Devi capire di quanti parametri hai bisogno per descrivere
una generica configurazione del sistema.
Per specificare la posizione di è sufficiente il valore
della sua ascissa, che chiamerò
, rispetto ad una origine
fissata arbitrariamente.
In tal caso, detto
l'asse verticale,
le coordinate di
saranno
.
Per specificare la posizione di
è sufficiente
conoscere, ad esempio, l'angolo che l'asta forma con la verticale
discendente passante per
, che chiamerò
.
Quindi le coordinate di
saranno
.
Il problema ha dunque due gradi di libertà.
![]() |
(6.1) |
Devo sommare i contributi dell'energia potenziale, espressi in
variabile lagrangiane, delle forze attive che agiscono sui punti.
In questo caso la forza di gravità non ha effetto su , che è
vincolato ad una retta orizzontale.
Dunque l'unico contributo all'energia potenziale
è quello gravitazione sul punto
.
L'energia potenziale gravitazionale è data dalla massa per la
quota per l'accelerazione di gravità.
Quindi
.
![]() |
(6.3) |
Dopo di che si ricavano le espressioni di
e
in termini delle nuove variabili.
Per fare questo si deve risolvere il sisitema di equazioni lineare
6.4 rispetto alle variabili
e
.
Si ottiene:
L'espressione dell'Hamiltoniana è:
Le equazioni del moto in formalismo hamiltoniano sono
![]() |
(6.6) |
![]() |
(6.7) |
![]() |
(6.8) |
È abbastanza evidente che quando
,
essendo l'asta verticale ma con l'estremo
in alto rispetto a
,
la posizione è instabile.
Infatti l'energia potenziale
ha
un massimo nella variabile
quando
.
non dipende da
, ma questo implica solo che il massimo di
come funzione di due variabili ha un massimo non stretto, nel senso
che è raggiunto qualunque sia
.
Le altre posizioni
corrispondono
al minimo di
nella variabile
. In questo caso però il
minimo non è stretto, infatti qualunque sia
,
l'energia potenziale assume il valore di minimo.
Questo suggerisce che la posizione sia instabile.
Infatti consideriamo un dato iniziale aribitrariamente vicino,
per esempio
.
La prima equazione di Lagrange mi dice che l'impulso di
conserva (
è ciclica).
Dunque, per tutti i tempi:
Inoltre, come già visto, l'equazione di Lagrange relativa ad
, afferma che
Avendo a disposizione due integrali primi per un problema a due gradi di libertà, posso ridurre ad uno i gradi di libertà e portare il moto alle quadrature (cioè scrivere, almeno in forma implicita, la soluzione delle equazioni del moto).
Si procede cosí: scrivo l'energia meccanica, che è una quantità conservata:
In particolare,
se l'energia meccanica e l'impulso
sono tali che
a)
:
(equilibrio STABILE
per il moto nella sola variabile
)
b)
: il moto in
è periodico.
c)
: o
(equilibrio INSTABILE),
oppure
compie un moto a meta asintotica.
d)
:
compie periodicamente tutta
la rotazione tra 0 e
.
Domande: Perché non è possibile che
?
Scrivi il periodo nei casi b) e d). (*) Calcola il periodo delle piccole
oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio stabile
e
confrontalo con in periodo delle piccole oscillazioni che avresti
nel caso che l'altro estremo dell'asta fosse fisso (risposta:
è
volte più grande).
Osservazione: Ai fini dell'analisi qualitativa, limitata
alla variabile , potevo sostituire
con
,
infatti
è costante. L'ho lasciato com era per
non perdere traccia dell'energia meccanica del sistema nelle
due variabili.
Una volta noto, attreverso la formula di quadratura
6.11, il moto nella variabile ,
l'equazione 6.9 mi dice come è il moto nella variabile
.
Infatti, integrando rispetto al tempo:
a) Per quali valori iniziali il moto è limitato?
b) Trova almeno un moto periodico.
c) È possibile che l'asta rimanga verticale per tutti i tempi? In tal caso il sistema si può muovere? E che moto fà?
Risposte:
a) Se e solo se .
b) Il moto è periodico se e
.
c) Si, si, rettilineo uniforme.
Potrei a questo punto fare la trasformazione inversa
nelle sole variabili ,
per riottenere
la lagrangiana unidimensionale. In realtà
si può procedere all'analisi qualitativa del moto in
e ottenere la formula di quadratura, direttamente
nel formalismo Hamiltoniano.
Infatti la stessa
è un integrale primo del moto (si conserva
perché non dipende dal tempo, e infatti coincide con l'energia
meccanica scritta in variabili hamiltoniane).
Ma allora dall'espressione di
posso ricavare
in
termini di
, e sostituendo tale espressione nell'
equazione per
ottenere finalmente
in funzione degli integrali primi e della sola coordinata
.
Per esercizio verifica che ottieni gli stessi risultati della
sezione precedente.