`e libero di scorrere senza attrito un punto materiale $Q$ di massa
$M$. I punti $P$ e $Q$ interagiscono tramite una molla ideale di costante
elastica $k_{2}$, ($k_{2} > 0).$

\noindent
$I^{o}.$ Si scriva la Lagrangiana del sistema e si determinino le
soluzioni stazionarie del corrispondente sistema di Lagrange.     

\noindent
$II^{o}.$ Si discuta la stabilit\`a delle soluzioni di equilibrio trovate al
punto $I^{o}$, determinando le frequenze delle piccole oscillazioni attorno
alla posizione di equilibrio stabile.

\noindent
$III^{o}.$ Si consideri il caso: $l = 0.$ Si dimostri che il sistema
Lagrangiano ha un integrale primo indipendente dall'energia. Si scriva la
funzione di Hamilton del sistema corrispondente al valore nullo di detto
integrale primo, usando come coordinata spaziale indipendente la differenza
delle anomalie angolari di $P$ e di $Q$.

\noindent
$IV^{o}.$ Si consideri il caso limite in cui $m\vert OP\vert^{2}$ \`e
trascurabile rispetto a $M R^{2}$; si valuti quindi in questa
approssimazione la  funzione di Hamilton a partire da quella determinata nel
punto precedente, e si dimostri che il corrispondente sistema Hamiltoniano \`e
integrabile.

\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.15}

\subsubsection{L,S,N} 
\label{new.16}
Si consideri un punto materiale di massa $m$ 
soggetto ad un
campo di forze di energia potenziale $V(x, y, z)$ soddisfacente il seguente
requisito: il potenziale \`e invariante rispetto al gruppo di diffeomorfismi:
\begin{equation}
h_{\tau}(x, y, z) = \left( \matrix
\cos \tau &  -\sin\tau & 0 \\
\sin \tau & \cos \tau  & 0\\
 0 & 0 &  1\\ \endmatrix \right)
\left( 
\matrix
x \\
y\\
z\\ \endmatrix \right)
 + 
 \left(
\matrix
0\\
0\\
\alpha \tau\\
\endmatrix \right)
.
\end{equation}
{\it Prima domanda}. Si trovi l'integrale primo corrispondente alla simmetria 
dell'energia potenziale
e si determini un sistema di coordinate adattato $(r, \theta, z).$ 


{\it Seconda domanda}. Usando la simmetria del sistema si riduca di
uno il numero dei gradi di libert\`a, considerando quindi una opportuna
Lagrangiana ridotta. Determinare gli equilibri di tale Lagrangiana ridotta e
darne una interpretazione in termini delle coordinate $(r, \theta, z).$ 

{\it Terza domanda}. Si studi la stabilit\`a degli equilibri nel caso
particolare:
\begin{equation}
V(r, \theta, z) = {1 \over {r^{2}(\cos^{2}(\alpha\theta - z)  -
\sin^{2}(\alpha\theta - z))}}. \end{equation}



\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.16}

 
\subsubsection{L,RU,H,HJ,AA
Compito di Meccanica Razionale, 
9/7/'96, II$^o$ appello, sess. estiva}
\label{new.17}


Un punto materiale di massa unitaria \`e vincolato a muoversi
sulla superficie di rotazione
di equazione $z=-\frac 1{\rho^2}-\frac 1\rho$, dove 
$\rho^2=x^2+y^2$.

Sul punto agisce una forza costante, di intesit\`a unitaria, diretta
verso  la direzione negativa dell'asse $z$. 






1) Scrivi la Lagrangiana e l'Hamiltoniana del sistema.

2) Determina gli integrali primi del moto.

3) Determina le condizioni sui dati iniziali per cui il 
moto esiste per tutti i tempi, per cui si hanno orbite
limitate, per cui si hanno orbite illimitate.

4) Considera un'orbita illimitata. \`E finito 
l'angolo $\lim_{t\to +\infty}\theta(t)-\lim_{t\to -\infty}\theta(t)$? 
($\theta(t) $ \`e l'angolo che la congiungente tra il punto materiale
e l'asse delle $z$  forma con un asse orizzontale fisso).

5) Risolvi il moto per quadrature mediante la soluzione 
dell'equazione di Hamilton -Jacobi.

6) Determina la regione dello spazio delle fasi in 
cui il moto si pu\'o descrivere in variabili azione-angolo
e determina le variabili d'azione.








\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.18}


\subsubsection{CR,L,RU,H,HJ
Compito di Meccanica Razionale, 
 24/9/'96, I$^o$ appello, sess. autunnale}
\label{new.18}

Si consideri, in un piano fisso orizzontale, una guida 
$\Cal G$, liscia, a forma di arco di parabola, libera di ruotare senza
attrito  attorno  al suo vertice $O$, fissato sul piano.
 Sia $I$ il suo momento di 
inerzia rispetto ad $O$.
In un sistema di coordinate cartesiane $(O,\, \xi,\,\eta)$, 
solidale con la guida, essa \`e rappresentata dall'equazione 
$\eta=a \xi^2$, $a>0$, $|\xi|\le r$, $r>0$. 

 Un punto materiale $P$ di massa $m$, \`e libero di scorrere 
senza attrito sulla guida $\Cal G$. Il punto $P$
\'e richiamato da $O$ per il tramite di una molla
elastica di costante
$k>0$.

Si denoti con $\theta$ l'angolo che
la direzione tangente in $O$ alla guida forma con una direzione fissa
del piano (vedi figura). 
\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=fig18.eps}
}
\end{figure}
\noindent
{\bf 1)} Si scriva la Lagrangiana del sistema, riconoscendone le
eventuali simmetrie ed i conseguenti integrali primi.


\noindent
{\bf 2)} Dopo aver riconosciuto l'esistenza di un integrale primo
$J$ (ulteriore rispetto all'energia), si analizzino i moti del
 sistema unidimensionale che si ottiene fissando il valore di $J$.

\noindent
{\bf 3)} Si determinino delle condizioni sui dati 
iniziali per cui il moto del sistema
composto dalla guida e dal punto materiale sia periodico.

\noindent
{\bf 4)} Si scriva l' Hamiltoniana e si discuta
l'equazione di Hamilton-Jacobi, con il metodo di separazione delle
variabili.

\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.18}

\subsubsection{CR,L,RU,H,HJ,AA
Compito di Meccanica Razionale, 
8/10/'96, II$^o$ appello, sess. autunnale}
\label{new.19}



Considera una terna di riferimento inerziale $(O, \ve x,\ve y,\ve z)$.
Un disco rigido di massa $M$ e raggio $R$, e' vincolato ad avere il 
centro in $O$. L'asse $\ve u$, passante per $O$
ed ortogonale al disco, \`e vincolato a muoversi sul piano 
$\ve x,\, \ve y$, ed inoltre
il disco \`e libero di  ruotare intorno a tale asse $\ve u$.

Sul bordo del disco \`e fissato un punto materiale $P$ 
di massa $m$, che \`e richiamato dall'asse $\ve z$ da una molla di
costante elastica $k$.

Considera il sistema in assenza della forza di gravit\`a.

\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=fig19.eps}
}
\end{figure}



1) Individua i gradi di libert\`a del sistema e 
scrivi la Lagrangiana e l'Hamiltoniana.


2) Determina simmetrie ed integrali primi, e riduci lo studio 
del moto del sistema ad un problema ad un grado di libert\`a.


3) Studia qualitativamente il moto unidimensionale 
che hai ottenuto, ed in particolare analizza la stabilit\`a delle
soluzioni stazionarie, al variare dei parametri.


4) Risolvi il problema con il metodo di Hamilton-Jacobi
e determina la regione dello spazio delle fasi nella quale il
moto pu\'o essere descritto in variabili azione-angolo.






\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.19}

\subsubsection{TC: Compito di Meccanica del 23.2.1995}
\label{new.20}
\noindent
Si consideri la trasformazione 
$S_{\beta}:\R^2_+\rightarrow \R^2$
\begin{equation}\begin{array}{l} 
Q=-\text{arctan }\left( {2P\over q}\right)\\
P=\beta q^2 +p^2 \end{array}\end{equation}

a) Determinare i valori di $\beta$ per cui $S_{\beta}$
\'e canonica;

b) scrivere per tali valori l'espressione esplicita di 
$S_{\beta}^{-1}$.

