Istituzioni di Fisica Matematica 17-18, diario delle lezioni Lezioni: lunedi', mercoledi', venerdi' 9-11 Inzio 23 febbraio, fine 15 giugno periodo prove in itinere 16-20 aprile vacanze di pasqua 29 marzo - 3 aprile febbraio (2) 23 Presentazione del corso; questionario introduttivo. Richiami sulle equazioni della fisica matematica. L'equazione della corda vibrante e del calore nell'intervallo con condizioni di Dirichlet omogenee, mediante separazione delle variabili. (26 salta per chiusura attivita' didattica per neve) 28 Introduzione ai problemi di Sturm-Liouville. marzo (11) 2 Richiami sugli spazi di Hilbert. Prodotto scalare e spazi di Hilbert reali e complessi. Esempi, L^2(Omega), l^2(R) e versioni complesse. Riepilogo dei risultati di completezza e densita'. Sottospazi lineari chiusi e non. Ortogonale in un sottospazio. Identita' del parallelogramma e Teorema della proiezione in spazi di Hilber complessi. Proprieta' del proiettore e sua idempotenza. Sistemi ortonormali, disuguaglianza di Bessel; sistemi ortonormali completi (basi) e identita' di Parseval ( 5 chiusura per elezioni) 7 basi in spazi prodotto (enunciato) Richiami sul teorema di Stone-Weierstrass. Base di Fourier. Convergenza uniforme della serie di Fourier per funzioni $C^1$. Esistenza di sistemi ortonormali completi in spazi separabili. Polinomi di Legendre 9 Problema di Sturm-Liouville per i polinomi di Legendre Basi di soli seni e soli coseni in L^2((0,\pi)) Spazi L2 con peso. Polinomi di Tchebyshev. Polinomi di Hermite, problema di Sturm-Liouville associato. 12 Polinomi di Laguerre Funzioni generalizzate di Legendre Cambio di variabili nel laplaciano. L'operatore di Laplace-Beltrami. Autovalori e autofunzioni dell'operatore di Laplace-Beltrami sulla sfera. Armoniche sferiche e polinomi armonici. 14 Richiami sugli operatori lineari tra spazi di Banach Operatori limitati e norma di un operatore. Richiami su continuita' e limitatezza. Esempi: isometrie e proiettori e loro norme. Operatori di moltiplicazione. Operatori illimitati. Esempi: isometria tra qualunque Hilbert separabile e l_2 Estensione di operatori limitati definiti su sottospazi densi. Dalla serie di Fourier alla trasformata di Fourier in S_{\infty}. La trasformata di Fourier in L^2. La trasformata di Fourier in L^1 16 Iniettivita' della trasformata di Fourier in L^1 Completezza dei polinomi di Hermite. Teorema di rappresentazione di Riezs. Operatori aggiunti. Esempi. 19 Operatori integrali, condizioni di limitatezza e aggiunto. L'opeatore di shift. Richiami sulla teoria delle equazioni lineari nel caso finito-dimensionale 21 Relazione tra il rango dell'aggiunto e il kernel di un operatore. Operatori di rango finito. Teoremi dell'alternativa per I-T, con T di rango finito. Equazioni di Fredholm a nucleo separabile 23 Invertibilita' e serie di Neumann. Equazioni di Volterra e Fedholm in L_\infty. Richiami sulla convergenza debole. 26 Esempi di convergenza debole, Convergenza di successioni di operatori. Operatori compatti. Esempio di un compatto in l_2 28 Condizioni sufficienti per la compattezza: operatori di moltiplicazione in l_2, operatori integrali, operatori integrali con nuclei singolari. Spettro e risolvente. Spettro e risolvente degli shift a destra e sinistra in l_2(\N) aprile (10) 4 Proprieta' del risolvente. Teoremi dell'alternativa per operatori compatti. Esercizi su equazioni di Fredholm e su spettri 6 Proprieta' spettrali degli operatori autoaggiunti. Esercizi 9 Raggio spettrale per operatori autoaggiunti. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti. 11 Problema di Poisson-Dirichlet in un dominio limitato. Compattezza dell'inverso del laplaciano. Autovalori del laplaciano. Costante di Poincare' e autovalori. 13 Problema di Poisson-Neumann. Esercizi 16 Spettro della trasformata di Fourier: commutazione con l'hamiltoniano dell'oscillatore armonico; operatori di creazione e distruzione; regole di commutazione; determinazione degli autovalori; polinomi di Hermite. Cenni sulla formulazione debole per l'inversione dell'hamiltoniano in L^2. 18 esonero 20 Introduzione agli operatori illimitati: aggiunto, operatori autoaggiunti, operatori chiusi. Spettro degli autoaggiunti Indentita' del risolvente; teorema di Weyl. Cenni al teorema spettrale. 23 Funzione di Green per il problema di Poisson. Regolarita'. Potenziali di strato singolo. Formulazione del problema di Laplace-Neumann in termini di equazioni integrali per la carica al bordo. Potenziali di doppio strato. Lemma di Gauss. Discontinuit\`a del potenziale al bordo. 27 Esistenza e unicita' per il problema di Laplace-Dirichlet nei limitati. (30 ponte) maggio (13) 2 Il caso bidimensionale per Laplace-Dirichlet. Il problema di Laplace-Neumann. La distribuzione delle cariche su un conduttore. 4 Richiami sulle lagrangiane. Impulsi. L'hamiltoniana e le equazioni di Hamilton. Esempi, il moto centrale piano. Le variabili cicliche nei sistemi hamiltoniani. Trasformazioni canoniche. Trasformazioni simplettiche. 7 Matrici simplettiche. Parentesi di Poisson e loro invarianza per trasformazioni simplettiche. Commutatori di operatori e di campi. Identita' di Jacobi 9 Commutazione dei flussi. Il principio variazionale per le equazioni di Hamilton 11 Canonicita' attraverso la forma pdq-Hdt. Funzioni generatrici. 14 Canonicita' del flusso, equazione di Hamilton-Jacobi, esercizi. 16 Integrabilita' locale. Esercizi. 18 Integrabilita' globale. Moti quasi periodici sul toro, densita' e ergodicita'. 21 Variabili azione-angolo, caso unidimensionale e multidimensionale. Cenni alla teoria delle perturbazioni e alla teoria KAM. Esempi di sistemi integrabili: la lagrangiana della trottola pesante e gli angoli di eulero. 23 Introduzione alla meccanica quantistica. L'equazione di Schroedinger. Interpretazione probabilistica. Operatore posizione, operatore impulso. Teorema di Erhenfest. 25 Principio di indeterminazione. Dispersione della particella libera. Buca di potenziale infinita 28 Oscillatore armonico quantistico. Esercizi. 30 L'hamiltoniano dell'atomo di idrogeno. Gli operatori L^2 e L_3. Polinomi generalizzati di Laguerre. Gli stati legati. Esercizi sugli operatori L_i giugno (7) 1 II esonero febbraio 2 2 marzo 11 13 aprile 10 23 maggio 13 36 giugno 7 tot 43