Lezioni: lunedi', mercoledi', venerdi' 9-11 calendario 1 marzo - 12 giugno periodo prove in itinere 10-12 / 19-21 aprile vacanze di pasqua 13 - 18 aprile ---------------------------------------------- PARTE I: operatori in spazi di Hilbert testi: CH Courant, Hilbert: Methods of Mathematical Physics RS Reed, Simon: Methods of modern mathematical physics, vol I, Functional Analisys KF Komogorov, Fomin: Elementi di teoria delle funzioni e analisi funzionale S Salsa: Equazioni alle derivate parziali note: DB Benedetto: Appunti del corso di IFM 2016-2017 http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/IFM2016/ifm16.pdf G Garroni: note del corso di Istituzioni di Analisi Superiore 2016 http://www1.mat.uniroma1.it/people/garroni/Note-IAS-16-17.pdf P Pulvirenti: note del corso di Istituzioni di Fisica Matematica 2015-16 http://www1.mat.uniroma1.it/people/pulvirenti/didattica/IFMat_2016.pdf B Butta', note del corso di Fisica-Matematica http://www1.mat.uniroma1.it/~butta/didattica/note_FM.pdf FM Benedetto: note aggiuntive per Fisica-Matematica 2015-2016 http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/FM2015//NoteAggiuntive/note15.pdf ----------------------------- Marzo 1 Introduzione al corso. Questionario sulle conoscenze note. Richiami sulle equazioni della fisica matematica in R e R^n (si vedano le introduzioni ai capitoli del Butta' [B]). La lagrangiana per l'equazione delle onde, omogenea e non omogenea. Le condizioni al contorno [B] par 3.2 Gli equilibri e le equazioni di Laplace/Poisson [B] cap 6 L'equazione di diffusione del calore [B] cap 7 Metodi: la funzione di Green, in R^n e nelle palle [B] cap 5 e cap 6 la separazione di variabili e la serie di Fourier [B] cap. 4 Il caso di mezzi non omogenei: il problema agli autovalori di Sturm-Liouville [S] pag 357, [CH] pp 291-292, fino formula (19). Vedi anche gli esercizi del primo paragrafo in [DB] 3 Richiami sugli spazi di Hilbert. Prodotto scalare e spazi di Hilbert reali e complessi. Esempi, L^2(Omega), l^2(R) e versioni complesse; spazi con peso. Riepilogo dei risultati di completezza e densita'. Sottospazi lineari chiusi e non. Ortogonale in un sottospazio. Richiami sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz Identita' del parallelogramma e Teorema della proiezione in spazi di Hilber complessi. Proprieta' del proiettore e sua idempotenza. Sistemi ortonormali, disuguaglianza di Bessel; spazi separabili e sistemi ortonormali completi (basi), Identita' di Parseval (per una introduzione agli spazi di Hilber reali vedi [S] parr 6.3-6.4, oppure [G] parr. 5.1-5.2, ma mancano i sistemi ortonormali, Bessel e l'identita' di Perseval, che trovi su [KF] III.4 per il caso complesso vedi RS cap 2 parr 1-4; per richiami su Fourier va bene un qualunque testo, in particolare [KF]). 6 Esistenza di sistemi ortonormali completi in spazi separabili. Esempi: base di Fourier, basi di soli seni e soli coseni. Separabilita' attraverso la densita' dei polinomi (via Stone-Waierstrass). Polinomi di Legendre e problema di Sturm-Liuoville associato. Spazi L2 con peso. Tutta questa parte la trovi anche in [DB] 8 Polinomi di Tchebyshev, di Hermite e Laguerre e problemi di Sturm-Liuoville associati. Vedi [DB], [KF] cap VII par 3, [CH] cap II parr 8-9, o anche Wikipedia... 