\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.20}

\subsubsection{TC}
\label{new.21}

Si consideri la trasformazione 
$S_{\beta}:\R^2_+\rightarrow \R$
\begin{equation}\begin{array}{l} 
Q=-\text{arctan }\left( {2P\over q}\right)\\
P=\beta q^2 +p^2 \end{array}\end{equation}

a) Determinare i valori di $\beta$ per cui $S_{\beta}$
\'e canonica;

b) scrivere per tali valori l'espressione esplicita di 
$S_{\beta}^{-1}$.

\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.21}

\subsubsection{TC,AA,P  Secondo compito di esonero a.a.94.}
\label{new.24}

Si consideri la funzione 
\begin{equation}
H = {1 \over 2}\{(p_{1}- f(q_{1}))^{2} + p_{2}^{2}\}
+g(q_{1}, q_{2}).
\end{equation}

Si dimostri che la trasformazione:
\begin{equation} 
\begin{array}{l}
 p_{1} - f(q_{1}) = P_{1} \\
q_{1} = Q_{1} \\
p_{2} = P_{2} \\
q_{2} = Q_{2} 
\end{array}
\end{equation}
\'e canonica.

(2). Si consideri quindi la seguente Hamiltoniana:
\begin{equation}
\tilde H =  {1 \over 2}\{P_{1}^{2} + P_{2}^{2}\}
+g(Q_{1}, Q_{2}).
\end{equation}
dove
\begin{equation} 
g(Q_{1}, Q_{2}) = {1 \over 2}(Q_{1}^{2} +
\omega^{2}Q_{2}^{2}) + \varepsilon Q_{1}^{2}Q_{2}.
\end{equation} 

Si dimostri che \`e possibile introdurre variabili
azione-angolo, in modo che in queste nuove variabili
l'Hamiltoniana assuma la forma:
\begin{equation}
\tilde H(I_{1},I_{2},\phi_{1},\phi_{2}) = I_{1} +\omega
I_{2} + \varepsilon aI_{1} (I_{2})^{1\over
2}sen^{2}\phi_{1} sen\phi_{2},
\end{equation}
per un opportuno valore della costante $a$.

(3). Si determinino le condizioni su $\omega$, talch\'e
con un cambiamento di variabili
simplettico $(I,\phi)\rightarrow (J,\psi)$, la
Hamiltoniana prenda la forma:
\begin{equation}
H(J,\psi) = J_{1} + \omega J_{2} + O(\varepsilon^{2}).
\end{equation}






\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.24}

\subsubsection{H,HJ,AA,S: II esonero 10/5/'96}
\label{new.25}


Considera l'Hamiltoniana:
\begin{equation}
H=\frac 12 P_x^2+ \frac 12 P_y^2 (1+x^2) +\frac 12 (1+x^2) y^2.\end{equation}


{\bf a)} Risolvi, per 
separazione di variabili, l'equazione di Hamilton Jacobi per $H$.


{\bf b)} Determina la regione dello spazio delle fasi in cui il moto 
pu\'o essere descritto in variabili azione-angolo.


{\bf c)} Calcola esplicitamente l'espressione dell'Hamiltoniana in
termini  delle variabili d'azione, e le frequenze dei moti 
multiperiodici.


{\bf d)} Considera il  moto di dato iniziale 
\begin{equation}\begin{array}{l}
x(0)=0 \\
P_x(0)=a \end{array} \spaz \spaz 
\begin{array}{l} 
y(0)=0 \\
P_y(0)=1, \end{array}\end{equation}
con $a\in \R$; trova i valori di $a$ per cui \`e periodico.


{\bf e)} Trova il periodo del moto per $a=1$.


{\bf f)} Discuti la stabilit\`a della soluzione stazionaria 
\begin{equation}\begin{array}{l}
x(0)=0 \\
P_x(0)=0 \end{array} \spaz \spaz 
\begin{array}{l} 
y(0)=0 \\
P_y(0)=0. \end{array}\end{equation}




\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.25}

\subsubsection{CR,H,HJ,P: Esonero di Meccanica Razionale
del 6-6-90} 
\label{new.26}

Un'asta omogenea di massa $M$ lunga
$L$ ha un estremo fisso in 0. L'altro
estremo \`e vincolato senza
attrito su una circonferenza di raggio
$L/2$ che giace su
un piano orizzontale e il cui centro \`e sulla
verticale sotto 0.  Un punto materiale pesante
P di massa $m$ \`e vincolato senza attriti alla
retta contenente l'asta ed \`e anche soggetto alla
forza elastica $-k0P$, $k > 0$.


\noindent
1) Scrivere l'hamiltoniana del
sistema e individuare due integrali primi del
moto.

\noindent
2) Scrivere le equazioni di Hamilton-Jacobi e
portarne alle quadrature la soluzione.

\noindent
3) Integrare le equazioni di Hamilton-Jacobi
all'ordine zero in $m/M$ e dare
un'interpretazione fisica del risultato.

\noindent 
4) (facoltativo)  Valutare la correzione al
primo ordine in $m/M$, relativamente al punto 3).



\hyperref{Soluzione}{Soluzione nella sezione }{}{solnew.26}




\section{Soluzioni di alcuni compiti di esame} 
\label{solsez.forLH}

\subsubsection{L,S,PO: Compito di Meccanica, febbraio '97}
\label{solnew.1}
\subsubsection{L,S,PO: Primo compito di esonero, a.a. 93-94.}
\label{solnew.2}
La lagrangiana del sistema \`e:
\begin{equation}
L(s,\dot s, \theta, \dot \theta) = {1 \over 2}\{m_{1}a^{2} \dot \theta^{2} + 
m_{2}(s^{2} \dot \theta^{2} + \dot s^{2})\} -g \{m_{1}a+m_{2}s\}\sin \theta 
-{k\over 2}(s-a)^{2}.
\end{equation}
Le soluzioni di equilibrio sono assegnate dagli zeri del sistema:
\begin{equation}\begin{array}{l}
{\partial U \over \partial s} = - m_{2}ga \sin\theta +k(s-a) =Ê0 \cr
{\partial U \over \partial \theta} = -g(m_{1} a + m_{2}s)\cos \theta = 0.\cr
\end{array}
\end{equation}
Esse sono dunque:
\begin{equation}\begin{array}{l}
(\theta_{1},s_{1}, ) = \left( {1 \over 2}\pi, -{gm_{2}aÊ\over k} + a
\right), \cr
(\theta_{2},s_{2}) = \left( {3 \over 2}\pi, {gm_{2}aÊ\over k} + a
\right), \cr
(\theta_{3},s_{3}) =\left( \pi +\arcsin \alpha  ,-{am_{1}\over m_{2}}
\right), \cr
(\theta_{4}, s_{4} ) = \left( -\arcsin\alpha, -{am_{1}\over m_{2}}
\right), \cr
\end{array}
\end{equation}
ricordando che $\alpha = k {m_{1} + m_{2} \over g m_2^2 }.$
Ovviamente, le ultime due soluzioni esistono {\it solo} quando $\alpha \le 1$.

Per studiare la stabilit\`a delle soluzioni studiamo 
la matrice Hessiana di $U$.
Ad essa \`e associata la forma quadratica:
\begin{equation}
H(s,\theta)(u,v) = -ku^{2} -2m_{2}g \cos\theta uv - g(m_{1}a + m_{2}s)v^{2}.
\end{equation}
Calcoliamola nelle varie posizioni di equilibrio.

