Quadro delle lezioni, aggiornato via via FM: note di Fisica Matematica di Butta' SD: note di Sistemi Dinamici di Butta' e Negrini NA: note aggiuntive (miei appunti sul corso) note_15 (IN AGGIORNAMENTO) H: miei appunti sulle hamiltoniane K: Kolmogorov, Fomin: "Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale". Testi di Meccanica: Butta'-Negrini, Esposito, Olivieri Per chi vuole approfondire la teoria delle distribuzioni, suggerisco L. Shwartz: Theorie des distributions (o in inglese). SETTEMBRE 28 Presentazione corso. Test anonimo di verifica competenze Il formalismo Lagrangiano (testi di meccanica e [NA]) 29 Introduzione al formalismo hamiltoniano. Lagrangiane "naturali" e corrispondenti hamiltoniane [H]. L'hamiltoniana dell'oscillatore armonico e del moto centrale piano definizione del flusso e sue proprieta' ([FM 2.1], vedi anche [SD 1]). Esempi di flusso: l'oscillatore armonico (testi di meccanica). OTTOBRE 01 Il flusso nel caso di equazioni non autonome. Esempio: eq. lineari non autonome. A che serve il flusso? EDO per la matrice jacobiana del flusso (prima d/d\eps \det \pa_x \Phi^{t+\eps,t}, poi caso generale). Equazione per il determinate jacobiano 05 Sistemi a divergenza nulla e sistemi hamiltoniani (coincidenza nel caso di un grado di liberta') [H]. Il teorema del ritorno di Poicare', varianti e commenti [SD 3.4], [NA]. 06 Alla ricerca dell'equazione per la densit\`a di probabilit\`a nello spazio delle fasi. Conservazione della probabilit\`a. Equazione di Lioville e la sua soluzione [NA]. L'equazione del trasporto lineare e la sua soluzione. Il metodo della variazione delle costanti per le e.d.o. lineari. 07 tutoraggio su flussi e sol. trasporto e liouville omogenei. in particolare oscillatore con attrito. - risolvere \pa_t u + t \pa_x( (1+x)u) = 0 e \pa_t u + t(1+x) \pa_x u = 0 con dato assegnato - trovare flusso per \dot x = \alpha x + \e^{\beta t}, per ogni alpha non nullo e ogni beta (variazione costanti e metodo "alla fisica", con caso \alpha=\beta ottenuto come limite sul flusso - notare che per campi a divergenza nulla l'eq. di Liouville coincide con l'eq. del trasporto linerare. Usare questo fatto per evolvere con il flusso di \ddot x = -\omega^2 x una distribuzione di prob. gaussiana centrata nell'origine e di varianza 1. - trovare il flusso di \ddot x = -\omega^2 x - 2\beta \dot x al variare di \beta>0; usarlo per risolvere eq. di Liouville con dato iniziale gaussiano simmetrico centrato nell'origine. 08 Commenti sull'eq. di Liouville e la relazione tra jacobiano e soluzione. Struttura delle leggi di coservazione. Esempi di equazioni di trasporto e liuovulle con sorgenti (caso non omogeneo). Il flusso per le soluzioni. La delta di Dirac come misura attraverso un esempio di eq. di Liouville. 12 Catene di oscillatori come modello microscopico per il moto della corda vibrante; la Lagrangiana della corda vibrante come limite della lagrangiana della catena di oscillatori. Principio di Hamilton per la Lagrangiana della corda vibrante e 13 Rivisitazione del principio variazionale e condizioni al contorno. Condizioni di tipo Dirichlet e di tipo Neumann, omogenee e non, loro significato fisico. 13 Tutoraggio: esercizi su Liouville e trasporto non omogenei. Esercizi su densita' di lagrangiane 15 salta per maker faire 19 L'equazione delle onde in R, onde progressive e regressive, struttura delle soluzioni. Formula di D'Alembert, significati dei vari termini. Sovrapposizione. Cono di influenza e cono di dipendenza. Regolarita' delle soluzioni. 20 Condizioni al contorno Costruzione delle soluzioni con il metodo delle riflessioni. 20 tutoraggio Esercizi sulla formula di D'Alembert senza e con condizioni al contorno. (ma senza delta) 22 Soluzioni deboli, introduzione alle distribuzioni ([NA], poi [FM 3.5 pag 37]). Distribuzioni, la delta di Dirac. Convergenza di distribuzioni. Derivate distribuzionali. Derivata della funzione caratteristica. 26 Derivata della delta. La formula di Duhamel. L'equazione delle onde con sorgente Onde stazionarie: frequenza fondamentale e armoniche. 27 La serie di Fourier, richiami sulla convergenza puntuale. Prodotto scalare il L2([-\pi,\pi]-> \C). Disuguaglianza di Bessel; covergenza in L^2 della serie usando la densita' dei polinomi trigonometrici nella norma del sup. L'uguaglianza di Parseval. [K cap. III par. 4 e K cap VIII par. 1]. La lagrangiana delle onde in serie di Fourier: disaccoppiamento dei modi. 27 tutoraggio Esercizi su distribuzioni e equazioni nel caso non omogeneo. 