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\begin{document}





\footnotesize
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\title{Esercizi di Meccanica Razionale}
\author{AA 1999-2000, corsi Marchioro, Negrini, esercitatore D. Benedetto}
\maketitle
\tableofcontents
\vskip15pt



Nella prima parte (sezioni \ref{sez.unidim}, \ref{sez.lineare},
\ref{sez.forzsmorz}, \ref{sez.altro} )
ci sono esercizi sui moti unidimensionali.

\vskip10pt
\noindent
Ho indicato con:
\begin{itemize}
\item[*] gli esercizi non del tutto standard;
\item[**] esercizi pi\`u difficili e non necessariamente utili;
\item[***] gli esercizi pi\`u difficili e non necessariamente utili;
\end{itemize}
gli esercizi senza asterisco sono assolutamente standard.
\vskip15pt

\vskip10pt
\noindent
I richiami alla bibliografia non sono ovviamente completi:
non sono citati tutti i testi, n\'e i testi in bibliografia sono 
citati tutte le volte che potrebbe essere utile.
Me ne scuso con gli studenti e con gli autori. 

\vskip10pt
\noindent
{\bf Questa versione non \`e definitiva. Possono esserci errori,
anche gravi. La versione pi\`u recente, e presumibilmente pi\`u corretta,
\`e sul sito http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/meccanica}


\vfill\vfill\eject

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\section{Moti unidimensionali}
\subsection{Esercizi sui moti unidimensionali}
\label{sez.unidim}
Sono trattati in tutti i libri di meccanica. Un'esposizione molto chiara
\`e sull'Olivieri \cite{olivieri}.
\subsubsection{}
\label{es1}
Calcola il periodo delle oscillazioni del moto unidimensionale di 
energia potenziale $V(x)=|x|^{\alpha}$, per $\alpha \ge 2$, in 
funzione dell'energia (vedi Landau \cite{landau}).

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es1}



\subsubsection{}
\label{es2}
Considera il moto unidimensionale $\ddot x = x$. Trova il moto 
con dato iniziale $(x_0,\,\dot x_0)= (1,-1)$. In quanto tempo 
la traiettoria arriva in $x=0$?

Trova tutti i dati iniziali tali che $\lim_{t\to +\infty}x(t) = 0$.

Trova tutti i dati iniziali tali che $\lim_{t\to +\infty}\dot x(t) = 0$.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es2}

\subsubsection{La doppia buca di potenziale}
\label{db}
Considera il moto di un punto materiale di 
massa $1$  nella ``doppia buca di potenziale''
$\ddot x = x - x^3$. 

Disegna le orbite nello spazio delle fasi.


Discuti la stabilit\`a delle posizioni di equilibrio.


Determina il numero delle orbite ad energia $E$, al variare di $E$.


Considera il dato iniziale $(x_0,\dot x_0)=(-1,v)$; 
per quali valori di $v\in \R$ il punto materiale raggiunge la posizione
$1$?





Con che velocit\`a ci arriva?


Per $E=0$ il moto avviene sulla ``separatrice''. Con che angolo 
la separatrice interseca gli assi?

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:db}

\subsubsection{La doppia buca parte II}
\label{db2}
Considera il moto di un punto materiale di 
massa $1$ di energia potenziale
$V(x) = \frac {x^4}4 + \alpha \frac {x^2}2$,
con $\alpha \in \R$.

Discuti qualitativamente il moto al variare di $\alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio 
e la loro stabilit\`a al variare di $\alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio 
al variare di $\alpha$.



\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:db2}
\subsubsection{}
\label{es.3bis}
Considera il moto di un punto materiale di massa $1$
di energia potenziale 
$V(x)= x^3 + \alpha x$,
con $\alpha \in \R$. 

Discuti qualitativamente il moto al variare di $\alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio 
e la loro stabilit\`a al variare di $\alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio 
al variare di $\alpha$.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es.3bis}

\subsubsection{Variante della doppia buca}
\label{db3}
Considera il moto di un punto materiale di massa $1$, soggetto ad una 
forza 
di energia potenziale 
$V(x)= \frac {x^6}6 - \frac {\alpha}2 (x^4 -x^2)$,
con $\alpha \in \R$. 

Discuti qualitativamente il moto al variare di $\alpha$

In paricolare determina le posizioni di equilibrio 
e la loro stabilit\`a al variare di $\alpha$.

Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio 
al variare di $\alpha$.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:db3}

\subsubsection{Il pendolo su un piano ruotante}
\label{es.param1}
Considera il moto
$$mR^2 \ddot \theta = -Rmg \sin \theta + mR^2\Omega^2 
\sin \theta \, \cos \theta,$$
dove $\theta $ \`e un angolo, $m>0$ la massa, $R>0$ una lunghezza,
$g\ge 0$ un'accelerazione e $\Omega\ge 0$ una frequenza.
Questa equazione descrive un pendolo, cio\`e un punto 
materiale di  massa
$m$ su un estremo di un'asta  di lunghezza $R$ 
con l'altro estremo fissato, soggetta alla forza 
di gravit\`a,  su di un piano 
verticale che ruota con velocit\`a costante di frequenza $\Omega$.
L'angolo $\theta$ \`e misurato dala verticale. Quando $\theta=0$
il punto materiale si trova nella posizione di minima altezza.

Discuti qualitativamente il moto.
In particolare studia l'esistenza e la stabilit\`a delle 
posizioni di equilibrio 
al variare del parametro $\lambda = \frac g{R\Omega^2}$.
Che dimensioni fisiche ha $\lambda$?
Disegna il grafico delle posizioni di equilibrio al 
variare di $\lambda$.
(Vedi Dell'Antonio \cite{dellantonio2}).

\noindent
Considera il dato iniziale 
$(\theta_0,\, \dot \theta_0)= (-\frac {\pi}2,\,0)$.

Prova che il moto \`e periodico e scrivi il periodo dell'orbita.

In quanto tempo il pendolo arriva in $\theta= \frac {\pi}2$?

Con che $\dot \theta$ ci arriva?

Quanto vale $\dot \theta$ quando il pendolo passa per $\theta=0$?

Quant'\`e il valore massimo che $\dot \theta$ assume?

Per quali istanti di tempo $\dot \theta$ raggiunge il massimo?

Quanto vale $\theta$ quando $\dot \theta$ \`e massimo?

\noindent 
Considera il dato iniziale 
$(\theta_0,\, \dot \theta_0)= (-\frac {\pi}2,\,\omega)$,
con $\omega >0$.

Per quali valori di $\omega$ il pendolo ha un moto periodico?

Esprimi per tali valori il periodo del moto.

Determina l'andamento asintotico del periodo per 
$\omega \to +\infty$.


\noindent
La componente verticale della reazione vincolare \`e:
$$\text{Reazione} = mg + mR ({\dot \theta}^2 \cos \theta +  
\ddot \theta \sin \theta).$$
(Perch\'e ?)
Determina il suo andamento asintotico per $\omega \to +\infty$,
quando il pendolo \`e in $\theta = 0,\,\frac {\pi}2,\, \pi$.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es.param1}
\subsubsection{}
\label{es.param2}
Considera il moto di un punto materiale di massa $m$,
di energia potenziale
$$V(x)=-\frac 12 m\Omega^2 x^2 -mgl \left( 1 
+\cos \left(\frac xl \right) \right) 
\fcr\left( \left| \frac xl \right| \le \pi 
\right),$$
dove $l>0, \,g\ge 0$ hanno, rispettivamente, 
le dimensioni di una lunghezza e di una accelerazione, e
$\Omega\ge 0$ ha le dimensioni di una frequenza.
Nota che gli aspetti qualitativi del moto 
dipendono dai parametri fisici $l,\,g,\,\Omega$ attraverso
un unico parametro adimensionale.
Discuti qualitativamente il moto, in particolare
l'esistenza delle posizioni di equilibrio e la loro stabilit\`a.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es.param2}
\subsubsection{}
\label{es.param3}
Considera il moto di un punto materiale di massa $m$,
di energia potenziale
$$V(x)=\frac 12 k x^2 +mgl \left( 1 
+\cos \left(\frac xl \right) 
\right) \fcr\left( \left| \frac xl \right| \le \pi 
\right),$$
dove $l>0, \,g\ge 0,\, k\ge 0$,  hanno, rispettivamente, 
le dimensioni di una lunghezza, di una accelerazione e di 
una costante di elasticit\`a.
Nota che gli aspetti qualitativi del moto 
dipendono dai parametri fisici $m,\,l,\,g,\,k$ attraverso
un unico parametro adimensionale.
Discuti qualitativamente il moto, in particolare
l'esistenza delle posizioni di equilibrio e la loro stabilit\`a.


\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es.param3}
\subsubsection{}
\label{es4}
Un punto materiale di massa $1$ si muove su una retta sotto l'azione
di una forza di energia potenziale $V(x)=-x^3+x^2$.
Considera i dati iniziali di energia totale $E=\frac 18$, e sia 
$\dot x_0=\frac 12$. Determina i valori di $x(0)$ per i quali il moto \`e 
periodico e dai un'espressione del periodo.
\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es4}
\subsubsection{}
\label{es5}
Un punto materiale di massa $1$ si muove su una retta sotto l'azione
di una forza di energia potenziale $V(x)=\sqrt{x^2+1}+ax^2$, 
con $a\in \R$.

Per quali valori di $a$ tutte le orbite sono limitate?

Per quali valori di $a$ l'origine \`e stabile?