Si ha:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
H(s_{1},\theta_{1})(u,v) = -ku^{2}  - {g^{2}m_{2}^{2}a(\alpha
-1)Ê\over k}v^{2},\cr  
H(s_{2},\theta_{2})(u,v) = -ku^{2}  -{g^{2}m_{2}^{2}a(\alpha +2)Ê\over
k}v^{2},\cr  
H(s_{3},\theta_{3})(u,v) = -ku^{2}  -2m_{2}g\cos\theta_{3}\,uv,\cr
H(s_{4},\theta_{4})(u,v) = -ku^{2}  -2m_{2}g\cos\theta_{4} \,uv.\cr 
\end{array}
\end{equation}
Dunque finch\'e $\alpha -1 > 0$ (rispettivamente $< 0$), la posizione
$(s_{1},\theta_{1})$ \`e instabile (risp. stabile). La posizione
$(s_{2}\theta_{2})$  \`e sempre  stabile. Quando esistono, cio\'e per $\alpha -1
< 0$, le posizioni $(s_{3},\theta_{3}), (s_{4},\theta_{4})$ sono instabili.

\noindent 
{\it Osservazione}: si osservi la conservazione del numero delle posizioni di
equilibro stabile, al variare di $\alpha$.

Le frequenze delle piccole oscillazioni sono determinate dagli
autovalori immaginari di $ \mu$ diag$\{m_{2}, m_{1}a^{2}
+m_{2}s^{2}_{i}Ê\}-H(s_{i}, \theta_{i})$, dove si sono denotati con $(s_{i},
\theta_{i})$ gli equilibri stabili. Si determinino quindi tali autovalori.


Passiamo alla quarta domanda. Il sistema di Lagrange \`e:
\begin{equation}
\ddot s = \left(\omega^{2} - {k \over m_{2}}\right) s
+ \left({{ka}\over m_{2}} -
g \sin\omega t\right).
\end{equation}
Si tatta di un' equazione lineare con termine forzante dipendente dal tempo.
Possiamo riscriverla come un sistema del primo ordine. Introduciamo le matrici: 
\begin{equation}
u =\left( \matrix
 s \\
  \dot s
\endmatrix \right),
A =  \left( \matrix
O & 1\\
\lambda & 0 \\ \endmatrix \right),  
F(t) = \left( \matrix
0\\
f(t)\endmatrix \right),
\end{equation}
dove $ \lambda = \omega^{2} - {k \over m_{2}}, \,
f(t) = 
\left({{ka}\over m_{2}} - g \sin\omega t\right).$
Si ha la seguente formula risolutiva:
\begin{equation}
u(t) = e^{At}\left( u_{0} + \int_{0}^{t} e^{-As} F(s)\,ds\right).
\end{equation}
Per quanto riguarda la matrice $ e^{At}$ si ha:

\noindent
i) 
\begin{equation}\lambda > 0: e^{At}= 
\left( \matrix {{e^{\sqrt \lambda t}}\over \sqrt \lambda}
&  - {{e^{-\sqrt \lambda t}}\over \sqrt \lambda}\\
e^{\sqrt \lambda t} & e^{-\sqrt \lambda t}\endmatrix \right) 
\end{equation}
ii) 
\begin{equation}\lambda <0:  e^{At} = 
\left( \matrix {\cos \sqrt {\vert \lambda\vert} t\over {\sqrt
{\vert \lambda\vert}}} &  - {\sin \sqrt {\vert \lambda\vert} t\over {\sqrt
{\vert \lambda\vert}}}\\
 \sin \sqrt {\vert \lambda\vert} t & \cos \sqrt {\vert \lambda\vert} t
 \\
\endmatrix \right).
\end{equation}
Il lettore completi i calcoli. 

\subsubsection{CR,L,S Compito di Meccanica Razionale,  6/6/'96, I$^o$
appello, sess. estiva.}
\label{solnew.3}
{\bf 1)}
\begin{equation}
OG=(R-r)\binom {\cos \theta}{\sin \theta}  \spaz \spaz
v_G=(R-r)\dot \theta \binom {-\sin \theta}{\cos \theta} 
\end{equation}
La condizione di puro rotolamento \`e:
\begin{equation}\left( \matrix  0\\ 0\\ \dot \psi
 \endmatrix \right)
\times R \left( \matrix 
\cos \theta \\ \sin \theta \\ 0  \endmatrix \right)=
\left( \matrix  0\\ 0\\ \dot \phi
 \endmatrix \right)
\times r \left( \matrix 
\cos \theta \\ \sin \theta \\ 0  \endmatrix \right)+
(R-r) \dot \theta \left( \matrix 
-\sin  \theta \\ \cos \theta \\ 0  \endmatrix \right)
\end{equation}
cio\'e: $R\dot \psi=r \dot \phi +(R-r) \dot \theta $,
che \`e integrabile:
$R\omega t= r \phi +(R-r) \theta +const.$ .



\noindent
{\bf 2)} Vale: $ \dot \phi = \frac Rr \omega - 
{R-r \over r } \dot \theta$.

\noindent
Energia della circonferenza: $T_{\Cal C}= \frac 12 M_1 \omega^2$.

\noindent
Energia cinetica del disco:
$T_{\Cal D}=\frac 12 (R-r)^2 M\dot \theta^2+\frac 14
Mr^2\left( \frac Rr \omega -{R-r\over r} \dot \theta\right)^2$.

\noindent
Energia potenziale:
$\frac 12 k \left( y^2 +(R-r)^2 -2 y (R-r) \cos \left( \frac \pi 2
-\theta \right) \right) +Mg (R-r) \sin \theta +m g y$.

\noindent
A meno di derivate totali rispetto al tempo, la lagrangiana 
\'e:

\begin{equation}L=\frac 34 M(R-r)^2 \dot \theta^2 +\frac 12 
m\dot y^2 -\frac 12 
\left( y^2 -2y (R-r) \sin \theta \right) -Mg (R-r) \sin \theta
-mgy.\end{equation}

\noindent
{\bf 3)}
Equilibri:
\begin{equation}\begin{array}{l} 
 \de_y V= ky -k(R-r) \sin \theta +m g =0\\
 \de_{\theta} V= (Mg-ky) (R-r) \cos \theta=0,
\end{array}\end{equation}
da cui si ricava: $\cos \theta=0$, oppure $y={Mg \over k}$.
Quindi le soluzioni stazionarie sono:
$(\pm \frac \pi 2, \pm (R-r) -{mg\over k} )$ e, indicato
 $\lambda= {(M+m)g \over (R-r) k}$, se $\lambda<1$:
$(\arcsin \lambda, {Mg\over k})$, 
$(\pi -\arcsin \lambda, {Mg\over k})$.



\noindent
{\bf 4)}
Stabilit\`a: l'hessiano dell'energia potenziale \`e
\begin{equation}H= \left( \matrix k & -k(R-r) \cos \theta \\
 -k(R-r) \cos \theta &  -(R-r) (Mg-ky) \sin \theta 
\endmatrix \right). \end{equation}


\noindent
Per $(\theta, y )=( \frac \pi 2, (R-r) -{mg \over k})$:
\begin{equation}H=\left( \matrix k & O\\ O & -k(R-r)^2(\lambda -1) 
\endmatrix \right) \end{equation}
dunque \`e stabile se $\lambda <1$, instabile se $\lambda>1$.




\noindent
Per $(\theta, y )=( -\frac \pi 2, -(R-r) -{mg \over k})$:
\begin{equation}H=\left( \matrix k & O\\ O & k(R-r)^2 (\lambda +1) 
\endmatrix \right) \end{equation}
dunque \`e stabile per tutti i valori di $\lambda$.






\noindent
Per $\lambda<1$, $y={Mg\over k}$:
\begin{equation}H=\left( \matrix k & -k(R-r)\cos \theta \\ 
 -k(R-r)\cos \theta &  0
\endmatrix \right); \end{equation}
$\text{det}\, H=-k^2 (R-r)^2 \cos^2 \theta<0$, dunque sono entrambe
instabili.


\noindent
Per $\lambda=1$:
$\left( \frac \pi 2,\, { Mg \over k} \right) \equiv
\left( \frac \pi 2,\, (R-r) - { mg \over k} \right)$
che \`e instabile, altrimenti l'energia potenziale avrebbe due 
minimi stretti come unici punti critici.




