Istituzioni di Fisica Matematica 18-19, diario delle lezioni Lezioni: lunedi', mercoledi', venerdi' 9-11 aula IV, V Inzio 25 febbraio, fine 14 giugno periodo prove in itinere 15-19 aprile vacanze di pasqua 18-23 aprile febbraio (2) 25 H01 (Richiami sul formalismo lagrangiano) Moto centrale piano, variabili cicliche, riduzione dei gradi di liberta'. Principio variazionale, cambiamento di coordinate. Energia e energia generalizzata. Impulsi. L'hamiltoniana e le equazioni di Hamilton. 27 H02 (Matrici simplettiche) Hamiltoniane a un gradi di liberta'. Esempi di hamiltoniane. Le variabili cicliche nei sistemi hamiltoniani. Trasformazioni canoniche. Trasformazioni simplettiche. Parentesi di Poisson e loro invarianza per trasformazioni simplettiche. marzo (+13 = 15; 1*) 1 H03 (Commutatori di campi) Commutatori di operatori e di campi. Identita' di Jacobi e altre proprieta' delle parentesi di Poisson 4 H04 (Flussi commutanti) Condizioni di commutazione dei flussi. Correzione esercizi. 6 H05 (Simpletticita', principio variazionale) Integrali primi e parentesi di Poisson. Simpletticita' via parentesi di Poisson. Il principio variazionale per le equazioni di Hamilton 8 H06 (canonicita e pdq-Hdt) Teorema di Emmy Noether Canonicita' via pdq-Hdt) 11 H07 (funzioni generatrici) Funzioni generatrici. Simpletticita' del flusso hamiltoniano. L'azione calcolata sul moto come funzione generatrice del flusso hamiltoniano. 13 H08 (Teorema di Poincare'). Teorema di Poincare'. Considerazioni euristiche sulle conseguenze del teorema. Metodo di Hamilton-Jacobi. Equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi. 15 H09 (Integrabilita' locale) Esempi di analisi qualitativa del moto con piu' integrali primi. Integrabilita' locale 18 H10 (integrabilita' globale) Integrabilita' globale. Moti quasi periodici sul toro. 20 H11 (moti quasi periodici) Densita' e ergodicita' dei moti quasi periodici. Variabili azione-angolo, caso unidimensionale, oscillatore armonico, caso multidimensionale. Cenni alla teoria delle perturbazioni e alla teoria KAM. 22 H12 Esercizi RIUNIFICAZIONE DEI CORSI 25 S1 Presentazione della seconda parte del corso. Richiami sulle equazioni della fisica matematica. L'equazione della corda vibrante con condizioni di Dirichlet omogenee, mediante separazione delle variabili. Introduzione ai problemi di Sturm-Liouville. Richiami sugli spazi di Hilbert. Prodotto scalare e spazi di Hilbert reali e complessi. Esempi, \C^n, L^2(Omega,\C). Riepilogo dei risultati di completezza e densita'. Sottospazi lineari chiusi e non. Identita' del parallelogramma e Teorema della proiezione in spazi di Hilber complessi. Proprieta' del proiettore e sua idempotenza. 27 S2 Sistemi ortonormali, disuguaglianza di Bessel; sistemi ortonormali completi (basi) e identita' di Parseval. Esistenza di sistemi ortonormali completi in spazi separabili. Base di Fourier. Basi di soli seni e soli coseni in L^2((0,\pi)) 29 S3 basi in spazi prodotto (enunciato) Polinomi di Legendre Problema di Sturm-Liouville per i polinomi di Legendre Osservazioni sulle condizioni al contorno Spazi L2 con peso. Polinomi di Tchebyshev. * Pomeriggio 16-18 aula V tutoraggio meccanica hamiltoniana aprile (+9 = 24; +2* = 3*) 1 S4 Funzioni generalizzate di Legendre Polinomi di Hermite, problema di Sturm-Liouville associato. Cambio di variabili nel laplaciano. * Pomeriggio 16-18 aula V tutoraggio equazione del calore 3 S5 L'operatore di Laplace-Beltrami. Autovalori e autofunzioni dell'operatore di Laplace-Beltrami sulla sfera. Armoniche sferiche e polinomi armonici. Basi in spazi prodotto (solo enunciato). Polinomi di Laguerre. Richiami sugli operatori lineari tra spazi di Banach Operatori limitati e norma di un operatore. Richiami su continuita' e limitatezza. Proiettori, isometrie. Esempi: isometria tra qualunque Hilbert separabile e l_2 * Pomeriggio 16-18 aula Picone tutoraggio meccanica hamiltoniana 5 O01 Operatori di moltiplicazione e loro norma. Operatori illimitati. Estensione di operatori limitati definiti su sottospazi densi. Dalla serie di Fourier alla trasformata di Fourier in S_{\infty}. La trasformata di Fourier in L^2. La trasformata di Fourier in L^1 Completezza dei polinomi di Hermite. 8 Esonero 10 O02 Operatori di convoluzione Teorema di rappresentazione di Riezs. Operatori aggiunti. Esempi. Decomposizione di H in Ker A^* e chiusura di Range A. Ortogonale dell'immagine di un operatore. Operatori di rango finito. 12 O03 Teoremi dell'alternativa per I-T, con T di rango finito. Equazioni di Fredholm a nucleo separabile. Invertibilita' e serie di Neumann. 15 O04 Richiami sulla convergenza debole. Esempi di convergenza debole, Convergenza di successioni di operatori. Operatori compatti. Esempio di un compatto in l_2 17 O05 Condizioni sufficienti per la compattezza: operatori di moltiplicazione in l_2, operatori integrali, 19 vacanze di pasqua 22 vacanze di pasqua 24 no lezione 26 no lezione 29 O06 Spettro e risolvente. Spettro e risolvente degli shift a destra e sinistra in l_2(\N) Proprieta' del risolvente. operatori integrali con nuclei singolari. Teoremi dell'alternativa per operatori compatti. maggio (+11 = 35; +5*=8*) 3 O07 Proprieta' spettrali degli operatori autoaggiunti. * pomeriggio: riconsegna scritti SALTATA 6 saltata per malattia 8 O08 Proprieta' spettrali degli operatori autoaggiunti compatti. Raggio spettrale per operatori autoaggiunti. 10 P1 Funzioni Green per Poisson continuita' del campo generato * pomeriggio: correzione esercizi 13 P2 Regolarita' C^{2+\alpha'} del potenziale generato da densita' C^{\alpha} Andamento asintotico: termine di monopolo e termine di dipolo 15 P3 Potenziale di singolo strato, proprieta' Potenziale di doppio strato, proprieta' 17 P4 Identita' di Green, discontinuita' del potenziale di doppio strato e del campo generato dal potenziale di singolo strato * pomeriggio: correzione esercizi 20 P5 Ulteriori propriet\`a del potenziale di doppio stato * pomeriggio: correzione esercizi 22 P6 Il problema di Laplace - Dirichlet 24 P7 Laplace-Neumann SALTATA 27 elezioni 29 P8 Conduttori carichi 31 P9 Esercizi giugno (+1 = 36) 3 II Esonero