\hyperref{Risposta}{Vedi sezione}{}{sol:es5}
\subsubsection{*}
\label{es6}
Un punto materiale di massa $1$, su una retta,  inizialmente 
in $x=0$ con velocit\`a $\dot x = 1$, 
si muove sotto l'azione
di una forza di energia potenziale $V(x)=-\sqrt{x^2+1}$.

Prova che il moto \`e illimitato.

Prova che esiste un'accelerazione asintotica
(cio\`e $\lim_{t\to +\infty} \ddot x $ \`e finito)

Prova che asintoticamente nel tempo il moto tende 
ad un moto uniformemente accelerato.
In altri termini esistono $\tilde x$, $\tilde v$, e $a$ 
tali che 
$\lim_{t\to \infty} |\dot x(t)-(\tilde v + t a)|=0$
e
$\lim_{t\to \infty} |x(t)-(\tilde x+t\tilde v + \frac {t^2}2 a)|=0$.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es6}
\subsubsection{}
\label{es7}
Un punto materiale di massa $1$ si muove sulla semiretta $x>0$ 
soggetto ad una forza di energia potenziale $V(x)= -\frac 1x +\frac 1{2x^2}$.

 Per quali dati iniziali il moto \`e periodico?

 Per quali dati iniziali il moto non \`e periodico?

 Per quali dati iniziali il moto \`e illimitato?

 Quali solo le soluzioni stazionarie?

 Sia $x_0=\frac 12$ e $\dot x_0= 1$. Determina
$\lim_{t\to +\infty} \dot x(t)$.

 Sia $x_0=\frac 12$ e $\dot x_0= -1$.
Qual \`e il massimo della velocit\`a che il punto raggiuge?
E qual \`e il minima?

\hyperref{Risposta}{Vedi sezione}{}{sol:es7}
\subsubsection{*}
\label{es8}
Sia $V(x)=1+\cos x $ per $|x|\le \pi$, e $V(x)=0$ per
$|x|\ge \pi$.


Discuti qualitativamente il moto.

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale 
$V_{\eps}(x)= V(\frac x\eps)$ con
$\eps >0$; cosa accade nel limite $\eps \to 0$?

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale 
$V_{\eps}(x)= \frac 1\eps V(\frac x\eps)$ con
$\eps >0$; cosa accade nel limite $\eps \to 0$?

Qual \`e il moto di una particella che rimbalza 
contro un ``muro infinitamente rigido''?

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es8}
\subsubsection{*}
\label{es9}
Sia $V(x)=-(1+\cos x) $ per $|x|\le \pi$, e $V(x)=0$ per
$|x|\ge \pi$.

Discuti qualitativamente il moto.

Discuti qualitativamente il moto per il potenziale 
$V_{\eps}(x)= \frac 1\eps V(\frac x\eps)$ con
$\eps >0$, per dati iniziali di 
energia totale positiva. Cosa accade nel limite $\eps \to 0$?


\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es9}
\subsubsection{}
\label{es10}
Sia $V(x)=|x|$.
Discuti qualitativamente il moto.
Quant'\`e la forza in $x=0$?
Sia $V(x)=-|x|$. Trova il moto di dato iniziale  
$(x_0,\,\dot x_0)=(-1,v)$ al variare di $v>0$.
Considera ora $V(x)=-\sqrt{a^2+x^2}+a$, con $a>0$.
Determina il moto di dato iniziale $(x_0,\,\dot x_0)=(-1,v)$ 
al variare di $v>0$, e il limite di tale moto per $a\to 0$.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es10}

\subsubsection{*}
\label{es11}

Sia $V(x)=-|x|^{\alpha}$ con $\alpha >0$. Considera
il dato iniziale $(x_0,\,\dot x_0)=(1,\,0)$.
In quanto tempo il punto materiale raggiunge $+\infty$?
Per quanto tempo il moto esiste?

Sia $V(x)\ge M$ per ogni $x$ reale. Prova che 
$|x(t)|\le c_1 + c_2 t$, per $c_1,\, c_2$ costanti opportune
che dipendono dal dato iniziale.
Prova che il moto esiste per tutti i tempi.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es11}

\subsubsection{}
\label{es12}
Sia $V(x)=x+\alpha \sin x$, con $\alpha > 0$.
Discuti qualitativamente il moto al variare di $\alpha$.
In particolare trova gli $\alpha$ per cui esistono 
soluzioni stazionarie e discutine la stabilit\`a.
Determina per quali $\alpha$ esistono orbite 
periodiche.

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es12}
\subsubsection{*}
\label{es13}
Sia $V(x)=\sin(x)+\sin(\alpha x)$, con
$0<\alpha<1$, e $(x_0,\,\dot x_0)=(0,2)$.
Determina $\lim_{t\to \infty} x(t)$ al variare di  $\alpha$.
(Suggerimento:  
\hyperref{vedi l'esercizio sul ritorno}{ vedi l'esercizio sul ritorno }{}{ritorno})

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es13}
\subsubsection{}
\label{es14}
Sia $V(x)=(1+\cos(x))\sin\left(\frac x\eps\right)$, e 
$(x_0,\,\dot x_0)=(0,2)$.
Per quali valori di $\eps$ il moto \`e illimitato?
\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es14}
\subsubsection{**}
\label{es15}
Sia $V(x)=2\sin\left( \frac x\eps \right)$, $x_0=0$ e 
$\dot x_0 > 2$.
Determina il tempo necessario per raggiungere $x=1$, nel limite 
$\eps \to 0$.
\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es15}
\subsubsection{***}
\label{es16}
Sia $V(x)=(1+\cos(x))\sin\left(\frac x\eps\right)$, e 
$(x_0,\,\dot x_0)=(-\pi,2)$.
Indica con $t_{\eps }$ il tempo necessario per raggiungere 
$x=\pi$.
Prova che $\lim_{\eps \to 0} t_\eps$ \`e finito.
Sia $t_{\eps}(x)$ il tempo necessario per raggiungere 
$x> \pi$.
Prova che $\frac {t_{\eps}(x)}x>c$ per ogni $\eps $ ed ogni $x>\pi$

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:es16}
\subsubsection{Domande brevi}
\label{1_dom}
\noindent
\begin{enumerate}[a)]
\item 
In generale un'orbita periodica \`e descritta da 
un'ellisse nello spazio delle fasi?
\item Sia $V(x)= x + \frac 12 \sin x $. Quant'\`e $\lim_{t\to +\infty} x(t)$?
Il moto \`e uniformemente accelerato?
\item Come \`e la parte reale degli autovalori 
di un sistema conservativo linearizzato intorno ad una posizione di equilibrio
stabile?
\item Discuti la stabilit\`a dell'origine per le 
seguenti equazioni differenziali:
\begin{enumerate}[1. ]
\item $\ddot x = x + \dot x$
\item $\ddot x = x - \dot x$
\item $\ddot x = -x + \dot x$
\item $\ddot x = -x - \dot x$
\end{enumerate}
Quale di esse descrive 
un oscillatore armonico con attrito a tempo invertito?
E quale il linearizzato di un pendolo capovolto 
con attrito?
\item Per quali dei seguenti moti unidimensionali 
l'energia meccanica \`e conservata?
\begin{enumerate}[1. ]
\item $\ddot x = e^{\sin x^2}$
\item $\ddot x = \cos x$
\item $\ddot x = \sin x + t^2$
\item $\ddot x = \sin x + 1$
\item $\ddot x = x + t $
\item $\ddot x = xt$
\item $\ddot x = x + \dot x$
\item $\ddot x + \dot x +\sin x= 0$
\item $\ddot x = \dot x$
\item $\ddot x = \arccos(x-3t)$
\end{enumerate}
In due degli esempi precedenti, anche se l'energia meccanica
non si conserva, c'\`e un integrale primo del moto,
dipendente dal tempo, che ne permette
l'analisi qualitativa. Quali sono? Qual \`e l'interpretazione 
fisica di tali integrali primi? (vedi l'inizio dell'esercizio 
\ref{adiab1}).

 
\end{enumerate}
\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:1_dom}
\subsection{Equazioni lineari}
\label{sez.lineare}
Nei testi di analisi matematica l'aspetto qualitativo 
\`e tipicamente sottorappresentato.
Vedi invece i testi di Arnold 
\cite{arnold1,arnold2} e in generale i libri di Meccanica.
\subsubsection{}
\label{lin.0}
Linearizza l'equazione del pendolo
$$\ddot \phi = - \omega_0^2 \sin \phi$$
intorno a {\it tutte} le posizioni di equilibrio.


\subsubsection{}
\label{lin.1}
Descrivi le traiettorie nello spazio delle fasi di
$$\dot \ve z = A \ve z,$$
per 
$$A=\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & \lambda \end{matrix} \right),
\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & \lambda \end{matrix} \right),
\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & \lambda \end{matrix} \right),
\left( \begin{matrix} 0 & -1 \\ -1 & \lambda \end{matrix} \right),
$$
al variare di $\lambda \in \R$ (anche negativo).
\subsubsection{}
\label{lin.2}
Che relazione devono verificare la matrice $A$ e il vettore 
$\ve w$ affinch\'e  
il sistema
$$\dot \ve z = A \ve z + \cos(t) \ve w$$
ammetta una soluzione periodica di periodo $t$?
(Suggerimento: cerca soluzioni del tipo $\sin(t) \ve a + \cos(t) \ve b$).