\noindent
{\bf 4)}
Le Equazioni del moto sono:
\begin{equation}\left\{ \begin{array}{l}
\frac 32 M (R-r) \ddot \theta= -(Mg-ky) \cos \theta \\
m\ddot y =-ky +k (R-r) \sin \theta -mg 
\end{array} \right. \end{equation}
ora $\theta(t)\equiv \pm \frac \pi 2$ risolve identicamente 
la prima equazione; dunque il moto del punto $Q$ \`e dato da:
\begin{equation}m\ddot y =-ky \pm k (R-r) -mg,\end{equation}
che \`e un moto armonico intorno agli equilibri $y=\pm (R-r) -
{mg\over k}$.

\subsubsection{CR,L,S Compito di Meccanica Razionale, sess. estiva 
(Pulvirenti)}
\label{solnew.4}

La condizione di puro rotolamento fornisce per il moto del baricentro:
\begin{equation}
v_{G} = (0, R\dot \phi).
\end{equation}
e quindi, viste le condizioni iniziali:
\begin{equation}
(x_{G}, y_{G}) = (0, R\phi).
\end{equation}
Il punto $P$ ha coordinate:
\begin{equation}
P\equiv (\xi \cos \phi, R\phi + \xi \sin \phi).
\end{equation}
La Lagrangiana del sistema $L = T + U$ \`e:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
L = {1\over 2} \bigl( I_{G} + MR^{2} + m \xi^{2} + m R^{2}\bigr) {\dot
\phi}^{2} + {m\over 2} {\dot \xi}^{2} +\cr 
 + m R\dot \phi\bigl(\dot \xi \sin \phi + \dot \phi \xi
\cos \phi\bigr) \cr
  - (M + m)gR\phi -mg\xi \sin \phi -{k^{2}\over 2}\xi^{2}.\cr
\end{array}
\end{equation}
Le posizioni di equilibrio sono gli zeri del gradiente del potenziale $U$
\begin{equation}\begin{array}{l}
{\partial U\over {\partial \xi}} = -mg\sin \phi - k\xi\cr
 {\partial U\over {\partial \phi}} = 
-mg \xi\cos \phi - (m + M)gRÖ\cr
\end{array}
\end{equation}

Pertanto gli equilibri esistono solo se :
\begin{equation}\beta \equiv {{2k(m + M)R}\over
{m^{2}g}} \le 1
\end{equation} 
e sono: 
\begin{equation}
\begin{array}{l}
(\phi_{1} = {1\over 2}\arcsin\beta, \xi_{1} = -{mg \over k}\sin \phi_{1})\cr 
(\phi_{2} = {\pi\over 2} - {1\over 2}\arcsin\beta, \xi_{2} = -{mg \over k}\sin
\phi_{2})\cr
\end{array}
\end{equation}
Lo Hessiano del potenziale \`e dato da:
\begin{equation}
\matrix
-k & -mg\cos \phi\\
-mg\cos \phi & -{m^2 g^2 \over k} \sin^2 \phi
 \endmatrix
\end{equation}

Dunque la sua  traccia,in entrambe le posizioni di equilibrio,
\'e negativa, cio\'e la somma degli autovalori dello Hessiano \`e negativa.
Il determinante $\Delta$ vale: 
\begin{equation}\Delta = -m^{2}g^{2}\cos 2\phi,\end{equation}
 Quindi, finch\'e $\beta < 1$, $\Delta$ \`e negativo se $\phi = \phi_{1}$ (e
quindi equilibrio instabile), positivo se  $\phi = \phi_{2}$ (e quindi
equilibrio stabile). Per $\beta = 1 $ si ha un caso critico. Infine, alla
quarta domanda si risponde osservando che in questo caso il moto \`e
uniformemente accelerato.     

\subsubsection{CR,L,S Compito sessione estiva a.a. 93-94}
\label{solnew.5}
\subsubsection{CR,L,S,PO: Compito di Meccanica Razionale del 6.10.94}
\label{solnew.6}

La lagrangiana del sistema \`e:
\begin{equation}
 L = {1\over 2}(m\dot y^{2} + I \dot \phi^{2} - b y^{2}) -mgy +aLy
\sin\phi,
\end{equation}
  dove si \`e posto $b=k_{1} + k_{2}.$

\noindent
{\it Equilibri.} Si debbono determinare gli zeri del campo gradiente:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
{\partial LÊ\over \partial y}= -mg -by +aL \sin \phi \cr
 {\partial LÊ\over \partial \phi}= aLy \sin \phi. \cr
\end{array}
\end{equation}
Si hanno le seguenti soluzioni:
\begin{equation} (y = 0, \phi_{1} = \arcsin \alpha),(y=0, \phi_{2} = \pi- \arcsin \alpha),\end{equation}
sse $\alpha \le 1$.Inoltre, si hanno le restanti soluzioni, per ogni valore
di $\alpha$:
 \begin{equation} \phi_{3} ={\pi \over 2}, y_{3} = {aL(1-\alpha) \over b}\end{equation}
\begin{equation} \phi_{4} ={3\pi \over 2}, y_{4} =- {aL(1+\alpha) \over b}\end{equation}.

Stabilit\`a. Calcolato  $H$, lo Hessiano di L rispetto a $(y,\phi)$, si
ha: 
\begin{equation}det H = abLy\sin\phi - a^{2}L^{2}cos^{2}\phi.\end{equation}
La traccia di $H$ \`e:
\begin{equation}TrH = -b-aLy\sin \phi.\end{equation}
Di conseguenza, detti $\lambda_{1},\lambda _{2}$ gli autovalori di $H$,  
negli equilibri $(0,\phi_{1,2})$ si ha:
 \begin{equation}
\lambda_{1}\lambda _{2} =-a^{2}L^{2}cos^{2}\phi <
0, \lambda_{1}+\lambda _{2} = -b <0.\end{equation}
Dunque si hanno due equilibri instabili, per $\alpha < 1.$
In $(\phi_{3}, y_{3})$, si ha:
\begin{equation} \lambda_{1}\lambda _{2} = a^{2}L^{2}(1-\alpha), \lambda_{1}+\lambda
_{2}=-b-{a^{2}L^{2}(1-\alpha)\over b}.\end{equation}
Dunque, l'equilibrio \`e stabile se $\alpha <1$ ,  se $\alpha >1.$
Finalmente, si constata facilmente che  $(\phi_{4}, y_{4})$ \`e sempre
stabile se $\alpha \ne 1.$


\noindent
Consideriamo quindi la lagrangiana quadratica
ottenuta da L, tenendo in conto solo i termini di ordine 2 inclusi,
relativamente all'equilibrio $(\phi_{4}, y_{4})$. Posto 
\begin{equation}(y,\phi) = (\eta,\psi)+ ( y_{4}\phi_{4}),\end{equation}
si ha:
\begin{equation}L_{[2]} = {1\over 2}\left( m\dot \eta^{2} + I \dot \psi^{2} -b \eta^{2} -
{a^{2}L^{2}(1+\alpha)\over b}\psi^{2} \right) .\end{equation}
Il corrispondente sistema Lagrangiano si separa in due
sottosistemi:precisamente i sistemi due oscillatori armonici disaccoppiati,
quello in $\eta$ di frequenza $\omega_{1}^2 ={bÊ\over m}$, quello in $\psi$
di frequenza $\omega_{2}^2 ={a^{2}L^{2}(1+\alpha)^{2}Ê\over I}.$ 