10 Richiami sugli operatori lineari tra spazi di Banach Operatori limitati e norma di un operatore. Richiami su continuita' e limitatezza. Esempi: isometrie e proiettori e loro norme. [S] par 6.5.1 Operatori illimitati. Esempi: isometria tra qualunque Hilbert separabile e l_2 Estensione di operatori limitati definiti su sottospazi densi. La trasformata di Fourier in L^2 Iniettivita' della trasformata di Fourier in L^1 Completezza dei polinomi di Hermite, completezza dei polinomi di Laguerre [DB] 13 Completezza degli spazi di operatori lineari. Il duale di uno spazio di Hilbert e il teorema di rappresentazione di Riesz. [S] par 6.5.1 Operatore aggiunto e sue proprieta'. Esempi di operatori e loro aggiunti: operatori come matrici sulla base numerabile; operatori di moltiplicazione e loro norma; operatori di convoluzione e ipotesi per la loro limitatezza; nuclei integrali. Unitarieta' della trasformata di Fourier L'operatore di shift in l_2, il suo aggiunto, immagine e nucleo. 15 salta per febbre Smetto di inicare le fonti, perche' trovate tutto su DB 17 Sunto dei problemi lineari nel caso finito dimensionale, e differenze con il caso finito dimensionali. Decomposizione di H nel kernel di A^* e nella chiusura del range di A. Operatori di rango finito. Teorema dell'alternativa per operatori di rango finito. Esempi ed esercizi 20 Invertibilita' di piccole perturbazioni di operatori invertibili. Esempi: equazioni di Fredholm e di Volterra. Teoremi dell'alternativa per pertubazioni piccole di operatori compatti. 22 Convergenza debole di successioni, esempi e proprieta'. Compattezza debole dei limitati in H separabile. Convergenza debole e forte di operatori. 24 Operatori compatti, teorema dell'alternativa per operatori compatti. Condizioni sufficienti per la compattezza. Operatori di Hilbert-Schmidt 27 Risolvente e spettro per operatori. Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti. 29 Proprieta' del risolvente, identita' del risolvente. Basi in spazi prodotto Operatori compatti con nuclei singolari; Esercizi 31 Esercizi aprile 3 Condizioni al contorno per problemi di Sturm-Liouville, Dirichlet, Neumann, Robin; il caso ((1-x^2)u')' La funzione di Green per la derivata seconda in [-1,1] con condizioni di Dirichlet e con condizioni di Neumman. Esercizi. 5 lo spazio di Sobolev H^1(a,b), regolarita'; immersione compatta in L^2. la disuguaglianza di Poincare'-Wirtinger, la soluzione del problema di Poisson con condizioni di Neumann omogenee in (a,b). Esercizi. 7 Gli spazio di Sobolev H^1(Omega) e H^1_0(Omega). La disuguaglianza di Poincare'. La soluzione debole in H^1_0 dell'equazione di Poisson. Simmetria dell'operatore che esprime la soluzione. Esercizi. 10 Richiami sul lemma di Weyl. Regolarita' della soluzione per dati C^infinito. Autofunzioni del laplaciano. Domini C^k e domini Lipschitziani. Il problema di Poisson-Neumann in H^1(Omega). Richiami sul teorema di prolungamento e sulla disuguaglianza di Poincare'-Wirtinger. Esistenza e unicita' della soluzione debole in H^1_m. 12 Prova in itinere 19 Osservazione sulle migliori costanti di Poincare'. Regolarita' C^2 per dati in C^\alpha. Potenziali di strato singolo. 21 Discontinuita' della derivata normale al bordo. Formulazione del problema di Laplace-Neumann in termini di equazioni integrali per la carica al bordo. Potenziali di doppio strato. Lemma di Gauss. Discontinuit\`a del potenziale al bordo. 24 Esistenza e unicita' per il problema di Laplace-Dirichlet nei limitati. 