\subsubsection{*}
\label{lin.3}
Considera il sistema lineare
$$\dot \ve z = A \ve z,$$
con dato iniziale $\ve z(0)=\ve z_0$.
Prova che la soluzione \`e lineare nel dato iniziale.
Questo implica che esiste una matrice $U(t)$ tale che
$\ve z(t)=U(t)\ve z_0$.
Prova che la matrice $U(t)$ pu\`o essere ottenuta
come somma della serie di matrici:
$$U(t)= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac {t^n A^n}{n!}.$$
Per questo motivo $U(t)$ si indica spesso con $e^{At}$.
(Suggerimento: lo spazio delle matrici con la norma
$\|A\|=\max_{|v|=1} |A(v)|$ \`e completo e vale
$\|AB\|\le \|A\|\, \|B\|$. La serie \`e una serie di potenze
in $t$ quindi ha un raggio di convergenza, determinalo e deriva
termine a termine).






\subsection{Moti forzati e smorzati}
\label{sez.forzsmorz}
Per le oscillazioni forzate e smorzate mi vengono in mente due testi:
il Landau \cite{landau} e il Gallavotti \cite{gallavotti}.

\subsubsection{}
\label{2.es.1}
Risolvi il moto
$\ddot x = -\lambda \dot x + (1+\cos (\omega t))$.
Esistono soluzioni stazionarie? Esistono moti periodici?
Esiste $\lim_{t\to +\infty}x(t)$?

\subsubsection{}
\label{2.es.a1}
Risolvi 
$$\ddot x = -x -2\lambda \dot x+\sin(t) + \cos(2t),$$
con dato iniziale $(0,0)$, per $\lambda = 0$ e 
$\lambda = \frac 45$.

\subsubsection{*}
\label{2.es.fourier}
Sia $f(t)$ una funzione periodica di periodo $T= \frac {2\pi}\omega$.
Assumi che sia almeno di classe $\ve C^2$ (derivabile due volte
con derivata seconda continua e limitata).

La funzione  $f$ pu\`o essere sviluppata in serie di Fourier:
$$f(t)= \sum_{k\in \Z} c_k e^{i\omega k t},$$
dove $c_k = 
\frac 1T \int_0^T dt e^{-i\omega k t } f(t)\,dt.$ 
Ricorda che $c_{-k}= \bar c_k$,  per la realt\`a di $f$, e
$|c_k|\le \frac {C}{k^2}$ per $k\neq 0$ (per l'ipotesi $\ve C^2$).

Trova per serie una soluzione particolare di 
$$\ddot x = -x -2\lambda \dot x +f(t),$$
per $\lambda = 0 $ e $\lambda = \frac 45$, al variare di 
$\omega$.
Che condizioni devi imporre su $c_k$ e $\omega$ affinch\'e il moto 
sia limitato?





\subsubsection{*}
\label{2.es.2}
Considera l'oscillatore armonico forzato
$$\ddot x = -\omega_0^2 x + \cos(\omega t).$$

Per quali valori di $\omega$ esistono moti periodici?

Prova che tutti i moti sono periodici se e solo 
se $\frac {\omega_1}\omega$ \`e razionale e diverso da $1$.

Prova che se $\frac {\omega_1}\omega$ \`e irrazionale,
il moto nello spazio delle fasi riempie densamente 
una regione. Che regione \`e? (Suggerimento:
vedi l'esercizio \ref{ritorno})



\subsubsection{*}
\label{2.es.3}
Considera il moto
$\ddot x = - x + \fcr\{0\le x \le 1\} \fcr\{\dot x \ge 0 \}$.

L'energia meccanica si conserva?

Considera il dato iniziale 
$(x_0,\, \dot x_0) = (0,0)$. Risolvi esplicitamente il moto 
fino al primo tempo di ritorno del punto materiale in $x=0$ 
con velocit\`a positiva.

Come avviene il moto fino al secondo ritorno?

E dopo?


Sia $t_k$ il tempo in cui il punto materiale ritorna in $x=0$ 
con velocit\`a positiva.
Trova $\lim_{k\to +\infty} (t_{k}-t_{k-1})$.

\noindent
(Vedi la parte sullo ``scappamento ad ancora'' sul
Gallavotti \cite{gallavotti} )

\subsection{Alcuni esercizi chiave}
\label{sez.altro}
\subsubsection{La doppia buca con attrito}
\label{3.es.1}
Considera il moto
$\ddot x = x - x^3 -\lambda \dot x $ (moto nella doppia buca
di potenziale con attrito).
Le posizioni di equilibrio sono $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=0$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Prova che $x_{1,2}$ sono posizioni di equilibrio stabili, 
e $x_3$ \`e instabile. 
\item Prova che per qualunque dato iniziale 
la traiettoria converge ad una delle posizioni di equilibrio.
\item Chiediti se  esistono traiettorie non stazionarie che tendono 
a $x_3$.
\item Determina  qualitativamente la regione dello spazio delle
fasi che \`e attratta da $x_1$ e quella attratta da $x_2$
(Suggerimento: disegna nello spazio delle fasi
le orbite del sistema senza attrito e  i moti del sistema 
con attrito
che tendono alla posizione di equilibrio $x_2$.
\end{enumerate}

\hyperref{Soluzione}{Vedi sezione}{}{sol:3.es.1}



\subsubsection{Il `ritorno' parte I}
\label{ritorno}
Considera una pulce su una circonferenza, che al tempo iniziale sia
nel punto di angolo al centro $\phi=0$.
Ad ogni secondo la pulce f\`a un salto di un angolo $\alpha$.
Sia $\phi_k$, con $0\le \phi_k<2\pi$, la posizione della 
pulce al secondo $k$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Prova che se $\frac \alpha\pi$\`e razionale 
il moto della pulce \`e periodico, cio\`e esiste $k$ tale che
$\phi_k=0$
\item Prova che se $\frac \alpha\pi$ \`e irrazionale  la pulce non 
torna mai in $\phi=0$.
\item Sempre nel caso  $\frac \alpha\pi\notin \Q$, prova
che esiste una successione crescente di interi $n_k$ tale che
$\lim_{k\to +\infty} \phi_{n_k}=0$.
\item Sempre nel caso  $\frac \alpha\pi\notin \Q$, prova che per 
ogni $\phi$ esiste una successione crescente di interi $n_k$ tale che
$\lim_{k\to +\infty} \phi_{n_k}=\phi$ (in altre parole 
il moto \`e `denso` sulla circonferenza, o anche 
l'$\omega-$limite del moto \`e tutta la circonferenza.
\end{enumerate}
(Vedi Arnold \cite{arnold2})
\subsubsection{Il `ritorno' parte II}
Considera il seguente moto delle variabili periodiche 
$\phi_1(t)$ e $\phi_2(t)$ ( sono angoli tra $0$ e $2\pi$, 
cio\`e $(\phi_1,\phi_2)$ descrivono un toro bidimensionale):
$$\phi_1(t) = \omega_1 t $$
$$\phi_2(t) = \omega_2 t.$$
Il moto in ognuna delle variabili $\phi_i$ \`e periodico 
di periodo $T_i={\frac {2\pi}{\omega_i}}$.
Prova che  il moto complessivo \`e 
periodico se e solo se $\frac {\omega_1}{\omega_2}$ \`e razionale.
Prova che nel caso non periodico il moto \`e denso sul toro.
(Vedi Arnold \cite{arnold2})
\subsubsection{**}
\label{arnold}
Tratto dall'Arnold di Eq. Diff. \cite{arnold2}

\noindent
Considera la successione formata dalle prima cifra dell'espressione
decimale di $2^n$:
$$\begin{matrix}
2^0=1& \to & 1 \\
2^1=2& \to & 2 \\
2^2=4& \to & 4 \\
2^3=8& \to & 8 \\
2^4=16& \to & 1 \\
2^5=32& \to & 3 \\
2^6=64& \to & 6 \\
& \dots &
\end{matrix}$$

Compare il $7$ nella successione?

Compare pi\`u frequentemente il $6$ o l' $8$?

Pi\`u in generale $2^n$ pu\`o iniziare con una sequenza 
arbitraria di cifre?



\subsubsection{Un esempio di invariante adiabatico}
\label{adiab1}

Come si muove un punto materiale soggetto ad una forza di
energia potenziale
$V(x,t)=V(x-ct)$ con $c$ costante?

Come si muove un punto materiale in presenza
di una parete infinitamente rigida che si muove 
con velocit\`a costante $c$?

Un punto materiale di massa $m$ si muove 
tra due pareti infinitamente rigide, la prima fissa
in $x=0$ e la seconda in $x=z(t)=z_0-\eps t$, con $\eps>0$.
All'istante iniziale il punto \`e in $x=0$ 
con velocit\`a $v$. Determina, nel  $\lim_{\eps\to 0}$, il
modulo della
velocit\`a del punto nell'istante in cui la barriera mobile
\`e arrivata in $x=\frac 12$.

Prova pi\`u in generale 
che $\lim_{\eps \to 0} |v\left(\frac t\eps \right) 
z\left( \frac t\eps \right)|=vz_0$. 

\noindent
Suggerimento: supponi che al tempo $t_0$ la barriera mobile
sia in $a$ e la particella sia in $0$ con velocit\`a $v$.
Calcola il tempo $t_1$ di ritorno della particella in $0$,
la velocit\`a che ha la particella e la posizione della 
barriera mobile.
Nota che il prodotto della velocit\`a per la posizione della 
barriera al tempo $t_1$ \`e identico al prodotto al tempo $t_0$.
Estendi ricorsivamente per i ritorni successivi, e determina
la successione dei tempi di urto con la parete fissa...