\noindent
Consideriamo l'ultima domanda. Posto $a = 0$ nell'espressione di $L$, il
problema si riduce a due problemi lagrangiani separati, il primo di
Lagrangiana:
 \begin{equation}L_{1} = {1\over 2}(m\dot y^{2}  - b y^{2}) -mgy, \end{equation}
il secondo di lagrangiana
\begin{equation}L_{2} = {1\over 2} I \dot \phi^{2}.\end{equation}
Il primo problema  ha solo moti periodici, e precisamente oscillazioni
lineari attorno all'equilibrio \begin{equation}y = -{mg \over b}.\end{equation}
 Il secondo problema fornisce $ \phi(t) = Kt + \phi(0)$, con $K$ costante
arbitraria. 
\subsubsection{CR,L,S,PO Compito del 20.6.94 (Marchioro)}
\label{solnew.7}
\subsubsection{CR,L,S,PO: Compito del 11.7.94 (Marchioro)}
\label{solnew.8}
\subsubsection{CR,L,S,PO Esonero di Meccanica Razionale del 14-5-90}
\label{solnew.9}
\subsubsection{CR,LS,PO  Esonero di Meccanica Razionale del 14-5-90}
\label{solnew.10}
\subsubsection{L,RU Compito di Meccanica del 23.2.1995}
\label{solnew.11}
\subsubsection{L,RU,N: Primo compito di esonero, a.a.94-95.}
\label{solnew.12}
1)  Il sistema \`e invariante per rotazioni attorno all'asse perpendicolare
al piano $(q_{1}, q_{2}).$ Pertanto si conserva la componente lungo questo
asse del momento angolare:
\begin{equation}
 I = q_{1} \dot q_{2} - q_{2} \dot q_{1}.
\end{equation}
Consideriamo i livelli $I = c, c \ne 0$. Introduciamo le coordinate polari:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
q_{1} = r \cos \phi\cr
q_{2} = r \sin  \phi .\cr
\end{array}
\end{equation}
La Lagrangiana $L$ si riscrive in queste coordinate:
\begin{equation}
L = \dot r^{2} + r^{2} \dot \phi^{2} + r^{2} -r^{6},
\end{equation}
l'integrale primo $I$:
\begin{equation}
I = r^{2} \dot \phi^{2}.
\end{equation}
Il sistema Lagrangiano ristretto sul livello $c$ \`e dato dalla Lagrangiana:
\begin{equation}
L^{(c)} = \dot r^{2}  -{c^{2} \over {2r^{2}}}+ r^{2} -r^{6}.
\end{equation}
La funzione energia potenziale $V(r) =  {c^{2} \over {2r^{2}}}- r^{2} +r^{6}$ 
ha un solo minimo e costituisce una barriera per il punto $r = 0$: per ogni
valore di $E$, $E \ge V(r_{cr}), r_{cr} = \bigl({ {1 +Ê\sqrt {1 +
6c^{2}}}\over 6}\bigr)^{{1\over 4}}$, si hanno due radici $ 0 <r_{1}(E)\le
r_{2}(E)$ dell'equazione $E = V(r).$ Le radici sono distinte se $E \ne
V(r_{cr}.$ Tutti i moti sono quindi limitati e perci\'o periodici. 

\noindent
(2). L'invarianza della retta \`e ovvia, corrisponde a $I = 0.$ Il
sistema di Lagrange corrisponde sulla retta al sistema: 
\begin{equation}
\ddot q_{1} = 2q_{1}\{1 -  q_{1}^{5}\gamma^{2}\},
\end{equation}
$\gamma^{2} = 3{\beta^{2} + \alpha^{2}\over {2\beta^{2}}}.$

Si tratta di un problema Lagrangiano con potenziale:
\begin{equation}
U(q_{1}) =  q_{1}^{2} - q_{1}^{6}\gamma^{2}.
\end{equation}
Il potenziale ha tre punti critici, $q_{1}^{1} = 0, q_{1}^{2} = \sqrt
\gamma, q_{1}^{3} = -\sqrt
\gamma$.

Il punto $ O$ \`e un punto di equilibrio instabile, $ q_{1}^{i}, i =2,
3,$ sono stabili. Si tratta di una doppia buca. Tutte le soluzioni
sono limitate. La separatrice ha equazione:
\begin{equation}
  \dot q_{1}^{2} = 2\{q_{1}^{2} -q_{1}^{6}\gamma^{2} \}
\end{equation}        

\subsubsection{CR,L,RU: Compito di Meccanica Razionale del 26.2.96}
\label{solnew.13}
Siano $(x, y)$ le coordinate del centra del disco $C$, relativamente ad un
sistema piano fisso $K$. Denotiamo con $\psi$ l'angolo che un sistema $k$, di
coordinate $(\chi, \eta)$, origine in $C$, di assi solidali al disco forma col
sistema fisso $K$. Sia poi $\phi$ l'angolo che individua il punto $P$ sul bordo
del disco, e precisamente l'angolo che $CP$ forma con l'asse parallelo
all'asse $x$.

Si ha allora:
\begin{equation}\begin{array}{l}
 x_{P} = x + R\cos \phi\cr
 y_{P} =  y + R \sin\phi.\cr
\end{array}
\end{equation}

La Lagrangiana del sistema \`e:
\begin{equation}
L = {1\over 2}\Big\{I \psi^{2} + (M + m)(\dot x^{2} + \dot y^{2}) - 2mR(\dot
y \sin\phi - \dot x\cos \phi)\dot \phi + mR^{2} \dot \phi^{2} \Big\}.
\end{equation}
Le coordinate $x, y, \psi$ sono cicliche, e pertanto si hanno tre integrali
primi del moto:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
p_{x} = (M +m)\dot x + mR\dot \phi \cos \phi\cr
p_{y} = (M +m)\dot y - mR\dot \phi \sin \phi\cr
p_{\psi} = I \dot \psi.
\end{array}
\end{equation}
Possiamo ottenere il moto del sistema considerando il livello $p_{x} =
C_{1}, p_{y} = C_{2}, \dot \psi = \Omega.$

La lagrangiana ridotta diviene allora banalmente equivalente
alla Lagrangiana assegnata dalla sola eneria cinetica ${1\over 2}m\dot
\phi^{2}$.
In conclusione, il moto del sistema \`e assegnato da:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
 x(t) = {C_{1}t\over (m+M)} + {mR\over (m+ M)}\sin \omega t\cr 
 y(t) = {C_{1}t\over (m+M)} + {mR\over (m+ M)}\cos \omega t\cr
\phi(t) = \omega t + \psi(0)\cr
\psi(t) = \Omega t + \psi(0),\cr
\end{array}
\end{equation}

essendo $(\omega, \Omega) = (\dot \phi(0), \dot \psi(0)).$



Il compito pu\'o essere variato, aggiungendo la considerazione di una forza
agente su $P$, dipendente solo dall'angolo $\psi$. Nella Lagrangiana si ha
allora una  presenza del potenziale $U(\psi)$ che non impedisce la presenza
dei tre integrali primi citati. Il problema si riconduce ad un problema ad un
solo grado di libert\`a.

\subsubsection{CR,L,S,RU Compito sessione estiva a.a. 93-94}
\label{solnew.14}
\subsubsection{L,S,H Secondo appello Meccanica Razionale a.a. 93-94.}
\label{solnew.15}
\subsubsection{L,S,N} 
\label{solnew.16}
{\it Prima domanda}. La simmetria del potenziale si pu\'o meglio rappresentare
utilizzando coordinate cilindriche:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
x = r\cosÊ\theta \cr
y = r\sin \theta\cr
z  = z.
\end{array}
\end{equation}
In tale sistema di coordinate, il gruppo diventa:
\begin{equation}h_{\tau}(r,\theta,z)=
\left( 
\matrix r \\ \theta+\tau\\ z+\alpha \tau
\endmatrix 
\right).\end{equation}
Si ha allora:
\begin{equation}
V(r\cos(\tau + \theta), r\sin (\tau + \theta), z + \alpha \tau)Ê\equiv 
V(r\cos\theta, r\sin \theta, z).
\end{equation}
Deve allora aversi, posto $W(r, \theta, z) := V(r\cos\theta, r\sin \theta, z)$: 
\begin{equation}
ÂW(r, \theta, z) \equiv W(r, \theta +\tau, z + \alpha \tau),
\end{equation}
e perci\'o:
\begin{equation}
{\partial W \over{\partial \theta}} + \alpha{\partial WÊ\over {\partial z}}
\equiv 0.
\end{equation}
Allora si ha:
\begin{equation}
W(r, \theta, z) \equiv W(r, \alpha \theta - z).
\end{equation}
La Lagrangiana \`e:
\begin{equation}
L ={m\over 2}\bigl({\dot r}^{2} + r^{2}{\dot \theta}^{2} + {\dot z}^{2}\bigr)
+ W(r, \alpha \theta - z).
\end{equation}
Il gruppo ad un parametro \`e una rotazione nel piano $(x,y)$ accoppiata ad una 
traslazione lungo l'asse $z$; palesemente \`e un'isometria in $\R^3$ e lascia 
dunque invariata l'energia cinetica.