26 Il caso bidimensionale per Laplace-Dirichlet. Il problema di Laplace-Neumann. La distribuzione delle cariche su un conduttore. ------------------------- PARTE II - Meccanica Hamiltoniana testi: [A] V. Arnold: Metodi Matematici della Meccani Classica (Editori Riuniti - MIR) [E] R. Esposito: Appunti dalle lezioni di meccanica razionale, Aracne 1999. [DBH] D. Benedetto: Appunti di Meccanica Hamiltoniana per il corso di IFM http://brazil.mat.uniroma1.it/dario/IFM2016/ih16.pdf 28 Richiami sulle lagrangiane. Impulsi. L'hamiltoniana e le equazioni di Hamilton. Esempi, il moto centrale piano. Le variabili cicliche nei sistemi hamiltoniani. Trasformazioni canoniche. Trasformazioni simplettiche. Matrici simplettiche. Parentesi di Poisson e loro invarianza per trasformazioni simplettiche. maggio 3 Le regole di commutazione canonica. Parentesi di Poisson e integrali primi. Proprieta' delle parentesi di Poisson. Commutatore di operatori; identita' di Jacobi per il commutatore. Commutatore di campi vettoriali. Identita' di Jacobi per il commutatore di campi e per le parentesi di Poisson. 5 commutativita' dei flussi associati a campi commutanti. Condizione di simpletticita' attraverso la forma pdq-PdQ. Trasformazioni simplettiche dipendenti dal tempo. 8 Funzioni generatrici. Equazione di Hamilton-Jacobi. Esempi. Sistemi integrabili. Teorema di Liouville. Teorema di Arnold-Liouville (solo enunciato). Variabili azione-angolo. --------------- PARTE III - Introduzione alla meccanica quantistica testi [T] A. Teta: Appunti di Meccanica Quantistica, cap1-9 che trovate su https://sites.google.com/site/sandroprova/didattica-1/appunti-ed-esercizi [P] M. Pulvirenti: Equazione di Schroedinger che trovate su http://www1.mat.uniroma1.it/people/pulvirenti/didattica/mecca_quant.pdf 10 Asintotica a onde corte per l'approssimazione dell'ottica scalare Equazione iconale. Equazione di Liuoville per l'intensita'. [T cap1, pp 39-43] Principio di Fermat. Equazione di Newton per i raggi luminosi [T cap1, pp 29-32] [T cap1 pp 32, vedi anche Arnold, per il caso anisotropo]. 12 Analogia tra ottica geometrica e meccanica hamiltoniana. Esercizio: equazione di HJ per il moto centrale. 15 Introduzione alla meccanica quantistica. [T cap2] 17 L'equazione di Schroedinger. Operatori posizione e impulso. Hamiltoniano. Il principio di indeterminazione. [T cap3, ma la dimostrazione su P e' piu' semplice] 19 Osservabili. Pacchetto gaussiano. Teorema di Ehrenfest. Dispersione della particella libera (esercizio). 22 Funzione di Green per l'hamiltoniana della particella libera in R. Buca di potenziale infinita. Oscillatore armonico quantistico. Operatori di creazione e distruzione per l'oscillatore. 24 Autofunzioni dell'hamiltoniana per l'oscillatore armonico. La barriera di potenziale (su [P] pagg 19-22). Esercizio: la buca di potenziale finita simmetrica. 26 L'hamiltoniano dell'atomo di idrogeno. Gli operatori L^2 e L_3. Armoniche sferiche. 29 Autostati dell'atomo di idrogeno. Aggiunto di un operatore illimitato. Operatori autoaggiunti. 31 Enunciato del teorema spettrale per operatori autoaggiunti. Operatori chiusi. Condizioni equivalenti per l'autoaggiuntezza di operatori simmetrici. Quadro orario delle lezioni marzo 1 3 6 8 10 13 xx 17 20 22 24 27 29 31 tot 13 13 aprile 3 5 7 tot 3 16 10 12 19 21 tot 4 20 24 26 28 tot 3 23 maggio 3 5 8 10 12 15 17 19 22 24 26 29 31 tot 13 36 tot 36 72 preappello 6 giugno appello 5 luglio appello 24 luglio