{\noindent}
{\bf Osservazione}

Fisicamente $m|v(t)z(t)|$ ha le dimensioni di una energia per il tempo
(ha le dimensioni dell'azione). Per $z$ costante, l'azione
\`e proporzionale all'area racchiusa dall'orbita nello spazio
delle fasi (che in questo caso \`e un rettangolo!).

\`E ovvio che $\lim_{\eps \to 0} |v(t)z(t)|= v_0z_0$, 
infatti per $\eps = 0$ la barriera \`e ferma. Questo limite
non \`e uniforme in $t$.
Dall'esercizio puoi notare che ad un tempo dell'ordine di 
$\frac 1\eps$ la variazione di $|V(t)z(t)|$ rispetto a
$v_0z_0$ \`e di ordine $\eps$.

Cio\`e l'azione \`e praticamente invariante,
rispetto a variazioni 
lente (adiabatiche) dei parametri fisici che governano il moto.

Per maggiori dettagli 
vedi l'Arnold \cite{arnold1} e il Landau \cite{landau}.

\subsubsection{La buca variabile rivisitata}
\label{adiab2}
(Autore E. Caglioti)

\noindent
L'esercizio precedente ha una interpretazione 
termodinamica. 


\`E facile identificare l'energia interna:
$U=\frac 12 v^2$. \`E anche facile identificare il `volume':
sar\`a $V=z$. La pressione \`e fisicamente la forza esercitata 
sull'unit\`a di superficie che racchiude il mezzo.
D'altra parte in questo caso la superficie \`e un punto 
($x=0$ oppure $x=z$). Se un punto materiale subisce in un certo tempo 
$\delta t$ una variazione di impulso $\delta (mv)$, la forza
che \`e stata esercitata su di esso \`e $\frac {\delta (mv)}{\delta t}$.
Per un urto n $x=0$ la variazione di impulso \`e $2m|v|$.
Nel nostro caso non c'\`e variazione di impulso 
se non quando la massa tocca $x=0$.
Per dare senso alla pressione, si pu\`o pensare 
di considerare l'impulso scambiato con la parete per un tempo 
sufficientemente lungo affinch\'e avvengano molti urti, 
ma sufficientemente piccolo affinch\'e la variazione dovuta al moto 
della barriera mobile non sia significativa (assunzione 
possibile se $\eps$ \`e molto piccolo).
In altre parole:
$$P=\frac {2m|v|k}{\tau_k},$$
dove $k$ \`e il numero di volte che la massa urta la parete in $x=0$, 
e $\tau_k$ \`e il tempo necessario per fare $k$ urti.
Evidentemente $\tau_k \eqsim k \frac {2z}{|v|}$ ($2z$ \`e la distanza
da percorrere per tornare in $x=0$ e $v$ \`e la velocit\`a).

In definitiva, l'interpretazione termodinamica 
del moto di una particella tra due pareti perfettamente rigide
a distanza $z$ d\`a:
$$\begin{matrix}
U=\frac 12 mv^2 \\
V=z\\
P=\frac {mv^2}z.
\end{matrix}$$ 

Prova che se $z$ varia molto lentamente, 
$$TdS=dU+PdV=0,$$
cio\`e la trasformazione \`e adiabatica.


\noindent
{\bf Osservazione}

Fare la termodinamica di una sola particella \`e abbastanza privo di 
senso. Si possono considerare, pi\`u correttamente,  
moltissime particelle tra le pareti, che non urtano tra di loro.
Questa situazione pu\`o far pensare ad un gas perfetto, 
per cui la termodinamica ha senso, e la pressione \`e 
cinematicamente definita attraverso l'impulso scambiato con
le pareti. 
Tenete presente, per\`o, che un insieme di particelle che 
non urtano tra loro NON sono un gas perfetto. Infatti
manca il meccanismo di termalizzazione tipico, ad esempio,
dell'equazione di Boltzmann.
 
\subsubsection{Altri esempi di invarianti adiabatici}
\label{adiab3}
Teorema dell'invarianza adiabatica.

Supponi di avere un moto unidimensionale in cui l'energia totale,
oltre che dipendere dalla posizione e dalla velocit\`a, 
dipenda da un parametro  $\lambda$, 
cio\`e $E=E(x,\dot x, \lambda)$.
Come esempio puoi pensare a 
$E= \frac 12 \lambda \dot x^2 +V(x)$, dove la massa stessa 
\`e il parametro $\lambda$,  
oppure
$E=\frac 12 m\lambda^2\dot \theta^2 -m g\lambda \cos \theta$,
dove $\lambda$ ha le dimensioni di una lunghezza.

Supponi, inoltre, che il moto assegnato sia in generle
periodico, ed indica con $I(E)$ la misura dell'area, 
nello spazio delle fasi,
della regione racchiusa dall'orbita di energia $E$.

Considera ora il moto con energia totale dipendente 
dal tempo attraverso $\lambda$:
$E=E(x,\dot x, \eps t)$, con $\eps$ piccolo.

Il teorema adiabatico afferma 
che 
$$|I(E(t))-I(E(0))|\le c \eps,$$
per $0\le t \le \frac 1\eps$.

In altre parole, per variare l'azione di $\eps$ devo 
aspettare un tempo di ordine $\frac 1\eps$.

\noindent
In questo enunciato mancano delle ipotesi importanti.
Per l'enunciato preciso e per la dimostrazione vedi,
tra gli altri, l'Arnold \cite{arnold1}

\vskip10pt

Considera un pendolo la cui massa diminuisce 
lentamente con il tempo.
Di quanto varia l'ampiezza delle oscillazioni se la massa si dimezza?


Una massa \`e appesa ad un filo ed oscilla. 
Se dimezzo lentamente la lunghezza del filo, 
come cambia l'ampiezza delle oscillazioni?




Considera il moto unidimensionale di 
energia totale
$$\frac 12 \dot r^2  + \frac {l^2}{2r^2} - \frac kr.$$
Considera un dato iniziale che compia piccole 
oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile.
Se $k$ si dimezza molto lentamente, come cambia il moto?

(**) Un satellite in orbita intorno 
alla Terra descrive un'orbita poco eccentrica.
Come cambia l'orbita se il momento della quantit\`a di moto
del satellite raddoppia molto lentamente?


\subsection{Altri esercizi sui moti unidimensionali (2001)}
\subsubsection{}

Sia $V(x) = \arctan(x) + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$ l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Al variare di $\alpha \in \R$, 
 disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare
\begin{itemize}
\item determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilit\`a
\item dato $(x_0,\,\dot x_0) = (0,0)$, dato iniziale,
determinare $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$
\end{itemize}
Considerare ora il moto $\ddot x = -\dx V - \beta \dot x$, con $\beta>0$.
Determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la stabilit\`a.


\noindent
Per $\alpha>-1$ e $\beta>0$
determinare  $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$ se 
 $(x_0,\,\dot x_0) = (0,0)$.


\noindent 
(*) Risolvere, qualitativamente, il punto precedente nel caso 
$\alpha \le -1$.

\noindent
(*) Sempre nel caso $\beta > 0$, esiste $v>0$ tale che per
il moto di dato iniziale $(0,v)$ vale
$\lim_{t\to +\infty} = +\infty$?

\subsubsection{}

Sia $V(x) = \arctan(x) + \dfrac {\alpha x}{1+x^2}$ l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Al variare di $\alpha \in \R$, 
 disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi. In particolare
\begin{itemize}
\item determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilit\`a
\item dato $(x_0,\,\dot x_0) = (0,0)$, dato iniziale,
determinare $\lim_{t\to +\infty} (x(t),\dot x(t))$
\item se  $(x_0,\,\dot x_0) = (0,v)$, per quali valori di 
$v$, in funzione di $\alpha$,  $\lim_{t\to +\infty} x(t) = +\infty$? 
\end{itemize}


\subsubsection{}

Sia $V(x) = x^4e^{-x}$.
 l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi.
 In particolare
\begin{itemize}
\item determinare le soluzioni di equilibrio e discuterne la stabilit\`a
\item determinare la frequenza delle piccole oscilazioni intorno
alle posizioni di equilibrio stabili
\item se  $(x_0,\,\dot x_0) = (0,v)$, per quali valori di 
$v$ vale $\lim_{t\to +\infty} x(t) = +\infty$?
In tal caso;
\begin{itemize}
\item  quant'\`e $\lim_{t\to +\infty} \dot x(t)$?
\item  con che velocit\`a, in funzione di $v$, il punto passa per $x=4$?
\item dare l'espressione del tempo che il punto materiale impiega per 
arrivare in $x=8$, in funzione di $v$.
\end{itemize}
\end{itemize}


\subsubsection{}

Sia $V(x) = -x^2e^{-x}$.
 l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi.
 In particolare, 
\begin{itemize}
\item calcolare la frequenza delle piccole oscillazioni
intorno alle posizioni di equilibrio stabili
\item se $(x_0,\dot x_0) = (2,v)$, per quali valori di 
$v$ il moto tende a $+\infty$? E per quali tende a 
$-\infty$? In tal caso calcolare in quanto tempo 
il punto materiale raggiunge $-\infty$.
\end{itemize}