L'integrale primo di Noether \`e:
\begin{equation}
P = m\bigl(r^{2} \dot \theta + \alpha \dot z\bigr).
\end{equation}
Possiamo adattare ancora le coordinate alla simmetria, introducendo:
\begin{equation}
\phi := \alpha \theta - z.
\end{equation}
La lagrangiana in $r, \,\theta ,\, \phi$ \`e:
\begin{equation}L=\frac m2 \left( \dot r^2 +(r^2 +\alpha ^2) \dot \theta^2
-2\alpha \dot \theta \dot \phi +\phi^2\right) +W(r,\phi).\end{equation}
Con questa scelta di coordinate la variabile $\theta$ \`e ciclica;
per ottenere la Lagrangiana  ridotta procediamo con iil metodo di Routh, 
operiamo, cio\'e, la trasformata di Legendere nella variabile $\dot \theta$:
\begin{equation}P_{\theta}=m(r^2+\alpha^2) \dot \theta-\alpha m \dot \phi, \spaz \spaz
\dot \theta={P_{\theta} +\alpha m \dot \phi \over m (r^2+
\alpha ^2}.\end{equation}
La Lagrangiana cercata \`e $\tilde L(r,\dot r, \phi, \dot \phi)=-R$:
\begin{equation}\tilde L=\frac m2 \dot r^2 +\frac m2 {r^2\over r^2+\alpha^2} \dot \phi^2
+{\alpha P_{\theta} \over  r^2+\alpha^2}\dot \phi-
\left( W(r,\phi)+{P_{\theta}^2 \over 2 m ( r^2+\alpha^2)}
\right).\end{equation}
dove $P_{\theta}$ \`e una costante.
Si \`e dunque eliminata un grado di libert\`a, ottenendo l'energia  potenziale
efficace:
\begin{equation}
V^{(e)}(r, \phi):=  W(r, \phi) + {J^{2}\over
{\alpha^{2} + r^{2}}}.
\end{equation}

Si osservi che la sostituzione dell'integrale primo nell'espressione 
dell'energia totale, d\`a l'energia associata alla lagrangiana $\tilde L$:
\begin{equation}E=\frac m2 \dot r^2 +\frac m2 {r^2\over r^2+\alpha^2} \dot \phi^2
+\left( W(r,\phi)+{P_{\theta}^2 \over 2 m ( r^2+\alpha^2)}
\right),\end{equation}
ma essendo $E$ l'energia di un sistema a {\bf due} gradi di libert\`a, 
{\bf non si pu\'o}
da essa  risalire all'espressione corretta di $\tilde L$, che infatti contiene 
un termine lineare in $\dot \phi$, che non d\`a contributo all'energia.

Per ovviare alla difficolt\`a formale 
data dalla presenza di termini non
diagonali nell'energia cinetica 
(e cio\'e del termine in $\dot \theta \dot \phi$),
si puo' procedere nel modo seguente: detta $\bar \theta=\alpha \theta$,
si vogliono  scegliere $\phi=\bar \theta -z$ e $\gamma$
come nuove variabili, con $\gamma$ da determinare, in modo che 
il termine cinetico ${r^2\over \alpha^2} \dot {\bar \theta}^2+\dot z^2$ resti
diagonale. La scelta giusta \`e $\gamma={1\over {r^2\over \alpha^2}+1}
\left( {r^2\over \alpha^2} \bar \theta +z\right)$ (stiamo procedento in 
analogia all'eliminazione del moto del baricentro nel problema dei due corpi:
${r^2\over \alpha^2}, \, 1$ giocano il ruolo delle masse, 
${r^2\over \alpha^2}+1$ della massa totale e 
${{r^2\over \alpha^2}\over {r^2\over \alpha^2}+1}$ 
della massa ridotta).  Si ottiene:
\begin{equation}L=\frac m2 \left( \dot r^2+{r^2+\alpha^2 \over \alpha^2}\dot \gamma^2+
{r^2\over r^2+\alpha^2} \dot \phi^2\right) -V(r,\phi)\end{equation}.
La lagrangiana ridotta \`e dunque:
\begin{equation}\tilde L=\frac m2 \left( \dot r^2+{r^2\over r^2+\alpha^2} \dot \phi^2\right)
-\left( {r^2+\alpha^2 \over \alpha^2}\dot \gamma^2+ V(r,\phi)\right).\end{equation}



{\it Seconda domanda}.I punti critici dell'energia  potenziale efficace sono dati
dalle soluzioni del sistema:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
{\partial W \over {\partial r}} - {{2rJ^{2}}\over {(\alpha^{2} + r^{2})^{2}}}
= 0\cr
 {\partial W \over {\partial \phi}} = 0.\cr
\end{array}
\end{equation}
Se $(\overline r, \overline \phi)$ \`e una soluzione, allora si ricava un moto
uniforme:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
z(t) = z_{0} - {{\alpha J t}\over {{\overline r}^{2}
+ \alpha^{2}}}\cr
\theta(t) = \theta_{0} + {Jt\over
{\bar r^{2} + \alpha^{2}}}.\cr
\end{array}
\end{equation}

\noindent
{\it Terza domanda}.  
Gli equilibri sono assegnati dalle soluzioni del sistema:
\begin{equation}
\begin{array}{l}
{\partial W \over {\partial r}} - {{2rJ^{2}}\over {(\alpha^{2} + r^{2})^{2}}}
=  -{2\over{r^{3}\cos 2\phi}} - {{2rJ^{2}}\over {(\alpha^{2} + r^{2})^{2}}}= 0
\cr
 {\partial W \over {\partial \phi}} = -2 {{\sin2\phi}\over
{r^{2}\cos^{2}Ê2\phi}} = 0 .\cr 
\end{array}
\end{equation}
Consideriamo solo il caso $\alpha > 0$, lasciando al lettore il completamento
della discussione.  Si hanno soluzioni reali solo se $J^{2} > 1$. Fissiamoci
sul caso $J > 1$. Si ha:
 \begin{equation}
\begin{array}{l}
 \phi_{±} = ±{\pi\over 2},\cr
 \overline r = \sqrt{{\alpha \over {J -1}}}.\cr
\end{array}
\end{equation}
Il lettore completi l'analisi costruendo la matrice Hessiana di $U^{(e)}$, e
computandola negli equilibri.



\subsubsection{L,RU,H,HJ,AA
Compito di Meccanica Razionale, 
9/7/'96, II$^o$ appello, sess. estiva}
\label{solnew.17}




1) La Lagrangiana nelle variabili $\rho$ e $\theta$ \`e:
\begin{equation}L=\frac 12 \dot \rho^2 \left( 1+ \left( 
\frac 1{\rho^2} + \frac 2{\rho^3} \right)^2 \right) 
+ {\rho^2 \dot \theta^2 \over 2} +\frac 1{\rho} + \frac 1{\rho^2}.
\end{equation}


L'Hamiltoniana, negli impulsi $P=P_{\rho}$, $J=P_{\theta}$ \`e:
\begin{equation}H=\frac 12 { P^2 \over  1+ \left( 
\frac 1{\rho^2} + \frac 2{\rho^3} \right)^2 }
+{J^2 \over 2 \rho^2}  -\frac 1{\rho} -\frac 1{\rho^2}.\end{equation}



2) Gli integrali primi sono l'energia e il momento 
$J=\rho^2 \dot \theta$.


3) Il moto si pu\'o ricondurre ad un moto unidimensionale di
energia potenziale efficace
\begin{equation}V_{eff}=\left( \frac {J^2}2-1 \right)\frac 1{\rho^2}
  -\frac 1{\rho},\end{equation}
che \`e limitato dal basso se $J^2 > 2$.

Se  $J^2\le 2$ il tempo di arrivo in $\rho=0$ che corrisponde a
$z=-\infty$, \`e finito, dunque se $E<0$ o se $\dot \rho <0$ 
il moto esplode in tempo finito.

Cosidero dunque solo $J^2 > 2$:
Il moto \`e limitato se  $E < 0$, illimitato
se $E\ge 0$.