\subsubsection{}

Sia $V(x) = \dfrac {x^2}2 + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$.
 l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, 
al variare di $\alpha \in \R$.
 In particolare, 
\begin{itemize}
\item determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la 
stabilit\`a
\item per $\alpha = 1$ determinare la frequenza delle 
piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
\item per $\alpha = \dfrac 12$  determinare la frequenza delle 
piccole oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
\item per $\alpha = 1$ e per il dato iniziale 
$(-1,v)$, determinare i valori di $v$ per quali il moto 
passa per $x=1$. Dare l'espressione del tempo impiegato, 
in funzione di $v$.
\item con i dati del caso precedente, con che velocit\`a il 
punto materiale passa per $x=0$?
\item (*) determinare $\lim_{E\to +\infty} T(E)$, 
dove $T(E)$ \`e il periodo del moto di energia $E$.
\item (*) sempre per $\alpha = 1$, discutere i valori di $T$ per 
i quali esiste un moto periodico di periodo $T$.
\end{itemize}

\subsubsection{}


Sia $V(x) = -\dfrac {x^2}2 + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$.
 l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, 
al variare di $\alpha \in \R$.
 In particolare, 
\begin{itemize}
\item determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la 
stabilit\`a
\item per $\alpha = -1$, determinare la frequenza delle piccole 
oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
\item per $\alpha = -1$ e $x_0=0$, determinare i valori 
della velocit\`a iniziale $v$ per i quali il moto 
\`e illimitato
\item nel caso dei dati del punto precedente, se il moto 
\`e illimitato, determinare 
$\lim_{t\to +\infty} \dfrac {x(t)}{\dot x(t)}$, al variare di $v$
\end{itemize}

\subsubsection{}


Sia $V(x) = \sqrt{1+x^2} + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$.
 l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, 
al variare di $\alpha \in \R$.
 In particolare, 
\begin{itemize}
\item determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la 
stabilit\`a
\item determinare la frequenza delle piccole 
oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
\item se $(-1,0)$ \`e il dato iniziale, per quali valori di 
$\alpha$ il moto \`e periodico?
\item (*) determinare $\lim_{E\to +\infty} T(E)$,
dove $T(E)$ \`e il periodo del moto di energia $E$.
\end{itemize}


\subsubsection{}

Sia $V(x) = -\sqrt{1+x^2} + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$.
 l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, 
al variare di $\alpha \in \R$.
 In particolare, 
\begin{itemize}
\item determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la 
stabilit\`a
\item determinare la frequenza delle piccole 
oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
\item se $(-1,0)$ \`e il dato iniziale, per quali valori di 
$\alpha$ il moto \`e periodico?
\item sia $(0,v)$ il dato iniziale;
per quali valori di $v$ il moto \`e illimitato?
\item (*) nel caso dei moti illimitati del punto precedente,
determinare
$\lim_{t\to +\infty} \dfrac {\dot x^2(t)}{x(t)}$, 
al variare di $v$.
\end{itemize}

\subsubsection{}

Sia $V(x) = x + \dfrac {\alpha}{1+x^2}$.
 l'energia potenziale
di un moto unidimensionale.
Disegnare qualitativamente le orbite nello spazio delle fasi, 
al variare di $\alpha \in \R$.
 In particolare, 
\begin{itemize}
\item determinare le posizioni di equilibrio e discuterne la 
stabilit\`a
\item determinare la frequenza delle piccole 
oscillazioni intorno alle posizioni di equilibrio stabili
\end{itemize}



%\subsection{Esercizi Futuri?}
%\begin{itemize}
%\item La scimmia, la carrucola e  il casco di banane
%\item Attrito
%\item Attrito statico
%\end{itemize}














%&latex

\section{Soluzioni degli esercizi sui moti unidimensionali}
\subsection{Moti unidimensionali}

\subsubsection{}
\label{sol:es1}

L'energia potenziale \`e una funzione simmetrica rispetto all'asse
delle $y$. Dunque
\begin{equation}
T(E)=4\int_0^{x^+(E)} \frac {dx}{\sqrt {2(E-V(x))}},
\end{equation}
dove $x^+(E)=E^{\frac 1{\alpha}}$.
Cambiando variabile di integrazione:
$$T(E)=E^{\frac 1{\alpha}-\frac 12} 2\sqrt 2 \int_0^1
\frac {dy}{\sqrt{1-y^\alpha}}$$
Il periodo non dipende dall'energia solo se  $\alpha=2$
(potenziale armonico). 
Se $\alpha >2$ $\lim_{E\to 0} T(E) = +\infty$.

\subsubsection{}
\label{sol:es2}
\`E un' equazione differenziale lineare. Trovando gli zeri del polinomio
caratteristico $\lambda^2 = 1$, ottieni 
che la soluzione \`e
$x(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^t$, 
con $\dot x = -c_1 e^{-t} + c_2 e^t$.
Imponendo il dato iniziale:
$$\begin{matrix}
1 & = & c_1 + c_2 \\
-1 & = & - c_1 + c_2,\end{matrix} $$
dunque $c_1=1$, $c_2=0$ e il moto \`e $x(t)= e^{-t}$.
Il tempo per raggiungere $0$ \`e infinito.
Le traiettorie con $x(t) \to 0$ sono tutte e sole quelle con $c_2=0$;
esse sono anche tutte e sole le traiettorie con $\dot x(t) \to 0$.
Dunque i dati iniziali richiesti sono $(x_0,\,\dot x_0)=(c,\,-c)$, 
con $c\in \R$.

\subsubsection{La doppia buca di potenziale}
\label{sol:db}
Il valore minimo dell'energia \`e $-\frac 14$.
Ad esso corrispondono due posizioni di equilibrio
$x=\pm 1$. Sono stabili perch\`e sono punti di minimo dell'energia potenziale.
Per $-\frac 14 <E <0$ esistono due orbite periodiche.
Per $E=0$, hai tre orbite, la soluzione di equilibrio 
$x=0$, che \`e instabile eesendo un masssimo locale dell'energia 
potenziale,
e due orbite a meta asintotica.
Per $E>0$ hai un'orbita periodica.

Dal ritratto di fase si deduce facilmente che la traiettoria 
di dato iniziale 
 $(x_0,\dot x_0)=(-1,v)$ passa per $x=1$ se e solo se 
l'energia totale \`e maggiore di $0$, che \`e il valore 
del massimo locale di $V$.
Dunque  $\frac 12 v^2 -\frac 14 >0$, 
cio\`e $|v|> \frac 1{\sqrt 2}$.
Il valore di $V$ in $x=-1$ e $x=1$ \`e identico;
dunque per la conservazione dell'energia, anche il valore 
di $|\dot x$ \`e identico. 
Quindi, 
al primo passaggio per $x=1$, la velocit\`a \`e $\dot x = |v|$.

Nel ritratto dell'orbita nello spazio delle fasi, 
la curva di energia $E=0$ \`e descritta da
$\dot x = \pm \sqrt{2 ( \frac {x^2}2 - \frac {x^4}4 )}$.
La tangente dell'angolo richiesto \`e 
$$\lim{x \to 0^+} \dx  \sqrt{2 ( \frac {x^2}2 - \frac {x^4}4 )}=
1.$$ 
L'angolo \`e $\frac {\pi}4$.

\subsubsection{La doppia buca parte II}
\label{sol:db2}
Il grafico dell'energia potenziale \`e qualitativamente diverso
nei casi  $\alpha < 0$ e $\alpha \ge 0$.

Per $\alpha < 0$, il moto \`e qualitativamente uguale al caso $\alpha = -1$,
descritto nell'esercizio precedente.

Per $\alpha \ge 0$, l'energia potenziale \`e strettamente convessa;
l'unica posizione di equilibrio \`e $x=0$, ed \`e stabile.
In particolare per $\alpha > 0$ esiste la frequenza delle 
piccole oscillazioni, per $\alpha = 0$  non esiste
(vedi esercizio \ref{es1}).
\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=bifor.eps}
}
\end{figure}

Nella figura, in ascissa c\`e i valore di $\alpha$, 
le curve rosse e blu sono le ascisse delle posizioni di equilibrio,
in rosso se l'equilibrio \`e instabile, in blu se \`e stabile.
La poszione $x=0$ \`e stabile per $\alpha \ge 0$, 
instabile per $\alpha <0$. 
Le altre posizioni di equilibrio esistono solo per $\alpha <0$ e
sono stabili. 


\subsubsection{}
\label{sol:es.3bis}

Per $\alpha > 0$  l'energia potenziale \`e monotona strettamente crescente.
Non esistono posizioni di equilibrio, le orbite sono tutte illimitate,
Per tutti i dati iniziali $x(t)$ tende a $-\infty$.
Il tempo che impiega la particella per raggiungere 
$-\infty$ \`e {\bf finito}, 
infatti $\int_{-\infty}^x \frac {dx}P\sqrt{2(E-x^3-\alpha x )}<\infty$.

Per $\alpha = 0$ c\`e la posizione di equilibrio $x=0$.
 Tutte le altre orbite sono illimitate come nel caso 
precedente. La posizione di equilibrio \`e instabile, 
essendo un punto di flesso.


Per $\alpha < 0$ ci sono due posizioni di equilibrio:
$x^\pm = \pm \sqrt{-\frac {\alpha}3}$. La posiozione $x^-$ \`e instabile 
(massimo locale di $V$), 
la posizione $x^+$ \`e stabile (minino locale di $V$).
Il valore di $V$ nei punti di equilibrio \`e $\mp \bar E= \mp \frac 23 \alpha 
\sqrt{-\frac {\alpha}3}$.
Per $E<-\bar E$ c\`e solo un' orbita illimitata.
Per  $E=-\bar E$ un'orbita illimita e $x=x^+$ equilibrio stabile.
Per $-\bar E < E < \bar E$ un'orbita illimitata e una periodica.
Per $E=\bar E$ la posizione di equilibrio instabile $x= x^-$,
un'orbita limitata a meta asintotica nella regione 
$x> x^-$, un'orbita illimitata a meta asintotica nel passato 
nella regione $x< x^-$, $\dot x < 0$,
un'orbita illimitata a meta asintotica nel futuro
nella regione $x< x^-$, $\dot x > 0$.


\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=bifor2.eps}
}
\end{figure}

\subsubsection{Variante della doppia buca}
\label{sol:db3}
L'energia potenziale va a $+\infty$ se $|x|\to +\infty$.
Dunque tutte le orbite sono limitate.
Analizzo i casi, al variare di $\alpha$.


La derivata \`e $x(x^4 -2\alpha x^2 + \alpha$.
Dunque $x=x_0=0$ \`e soluzione di equilibrio per tutti i valori di 
$\alpha$.
Le altre eventuali posizioni di equilibrio verificano
$x^2= \alpha \pm \sqrt{\alpha(\alpha -1)}$.
Condizione necessaria affinch\'e esistano \`e che 
$\alpha (\alpha -1)\ge 0$ cio\`e $\alpha \ge 1$ o $\alpha \le 0$.
Per $\alpha > 1$, $\sqrt{\alpha^2 -\alpha} < \alpha$, 
dunque 
esistono quattro posizioni di equilibrio:
$$\begin{matrix}
x_1 & = & -\sqrt{ \alpha + \sqrt{\alpha^2 -\alpha} } \\
x_2 & = & -\sqrt{ \alpha - \sqrt{\alpha^2 -\alpha} } \\
x_3 & = & +\sqrt{ \alpha - \sqrt{\alpha^2 -\alpha} } \\
x_4 & = & +\sqrt{ \alpha + \sqrt{\alpha^2 -\alpha} }.
\end{matrix}
$$
Per $\alpha < 0$, $\alpha + \sqrt{\alpha^2 -\alpha} >0$.
Dunque esistono solo le posizioni $x_1$ e $x_4$.

\noindent
In sintesi:

$\alpha < 0$: due posizioni di equilibrio stabili $x_1$ e $x_4$,
ed una instabile $x_0$;

$0\le \alpha \le 1$: una sola posizione di equilibrio $x_0$ stabile.

$\alpha >1$: tre posizioni di equilibrio stabili $x_1$, $x_4$ e $x_0$,
e due instabili $x_2$ e $x_3$.



\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=bifor3.eps}
}
\end{figure}

\subsubsection{Il pendolo su un piano ruotante}
\label{sol:es.param1}
Una primitiva in $\theta $ della forza assegnata \`e:
$V(\theta)= -Rmg \cos \theta + m\frac {R^2\Omega^2}2 \cos^2 \theta$.
$$V'(\theta) = \sin \theta ( Rmg - mR^2 \Omega ^2 \cos \theta)=
mR^2 \Omega ^2 (\lambda - \cos \theta).$$
Evidentemente, l'esistenza di alcune posizioni di equilibrio dipende
dal fatto che $\lambda $ sia minore o maggiore di $1$.
Il parametro $\lambda$ \`e adimensionale.
Per $\lambda \ ge 1$ ci sono solo la posizione di equilibrio 
stabile $\theta = 0$ e quella instabile $\theta = \pi$.
Per $\lambda < 1$, che corrispone al caso di debole gravit\`a, 
o di grande velocit\`a angolare del piano, 
compaiono altre due posizioni di equilibrio:
$\theta^\pm = \pm \arccos \lambda$.
Esse sono stabili, mentre $\theta = 0$ \`e instabile, 
come si deduce disegnando il grafico di $V$.

Il dato iniziale $(\theta_0,\, \dot \theta_0)= (-\frac {\pi}2,\,0)$
ha energia totale $0$.
I livelli critici dell'energia sono:

per $\lambda \ge 1$: $E_1= -m R^2 \Omega ^2 \left( \lambda -\frac 12 \right)$
(livello di minimo, $\theta=0$) e 
$E_2= m R^2 \Omega ^2 \left( \lambda +\frac 12 \right)$ (livello di massimo,
$\theta = \pi$).

per $\lambda < 1$: $E_1$ diventa un livello di massimo locale,
il livello di minimo \`e $E_3= -m R^2 \Omega ^2 \frac {\lambda^2}2$, che 
corrisponde alle due soluzioni stazionarie $\theta^{\pm}$.

\noindent
Dunqye $E=0$ \`e un livello critico solo se coincide con $E_1$,
il che accade se $\lambda \neq \frac 12$; in tal caso, essendo
$0<E_2$, l'orbita \`e periodica.
Il periodo \`e:
$$T=4\int_0^{\frac \pi 2} \frac {d\theta}{
\sqrt{ \frac 2{mR^2} (-V(\theta))}},$$
se $\lambda > \frac 12$,
$$T=2\int_{-\frac \pi 2}^{\arccos (2\lambda)} \frac {d\theta}{
\sqrt{ \frac 2{mR^2} (-V(\theta))}},$$
se $\lambda < \frac 12$.

\noindent
La posizione $\theta = \frac {\pi}2$ \`e raggiunta solo se
$\lambda > \frac 12$; 
il tempo\`e:
$$t=\int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2} \frac {d\theta}{
\sqrt{ \frac 2{mR^2} (-V(\theta))}}.$$
Il valore di $\dot \theta$ \`e dato dalla conservazione 
dell'energia. Essendo $V(\frac {\pi}2)=V(-\frac {\pi}2)$, 
$\dot \theta$ deve coincidere con il valore iniziale, cio\`e 
$\dot \theta = 0$.

\noindent
Sempre per la conservazione dell'energia, 
$\dot \theta =\pm \sqrt{\frac 2{mR^2} (-V(\theta))}$, 
dunque quando $\theta = 0$, $\dot \theta = 
\pm \sqrt{-\frac 2{mR^2}E_1}= \pm \Omega \sqrt{2\lambda -1}$.

\noindent
Il valore del massimo $\dot \theta$ \`e raggiunto quando, lungo 
l'orbita, $V(\theta)$ \`e minimo.
Se $\lambda \ge 1$ il minimo \`e raggiunto in $\theta = 0$;
se $\lambda < 1$, il minimo \`e raggiunto in $\theta = \theta^-$.

\noindent
Il dato iniziale $(\theta_0,\, \dot \theta_0)= (-\frac {\pi}2,\,omega)$
ha energia totale $\frac 12 m R^2 \omega^2$;
per $\omega $ grande, l'orbita \`e periodica perch\'e 
la variabile \`e un angolo. Il moto \`e la rotazione completa.
Il periodo \`e 
$$T= \int_{-\pi}^{\pi} 
 \frac {d\theta}{
\sqrt{ \frac 2{mR^2} (\frac 12 mR^2\omega^2-V(\theta))}}, $$
che per $\omega$ grande, al primo ordine in $\frac 1\omega$,
vale $\frac {2\pi}\omega$.

\noindent Nelle posizioni di equilibrio $\theta = 0 $ e $\theta = \pi$,
l'accelerazione \`e nulla $\ddot \theta =0$,
dunque per $\omega $ grande la va come $\omega$ in $\theta = 0$ e
$-\omega$ in $\theta= \pi$.

Per $\theta = \frac {\pi}2$, il coseno \`e nullo, e 
dall'equazione del moto ricavo
$mR^2 \ddot \theta= -Rmg $, cio\`e $\ddot \theta = -\frac {mg}R$.
Ne segue che la componente verticale della reazione \`e nulla.

\subsubsection{}
\label{sol:es.param2}
Standard.
\subsubsection{}
\label{sol:es.param3}
Standard.
\subsubsection{}
\label{sol:es4}
Standard.
\subsubsection{}
\label{sol:es5}
Le orbite sono tutte limitate per $a>0$.
L'origine \`e stabile se e solo se $a > \frac 12$.

\subsubsection{}
\label{sol:es6}
Il massimo dell'energia potenziale \`e $-1$.
Il dato iniziale ha energia $-\frac 12$. Dunque il moto 
\`e illimitato, e $\dot x > 0 $ per tutti i tempi positivi.
Il tempo per raggiungere $+\infty$ \`e dato da
$$T=\int_0^{+\infty} \frac {dx}{\sqrt{2(\sqrt{1+x^2} -\frac 12)}},$$
che \`e infinito.
Quando $t$ va ad infinito, $x$ va ad infinito, 
e l'accelerazione tende al limite di $\frac x{\sqrt{1+x^2}}$ che \`e 
$1$.
\`E ragionevole aspettarsi che 
quando $t$ \`e grande, il moto sia vicino al moto uniformemente 
accelerato $\tilde x + \tilde v t + \frac {t^2}2$.
In particolare ci si aspetta che $\dot x $ sia vicino a $\tilde v + t$.
Per capire se un tale $\tilde v$ esiste \`e sufficiente calcolare 
il limite 
$\lim_{t\to +\infty} (\dot x -t)$.
Sia $\dot x$ che $t$ si possono esprimere in funzione della x:
$$\tilde v = \lim_{x\to +\infty} 
\left(
\sqrt{2(\sqrt{1+x^2} -\frac 12)} -
\int_0^x \frac {dz}{\sqrt{2(\sqrt{1+z^2} -\frac 12)}}\right).$$
Ora posso scrivere $\dot x$ come l'integrale della sua derivata in $x$:
$$\sqrt{2(\sqrt{1+x^2} -\frac 12)} =1+
\int_0^x \frac {dz}{\sqrt{2(\sqrt{1+z^2} -\frac 12)}}
\frac z{\sqrt{1+z^2}}.$$
Sostituendo e raccogliendo:
$$\tilde v =1 - \int_0^{\infty} dz
\frac 1{\sqrt{2(\sqrt{1+z^2} -\frac 12)}} \frac 1{
z^2 + z\sqrt{1+z^2} +1},$$ 
che \`e finito. Per la determinazione di $\tilde x$,
dovr\`o calcolare $\lim_{t\to +\infty} (x(t) - \tilde v t - \frac 12 t^2)$.
Si pu\`o procedere come sopra anche se \`e pi\'u complicato.