4) L'espressione dell' orbita in forma implicita si ricava 
da:
\begin{equation}E=\frac 12 \dot \rho^2 \left( 1+ \left( 
\frac 1{\rho^2} + \frac 2{\rho^3} \right)^2 \right) 
+ 
\left( \frac {J^2}2-1 \right)\frac 1{\rho^2}
+ \frac 1{\rho^2},\end{equation}
\begin{equation}\dot \rho=\dot \theta \de_{\theta} \rho=
{J\over \rho^2} \de_{\theta} \rho.\end{equation}
Dunque l'angolo cercato \`e:
\begin{equation}2 \int_{\rho_{min}}^{+\infty} 
d\rho {J\over \rho^2} \sqrt{
1+\left( 
\frac 1{\rho^2} + \frac 2{\rho^3} \right)^2\over 
2\left(  E-\left( \frac {J^2}2-1 \right)\frac 1{\rho^2}
  +\frac 1{\rho}\right)},\end{equation}
dove $\rho_{min}$ \`e la minima distanza dall'asse 
$z$ che il punto raggiunge.

Tale angolo \`e finito se $E\ge 0$.



5) L'equazione di H-J \`e resolubile per separazione di 
variabili.

6) Il moto \`e descrivibile in variabili azione angolo 
nella regione dello spazio delle fasi 
in cui $J^2  > 2$ e $E<0$.
\subsubsection{CR,L,RU,H,HJ
Compito di Meccanica Razionale, 
 24/9/'96, I$^o$ appello, sess. autunnale}
\label{solnew.18}

{\bf 1)} Siano $(x,y)$ le coordinate di $P$ nel sistema fisso, e 
$(\xi,\eta=a\xi^2)$ nel sistema solidale alla guida. 
\begin{equation}\begin{array}{l}
x=\xi \cos \theta -\eta \sin \theta \\
y=\xi \sin \theta +\eta \cos \theta 
\end{array}\end{equation}.
\begin{equation}\dot x^2+\dot y^2= \dot \xi^2+\dot \eta^2+\dot \theta^2
\, (\xi^2+\eta^2) +2\dot \theta (\xi \dot \eta -\dot \xi \eta), \end{equation}
dove:
\begin{equation}\xi^2+\eta^2= (1+a^2\xi^2)\xi^2; \spaz \dot \xi^2+\dot \eta^2=
 (1+4 a^2\xi^2)\dot \xi^2; \spaz
\xi \dot \eta -\dot \xi \eta=a\xi^2 \dot \xi.\end{equation}
La Lagrangiana \`e:
\begin{equation}L=\frac 12 \left( I+m(1+a^2\xi^2)\xi^2\right) \dot \theta^2+
\frac m2 (1+4 a^2\xi^2)\dot \xi^2+ ma\xi^2 \dot \xi \dot \theta
-\frac k2 (1+a^2\xi^2)\xi^2.\end{equation}
La variabile $\theta$ \`e ciclica, si conserva oltre all'energia 
il momento della quantit\`a di moto:
\begin{equation}J=\de_{\dot \theta} L=\left( I+m(1+a^2\xi^2)\xi^2\right) \dot \theta
+ma \xi^2 \dot \xi.\end{equation}



{\bf 2)} Dall'espressione del momento:
\begin{equation}\dot \theta= {J- ma\xi^2 \dot \xi\over F(\xi)},\end{equation}
dove $F(\xi)=\left( I+m(1+a^2\xi^2)\xi^2\right).$
Sostituendo nell'espressione dell'energia si ottiene:
\begin{equation}\begin{array}{l} 
E=\frac 1{2F} (J-a\xi^2\dot \xi)^2+a\xi^2 \dot \xi +
{(J-a\xi^2\dot \xi)\over F}+\frac m2  (1+4 a^2\xi^2)\dot \xi^2
+\frac k2 (1+a^2\xi^2)\xi^2\\
=
\frac 12 T(\xi) \dot \xi^2 +U_e(\xi),
\end{array}\end{equation}
dove:
\begin{equation}T= m  (1+4 a^2\xi^2)-{a^2 \xi^4\over F(\xi)}; \spaz U_e=\frac k2
(1+a^2\xi^2)\xi^2+{J^2\over F(\xi)}.\end{equation}
$T$ \`e una funzione strettamente positiva, l'energia potenziale 
efficace ha un unico punto critico (stabile) in $0$ se 
$\sqrt{\frac 2k} J\le I$.
Altrimenti $0$ \`e instabile e compaiono i due equilibri stabili
simmetrici $\xi_\pm$, uniche due soluzioni di
\begin{equation}\xi^2 (1+a^2 \xi^2) = \frac 1m \left( \sqrt{\frac 2k} J- I\right)\end{equation}
($\xi^2 (1+a^2 \xi^2)$ \`e una funzione strettamente convessa).





{\bf 3)} Dall'analisi qualitativa, si ottiene che $\xi(t)$ \`e 
sempre periodica se non \`e costante.
Se $J=0$, 
\begin{equation}\dot \theta =-{ ma\xi^2 \dot \xi\over F(\xi)}\end{equation}
\begin{equation}\theta(t)=\theta(0)+A(\xi(t))-A(\xi(0)),\end{equation}
dove $A(\xi)$ \`e la 
primitiva di $-{ ma\xi^2\over F(\xi)}$. Quindi
il moto complessivo \`e periodico dello stesso periodo di 
$\xi(t)$.
 


\subsubsection{CR,L,RU,H,HJ,AA
Compito di Meccanica Razionale, 
8/10/'96, II$^o$ appello, sess. autunnale}
\label{solnew.19}
Indica con $\phi$ l'angolo sul piano $\ve x,\ve y$  che il disco forma
con l'asse delle $\ve x$,  con
$\theta$ l'angolo che $OP$ forma con il piano $\ve x, \ve y$, con 
$I$ e $J$ i momenti di inerzia del disco rispetto all'asse 
$\ve u$ e all'asse $\ve z$ rispettivamente.
Le coordinate cartesiane del punto sono:
\begin{equation}\begin{array}{l} 
x= R\cos \theta\, \cos \phi \\
x= R\cos \theta\, \sin \phi \\
x= R\sin \theta.
\end{array} \end{equation}
Dunque:
\begin{equation}L=\frac 12 (J+mR^2 \cos^2\theta) \dot \phi^2+
\frac 12 ( I+mR^2) \dot \theta^2-\frac 12 k R^2 \cos^2 \theta,\end{equation}
\begin{equation}H=\frac 12 {P_{\phi}^2 \over J+mR^2 \cos^2\theta}+
\frac 12 {P_{\theta}^2\over  I+mR^2} + \frac 12  k R^2 \cos^2 \theta.\end{equation}
Il sistema \`e invariante per rotazioni intorno all'asse
delle $\ve z=$, dunque si conserva l'energia meccanica 
e il momento della quantit\`a di moto rispetto a questo asse:
\begin{equation}P_{\phi}= (J+mR^2 \cos^2\theta) \dot \phi.\end{equation}
Ottieni un problema unidimensionale sostituendo a
$\dot \phi $ la sua espressione  in termini di $P_{\phi}$
nell'espressione dell'energia totale:
\begin{equation}E=\frac 12 ( I+mR^2) \dot \theta^2+V_{eff},\end{equation}
dove 
\begin{equation}V_{eff}=\frac 12 {P_{\phi}^2 \over J+mR^2 \cos^2\theta}+
\frac 12  k R^2 \cos^2 \theta.\end{equation}
Derivando l'energia potenziale nella variabile $\theta$, 
ottieni:
\begin{equation}\de_\theta V_{eff}=\left( -kR^2+
{mR^2 P_{\phi}^2 \over (J+mR^2 \cos^2\theta)^2} \right)
\sin \theta \,\cos \theta.\end{equation}
Il problema e' simmetrico rispetto alle trasformazioni 
$\theta \rightarrow -\theta$, e $\theta \rightarrow \pi -\theta$,
quindi ti limiti a studiarlo tra $[0, \frac \pi2]$.
I valori $0$ e $\frac \pi2$ sono soluzioni stazionarie per tutti i 
valori dei parametri.  Inoltre esiste un'altra soluzione 
se
\begin{equation}0< P_{\phi} \sqrt{m\over k} -J < mR^2.\end{equation}
Graficando l'energia potenziale efficace, ottieni che 
la posione $\theta=\frac \pi2$ \`e stabile fino a che 
$P_{\phi} \sqrt{m\over k} <J$, mentre $\theta=0$ \`e instabile.
Appena si biforca, cio\'e quando $0< P_{\phi} \sqrt{m\over k}>0$, 
 $\theta=\frac \pi2$ diventa instabile; quando la soluzione
intermedia raggiunge $\theta=0$, cio\'e  quando 
$P_{\phi} \sqrt{m\over k} -J > mR^2$, $\theta=0$
diventa stabile.