\subsubsection{}
\label{sol:es7}
Il moto \`e periodico per tutti i dati iniziali con energia 
negativa, non \`e periodico, ed \`e illimitato,
per i dati iniziali con energia maggiore
o uguale a $0$.
C'\`e una sola soluzione stazionaria, in $x=1$.

 Per  $x_0=\frac 12$ e $\dot x_0= 1$ l'energia vale $\frac 12$.
che \`e positiva. Dunque $x\to \infty$. 
Il valore asintotico della velocit\`a \`e
$\sqrt{2(\frac 12)}=1$.

Per  $x_0=\frac 12$ e $\dot x_0= -1$, il punto si muove verso sinistra
diminuendo il valore assoluto della sua velocit\`a. Successivamente 
inverte la velocit\`a.
Dunque il minimo della velocit\`a \`e $-1$, quella del dato iniziale.
Il massimo \`e raggiunto in $x=1$ 
(che \`e il minimo dell'energia potenziale), e vale 
$\sqrt{2(\frac 12 +1 -\frac 12)}=\sqrt{2}$.
 
\subsubsection{}
\label{sol:es8}
Non disponibile
\subsubsection{}
\label{sol:es9}
Non disponibile
\subsubsection{}
\label{sol:es10}
Non disponibile
\subsubsection{}
\label{sol:es11}
Non disponibile
\subsubsection{}
\label{sol:es12}
Non disponibile
\subsubsection{}
\label{sol:es13}
Non disponibile
\subsubsection{}
\label{sol:es14}
Non disponibile
\subsubsection{}
\label{sol:es15}
Non disponibile
\subsubsection{}
\label{sol:es16}
Non disponibile

\subsubsection{}
\label{sol:1_dom}

a) No, solo se il potenziale \`e armonico.

b) Il limite \`e $+\infty$, e il moto NON \`e uniformemente accelerato.

c) nulla

d) Solo nel caso 4 l'origine \`e stabile.
Il pendolo capovolto linearizzato con attrito \`e il caso 2. 
Il caso 3 \`e un oscillatore armonico con attrito a tempo invertito.

e)  1, 2. I casi 5 e 10 possono considerarsi come moti 
unidimensionale visti in un sistema di riferimento mobile, di 
velocit\`a costante. L'energia nel sistema solidale  si conserva.

\subsection{Equazioni lineari}

\subsection{Moti forzati e smorzati}

\subsection{Alcuni esercizi chiave}
\subsubsection{La doppia buca con attrito}
\label{sol:3.es.1}
Considero nel seguito solo il caso di $\lambda $ piccolo.
Per $\lambda$ grandi le affermazioni restano vere, 
ma i grafici cambiano (come cambiano?).

\vskip8pt
{\bf a)}
L'energia \`e un integrale primo del moto per il sistema 
senza attrito.
In presenza di attrito
$\dt E = -\lambda {\dot x}^2$.
Quindi anche in presenza di attrito $E$ \`e una funzione 
di Lyapunov per i punti di minimo dell'energia potenziale
$x_1$ e $x_2$.
Dunque senz'altro queste due posizioni sono stabili.
Il teorema di Lyapunov, pur decrescendo l'energia, non 
permette di concludere immediatamente che $x_1$ e $x_2$ sono 
asintoticamente stabili. Infatti $\dt E$ \`e $0$ non solo nella posizione
di equilibrio ma anche in tutti i punti dello spazio delle fasi 
in cui $\dot x = 0$.
Procedo dunque con l'analisi del linearizzato\footnote{
C'\`e comunque un teorema che assicura l'asintotica stabilit\`a 
anche nel caso in cui la derivata della funzione di Lyapunov si annulla 
in altri punti che non siano il punto di equilibrio.
\`E il teorema di Barbasin (vedi il Dell'Antonio \cite{dellantonio})
; l'ipotesi aggiuntiva necessaria \`e 
che l'insieme dei punti in cui $\dt E=0$ non contenga intere orbite 
del sistema a parte il punto stazionario. Nel nostro caso questa 
ipotesi \`e soddisfatta.}.
Riscrivo l'equazione del moto come un sistema (non lineare ) 
del primo ordine.
$$\dt \binom{x}{v}=
\binom{v}{x-x^3-\lambda v}.$$
Lo Jacobiano del campo \`e
$$\left( \begin{matrix}  0 & 1 \\ 1-3x^2 & -\lambda 
\end{matrix}\right).$$
Nei punti $x=\pm 1$ vale
$$\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ -2 & -\lambda\end{matrix}
\right),$$
che ha entrambi gli autovalori con parte reale negativa.
Nel punto $0$ la matrice \`e
$$\left( \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & -\lambda \end{matrix}\right),$$
che ha traccia negativa e determinante positivo, 
quindi ha due autovalori reali di segno opposto.
In conclusione le posizioni $x_{1,2}$ sono asintoticamente stabili,
la posizione $x=0$ \`e instabile.



\vskip8pt
{\bf b)}
L'energia meccanica non \`e conservata e decresce nel tempo.
Dunque esiste $\bar E = \lim_{t\to +\infty} E(t)$
($E(t)$ \`e limitata dal basso da $-\frac 14$).
Dunque il moto, nel limite $t$ che va a infinito, 
tende ad avere energia costante. L'idea intuitiva \`e che 
il moto deve tendere ad una soluzione di equilibrio, 
se no l'energia continuerebbe a decrescere invece che tendere
al valore $\bar E$.

L'analisi rigorosa di questo fatto \`e un po' astratta:
So che l'energia in funzione del tempo ha limite $\bar E$,
in particolare $E(t)$ \`e limitata.
Ne segue che il moto, nello spazio delle fasi, \`e limitato.

Sia $(\tilde x, \tilde v)$ un punto di accumulazione per la 
traiettoria, cio\`e esista una sequenza crescente di tempi $t_k$,
con $t_k\to +\infty$ per $k\to +\infty$, tale che 
$\lim_{k\to +\infty} (x(t_k),\dot x(t_k)=(\tilde x,\tilde v)$ 
\footnote{L'insieme dei punti di accumulazione 
per $t\to+\infty$ prende il nome di $\omega-$limite della 
traiettoria.}.
Considero adesso, per $\tau>0$ assegnato, la successione di 
punti dell'orbita $(x(t_k+\tau),\,\dot x(t_k+\tau))$.

L'osservazione importante, a questo punto, 
\`e che la mappa che d\`a la soluzione al tempo $\tau$ del 
sistema differenziale autonomo che stiamo considerando \`e
continua nel dato iniziale.

In altre parole:
$$\lim_{k\to +\infty}  (x(t_k+\tau),\,\dot x(t_k+\tau)) =
(\tilde x (\tau),\,\dot {\tilde x} (\tau)),$$
che \`e la soluzione al tempo $\tau$ di dato iniziale 
$(\tilde x, \tilde v)$.
Ne segue che $E(t_k +\tau)$ tende a 
$E(\tilde x (\tau),\,\dot {\tilde x} (\tau))$.
Ma $E(t) \to \bar E$ dunque,
se $(\tilde x, \tilde v)$ non \`e un punto di equilibrio
$$ \bar E=\lim_{k\to +\infty} E(t_k+\tau)= 
E(\tilde x (\tau),\,\dot {\tilde x} (\tau)) 
< E(\tilde x, \dot {\tilde x}) = \bar E,$$
che \`e impossibile.
Dunque i punti di accumulazione della traiettoria 
sono solo le posizioni di equilibrio.
Dal fatto che l'energia decresce segue 
che per ogni traiettoria il punto di accumulazione 
\`e unico.



\vskip10pt
Una dimostrazione pi\`u costruttiva \`e possibile ed istruttiva,
anche se pi\`u complessa.

Il primo fatto importante \`e che se ad un certo istante di tempo
$\bar t$
il punto \`e in $\bar x $ con velocit\`a $\bar v>0$ allora
la funzione $t\to x(t)$ \`e invertibile in un intorno di $\bar t$,
essendo $\dt x(\bar t)=\bar v \ne 0$.
Cio\`e posso pensare il tempo come funzione della posizione,
quindi posso pensare l'energia come funzione della posizione:
\begin{equation}
\label{eq.Eattr}
\dx E = \dt E \frac {dt}{dx} = -\lambda \dot x(t)=
-\lambda \sqrt{2(E(x)-V(x))}.
\end{equation}
Questa \`e una equazione differenziale per $E(x)$, con dato iniziale
$E(\bar x)= \frac 12 {\bar v}^2+V(\bar x)$
nel punto $\bar x$.
Essendo $\bar v\neq 0$ sono nelle condizioni di esistenza 
e unicit\`a locale delle soluzioni (questo non \`e vero se 
$\bar v=0$...).
Quindi $E(x)$ \`e una funzione decrescente in $x$, 
e l'equazione vale fino al primo $\tilde x$ tale 
che $E(\tilde x)=V(\tilde x)$ (vedi la figura \ref{energia}).
\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=energia.eps}
}
\caption{$E(x)$ (in rosso)}
\label{energia}
\end{figure}
La domanda importante \`e se il tempo per arrivare in $\tilde x$
\`e finito o infinito.
In tutti gli $x$ tra $\bar x$ e $\tilde x$ ci arrivo in tempo 
finito, perch\`e la velocit\`a \`e
$\sqrt{2(E(x)-V(x))}$ che \`e diversa da $0$ se $x< \tilde x$.
D'altra parte, nota $E(x)$, il tempo per arrivare in $\tilde x$
\`e ovviamente
\begin{equation}
\label{eq.tattr}
\tilde t -\bar t = \int_{\bar x}^{\tilde x} 
\frac {dx}{\sqrt{2(E(x)-V(x))}}.
\end{equation}
Dunque per capire se il tempo \`e finito devo discutere
la sommabilit\`a dell'integrale intorno a $\tilde x$.
Scrivo l'equazione differenziale per 
$\delta(x)=E(x)-V(x)$:
\begin{equation}
\label{eq.dattr}
\dx \delta(x) = -\lambda \sqrt{2\delta(x)} - V'(x).
\end{equation}
Quando $\delta $ \`e piccolo, e se $\tilde x$ non \`e un punto 
di equilibrio,
$x$ \`e vicino a $\tilde x$, dunque, al primo ordine 
significativo, l'equazione \ref{eq.dattr} \`e
$$\dx \delta(x) = -\lambda \sqrt{2\delta(x)} - c,$$
con $c=V'(\tilde x)$, cio\`e meno la forza in $\tilde x$.
Quest'ultima equazione \`e esplicitamente risolubile e d\`a:
$$\frac {\sqrt{2\delta(x) }}{\lambda} -
\frac c\lambda \log \left( 1+ \frac {\sqrt{2\delta}}{c} \right)=
\tilde x - x.$$
Sviluppando a $\delta$ piccoli si ottiene 
che $\delta \eqsim const. \, (\tilde x - x)$, 
dunque l'integrale \`e sommabile ed il tempo \`e finito.

Cosa accade dopo il tempo $\tilde t$?
Sul punto la forza non \`e nulla, dunque si muover\`a verso 
sinistra e di nuovo l'equazione \ref{eq.Eattr} descrive $E$ in 
funzione di $x$. Ripetendo il ragionamento, \`e evidente che
il punto di ferma solo quando $E$ uguaglia $V(x)$ in un punto in cui la 
forza \`e $0$, cio\`e solo se il punto tende ad una posizione di 
equilibrio.



\vskip8pt
{\bf c)}
Nel punto a) ho provato che la soluzione stazionaria $x_3$ \`e instabile.
Nonostante ci\`o esistono traiettorie che tendono a $x_3$.
Un modo per convincersi che \`e cos\`i \`e quello di
considerare un caso pi\`u semplice, cio\`e il linearizzato intorno 
a $x_3$.
L'equazione del moto diventa
$$\ddot x = x - \lambda \dot x,$$
che \`e un'equazione lineare esplicitamente risolubile.
Non \`e difficile verificare che esiste un autovettore di autovalore 
negativo per la matrice
$$\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\ 1 & -\lambda \end{matrix} \right).$$
I moti che hanno dato iniziale su questo autovettore 
tendono esponenzialmente a $(0,0)$, cio\`e sono attratti dall'origine.
Tutti gli altri si allontanano esponenzialmente.
Questo autovettore prende il nome di {\it variet\`a stabile} per
il punto di equilibrio (instabile) $(0,0)$.
Cosa accade per il sistema non lineare della doppia buca?
\`E ragionevole pensare che la variet\`a stabile continua ad 
esistere ma non sar\`a pi\`u una retta. Solo per $(x,\dot x)$ piccolo
si confonder\`a con la variet\`a stabile del linearizzato.
Nota che anche nel caso senza attrito la variet\`a stabile esiste.
\`E esattamente la separatrice, cio\`e la curva con energia $0$.
\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=separ2.eps}
}
\caption{La variet\`a stabile (in rosso)}
\label{var.stabile}
\end{figure}
Nella figura \ref{var.stabile} ho disegnato alcune orbite 
del sistema senza attrito (in nero), la variet\`a stabile nel 
caso senza attrito (la separatrice in blu), e la variet\`a 
stabile nel caso con attrito (in rosso).

La dimostrazione rigorosa dell'esistenza della variet\`a stabile nei casi 
non lineari \`e complicata (vedi Dell'Antonio \cite{dellantonio}),
 comunque qui mi limito a far notare che 
si pu\`o provare a trovare la soluzione di  
\ref{eq.dattr} ( che equivale all'equazione \ref{eq.Eattr}) per
serie.
Nel caso $\lambda = 2^{-\frac 12}$ (esercizio) si ha:
$$\delta(x) = \frac 14 x^2 -\frac 15 x^4 +\dots .$$
Faccio notare che per $\delta = 0$ in $x=0$ il termine
di destra non verifica le condizioni standard per 
l'esistenza e unicit\`a delle soluzioni...



\vskip8pt
{\bf d)}
Assunta per buona la figura \ref{var.stabile} \`e facile
capire quali sono i dati iniziali che vengono attratti dalla 
posizione $x_1$ e quali quelli attratti dalla posizione $x_2$.
Infatti la variet\`a stabile divide il piano delle fasi in due 
regioni distinte, una che contiene il punto $x_1$, l'altra 
che contiene il punto $x_2$.

La figura \ref{var.stabile} si giustifica facilmente considerando 
che l'energia sulla variet\`a stabile cresce per $t\to -\infty$.
Quindi man mano (con il tempo invertito) essa interseca curve 
di livello di energia sempre pi\`u alta.
Inoltre ognuno dei due rami della variet\`a stabile incontra
una curva di livello una ed una sola volta, trasversalmente
se $\dot x \ne 0$, tangente se $\dot x=0$.

Una ulteriore domanda che ci si pu\`o porre, 
\`e di quanto aumenta l'energia ogni volta che il 
punto passa per la posizione $x=0$, mandando il tempo a $-\infty$.
Tornando alla figura \ref{energia}, e indicando con $E_1$ il valore
dell'energia nel punto $\tilde x$ dove il moto inverte la
velocit\`a:
$$E(0)-E_1=\lambda \int_0^{\tilde x} \sqrt{2(E(x)-V(x))}.$$
Ora per $0<x<\tilde x$, $E(x)\ge E(\tilde x)$ quindi
$$E(0)-E_1\ge 
\lambda \int_0^{\tilde x} \sqrt{2(E_1-V(x))},$$
che, se $E_1$ \`e molto grande, d\`a l'andamento
$$E(0)-E_1 \ge const.\, E_1^{\frac 12} \tilde x.$$
Ma se $E_1$ \`e grande $\tilde x > const\, E_1^{\frac 14}$.
In definitiva $E(0)-E_1 \ge const. \, E_1^{\frac 34}$.
Il che significa che man mano che mi allontano da $(0,0)$ 
la distanza tra i passaggi della variet\`a stabile per l'asse $\dot x$
cresce.

\begin{figure}[h]
\centerline{
\psfig{figure=separ3.eps}
}
\label{energia2}
\end{figure}

Nella figura \ref{energia2} ho disegnato la curva $(x,E(x))$ per
il ramo della variet\`a stabile che arriva nell'origine con velocit\`a
negativa.
A quale posizione di equilibrio tende il moto 
che parte con velocit\`a positiva, energia $E$ e posizione 
iniziale nulla?




\providecommand{\bysame}{\leavevmode\hbox to3em{\hrulefill}\thinspace}
\begin{thebibliography}{10}
\bibitem{arnold1}
V. I. Arnold
{\it Metodi Matematici della Meccanica Classica}
Editori Riuniti

\bibitem{arnold2}
V. I. Arnold
{\it Equazioni Differenziali Oridinarie}
Editori Riuniti


\bibitem{bampi}
F. Bampi, M. Benati, A. Morro
{\it Problemi di Meccanica Razionale}
ECIG


\bibitem{dellantonio}
G. Dell'Antonio
{\it Elementi di Meccanica: Meccanica Classica}
Liguori Editore


\bibitem{dellantonio2}
G. Dell'Antonio, E. Orlandi, A. Teta
{\it Esercizi  di Meccanica Razionale}
Dispense

\bibitem{gallavotti}
G. Gallavotti
{\it Meccanica Elementare}
Boringhieri

\bibitem{gantmacher}
F. R. Gantmacher
{\it Lezioni di Meccanica Analitica}
Editori Riuniti


\bibitem{goldstein}
H. Goldstein
{\it Meccanica Classica}
Zanichelli


\bibitem{landau}
L. D. Landau, E. M. Lif\v sits
{\it Meccanica}
Editori Riuniti

\bibitem{olivieri}
E. Olivieri

\end{thebibliography}











\end{document}