\subsubsection{TC}
\label{solnew.20}
\subsubsection{TC}
\label{solnew.21}

\subsubsection{TC,AA,P  Secondo compito di esonero a.a.94.}
\label{solnew.24}
Cerca $W=A(q_1, a_1, a_2)+B(q_2, a_1, a_2)$ ($a_1, \, a_2$ sono i nuovi 
impulsi).
L'equazione da risolvere \`e:
\begin{equation}\frac 12 
\left( q_2 (\de_{q_1}A q_1)^2 +\de_{q_2}B \right)^2=a_2.\end{equation}
Stai cercando $B$ in modo che non dipenda da $q_2$, ma solo da $q_1$.
Dall'equazione puoi ricavare:
\begin{equation}\de_{q_2}B=\pm \sqrt{2a_2}-q_2 (\de_{q_1}A q_1)^2,
\end{equation}
per\'o in questa espressione  $\de_{q_2}B$ 
 dipendende da $q_1$, e da $A(q_1)$; 
l'unica possibilit\`a che ho \`e dunque che la combinazione
$\de_{q_1}A q_1$ non dipenda da $q_1$, cio\'e:
$\de_{q_1}A q_1=a_1$, ovvero $A(q_1)=a_1 \log q_1$.
A questo punto posso risolvere anche l'equazione in $B$
infatti  $\de_{q_2}B=\pm \sqrt{2a_2}-q_2 a_1^2$ \`e una funzione
della sola $q_2$ e dei nuovi impulsi.
Riassumendo, ottieni:
\begin{equation}W=a_1 \log q_1 \pm  \sqrt{2a_2}q_2-\frac 12 q_2^2 a_1^2.\end{equation}
La traformazione generata da $W$ \`e:
\begin{equation}\begin{array}{l} 
Q_1= \log q_1 - a_1 q_2^2\\
Q_2= \pm {q_2 \over \sqrt{2 a_2}} \\
p_1={a_1\over q_1} \\
p_2=\pm \sqrt{2 a_2 }-a_1^2 q_2.
\end{array}\end{equation}
Le equazioni del moto per l'hamiltoniana $K(Q_1, Q_2, a_1,a_2)=a_2$
sono:
\begin{equation}\begin{array}{l} 
\dot Q_1=0   \\
\dot a_1=0 \end{array} \spaz\spaz
\spaz
\begin{array}{l} 
\dot Q_2=1   \\
\dot a_2=0. \end{array}\end{equation}
Quindi $Q_1,a_1,a_2$ sono costanti e $Q_2(t)=Q_2(0)+t$.
Tornando alle vecchie variabili
 ottieni:
\begin{equation}\begin{array}{l} 
q_2(t)=\pm \sqrt{2 a_2(0)} (Q_2(0)+t) \\
q_1(t)=e^{Q_1(0)+2 a_1(0) a_2(0) (Q_2(0)+t)^2}\\
p_1=a_1(0) e^{-Q_1(0)-2 a_1(0) a_2(0) (Q_2(0)+t)^2}\\
p_2=\pm \sqrt{2 a_2(0)} (1-a_1^2(0) (Q_2(0)+t)).
\end{array} 
\end{equation}
\noindent
Il segno $\pm$ lo determini a seconda del segno di 
$q_2 (p_1 q_1)^2+p_2=\pm \sqrt{2 a_2}$.

\noindent
Nella soluzione compaiono $Q_1(0), Q_2(0), a_1(0), a_2(0)$  che  determini 
imponendo i dati iniziali.


\subsubsection{H,HJ,AA,S: II esonero 10/5/'96}
\label{solnew.25}
a) Cerca una soluzione dell'equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi
del tipo:
\begin{equation}W(x,y,\alpha,\beta)=A(x)+B(y).\end{equation}
Sostituendo:
\begin{equation}\frac 12 (\de_x A)^2+ \frac 12 (1+x^2) \left(
(\de_y B)^2 + y^2\right)= \alpha.\end{equation}
Ottengo la soluzione ponendo $(\de_y B)^2 + y^2=\beta$:
\begin{equation}\begin{array}{l} 
B(y, \beta)= \pm \int^y dy\sqrt{ \beta -y^2} \\
A(x, \alpha, \beta)= \pm \int^x dx \sqrt{ 2\alpha- \beta -\beta x^2}.
\end{array}\end{equation}


b) La regione dello spazio delle fasi in cui il moto 
\'e multiperiodico \`e data da $\beta>0$, $\alpha > \frac {\beta}2$.

c) Devi calcolare:
\begin{equation}\begin{array}{l} 
I_1= \frac 2\pi \int_0^{\sqrt \beta} dy\sqrt{ \beta -y^2} \\
I_2= \frac 2\pi \int_0^{\sqrt{2\alpha -\beta \over \beta}}
dx \sqrt{ 2\alpha- \beta -\beta x^2}. \end{array}\end{equation}
Ricorda che 
\begin{equation}\frac 2\pi \int_0^{\sqrt{2 h} \over \omega}
dq \sqrt{ 2 h -\omega^2 q^2}=\frac h\omega.\end{equation}
Ottieni:
\begin{equation}I_1=\frac {\beta}2,
\spaz \spaz \spaz 
I_2=\left( 
\alpha-\frac {\beta}2
\right) 
{1 \over \sqrt{\beta} }.\end{equation}
Dunque la nuova Hamiltoniana \`e:
\begin{equation}K=\alpha= \sqrt{ 2I_1} I_2 +I_1.\end{equation} 
Le frequenze:
\begin{equation}\begin{array}{l}
\omega_1={I_2\over  \sqrt{ 2I_1}} +1=\frac 12 +\frac{\alpha}{\beta} \\
\omega_2= \sqrt{ 2I_1}=\sqrt{ \beta}. 
\end{array} \end{equation}

d) Sostituendo il valore del dato iniziale in $\alpha$, $\beta$
ottieni:
\begin{equation}\omega_1=1+\frac {a^2}2,\, \, \omega_2=1\end{equation}
Il moto \`e periodico se e solo se $a^2\in {\mathbb Q}$.

e) per $a=1$, 
${\omega_1 \over \omega_2}=\frac 32$, dunque 
$T=3T_1=2T_2$. 
$T_2=\frac {2\pi}\omega_2=2\pi$, dunque $T=4\pi$.

f) Le equazioni di Hamilton sono
\begin{equation}\begin{array}{l}
\dot x=P_x \\
\dot P_x=-x\left( P_y^2+y^2 \right) \end{array} \spaz \spaz 
\begin{array}{l} 
\dot y=P_y(1+x^2)\\
\dot P_y=- y (1+x^2). \end{array}\end{equation}
Considera il dato iniziale:

\begin{equation}\begin{array}{l}
x(0)=0 \\
P_x(0)=\eps \end{array} \spaz \spaz 
\begin{array}{l} 
y(0)=0 \\
P_y(0)=0, \end{array}\end{equation}
che \`e una piccola perturbazione della posizione stazionaria.
La soluzione delle equazioni di Hamilton \`e:
\begin{equation}\begin{array}{l}
x(t)=-t \eps \\
P_x(t)=\eps \end{array} \spaz \spaz 
\begin{array}{l} 
y(t)=0 \\
P_y(t)=0. \end{array}\end{equation}
Dunque la posizione di equilibio \`e instabile.
\subsubsection{CR,H,HJ,P: Esonero di Meccanica Razionale
del 6-6-90} 
\label{solnew.26}






\end{document}