29 Il problema agli autovalori per la derivata seconda. Soluzione dell'equazione delle onde in Fourier nei vari casi. Trasformata di Fourier in S^\infty. NOVEMBRE 2 Identit\`a di Plancherel-Perseval; Qualche identit\`a notevole via trasformata di Fourier: la delta come integrale di coseni, e l'integrale di sin(x)/x. La soluzione del problema di Cauchy per l'equazione delle onde in trasformata di Fourier. 3 Altre onde in Fourier: la relazione di dispersione; velocit\`a di fase e velocit\`a di gruppo [NA]. Dalle equazioni di Maxwell alle onde elettromagnetiche [https://it.wikipedia.org/wiki/Radiazione_elettromagnetica#Derivazione]. Onde piane [vedi anche https://it.wikipedia.org/wiki/Radiazione_elettromagnetica#Caratteristiche_di_un.27onda_elettromagnetica] 3 tutoraggio: esercizi di riepilogo 5 Equazione delle onde nel piano: oscillazioni di una membrana quadrata, dal modello microscopico alla lagrangiana. Equazioni del moto. Condizioni al contorno. Conervazione dell'energia. Teorema di unicita' per soluzioni C^2 nei domini. Il cono retrogrado e l'unicita' in \R^n. Limitatezza della velocita' di propagazione. 10 I esonero 16 La funzione di Green per l'equazione delle onde. Convoluzione. La costruzione della funzione di Green in \R^3. Verifica. Formula di Kirchhoff. Regolarita' delle soluzioni 17 La funzione di Green in \R^2 con il "metodo della discesa". Formula di Poisson. Autofunzioni del laplaciano sul toro bidimensionale e sui quadrati con condizioni di Dirichlet nulle al bordo. 17 tutoraggio: Esercizi sulla relazione di dispersione. Esercizi su Fourier 19 Esercizi, onde sferiche 23 Il problema di Laplace come equazione dell'equilibrio per l'equazione delle onde, e relativo problema variazionale. L'equazione di Poisson e la determinazione del potenziale elettrostatico. La funzione di Green in \R^n attraverso il teorema di Gauss. Regolarita' del potenziale generato, verifica che lap (G*f) = -f se f e' C^1 e a supporto compatto. 24 Andamento asintotico di G*f nelle varie dimensioni. Osservazioni sull'unicita' delle funzioni di Green. Le identita' di Green. La condizione di compatibilita' per Poisson-Neumann. Unicita' delle soluzioni di Lapalce/Poisson-Dirichlet e di Lapalce/Poisson-Neumann (a meno di costanti), nel caso di soluzioni C^1 fino al bordo. 24 tutoraggio Esercizi sulla soluzioni di varie equazioni mediante Fourier, in semplici domini di R e di R^2; usando Fourier e senza. 26 Formula di rappresentazione delle funzioni armoniche. Regolarit\`a $C^{\infty}$ delle funzioni armoniche. I e II teorema della media. Pincipio del massimo. Conseguenze del principio del massimo; unicit\`a per Lapalce/Poisson Dirichlet nel caso di sola continuit\`a fino al bordo. Continuit\`a nel dato al bordo per Laplace-Dirichlet. Qualche esercizio su Poisson nei domini piani. 30 La formula di Poisson per Laplace-Dirichlet in dimensione 2. Continuita' al bordo della soluzione data dalla formula di Poisson nel caso di dato al bordo continuo. Analiticit\`a delle funzioni armoniche. Esercizi su Lapalce-Dirichlet nel disco e nell'esterno del disco. DICEMBRE 1 Osservazione su armonicita' e analiticita' in \R^2 Fomula di Poisson per Laplace-Dirichlet in R^n (senza dim). Inverso del teorema della media. Disuguaglianza di Harnack. Teorema di Liouville. Unicit\`a delle soluzioni di Poisson in 2 e 3 dimensioni (imponendo condizioni asintotiche). 1 tutoraggio: laplace su quadrati con varie condizioni al bordo 3 La funzione di Green per i problemi nei domini limitati. Sue proprieta'. Metodo della carica immagine per il semispazio. Funzione di Green per il semipiano, per il quadrante, per per la striscia. 7 SALTA 8 festa 10 La soluzione del problema di Poisson Dirichlet attraverso la funzione di Green. Funzione di Green per B_R(0). Formula di Poisson in $\R^n$ Poisson in 3 dimensioni con carica in L1. 14 Introduzione euristica all'equazione di diffusione: legge di Fourier per il calore, modelli microscopici. La soluzione fondamentale in $\R^n$ in trasformata di Fourier e in coordinate cartesiane. La funzione di Green per la semiretta con condizione di Dirichlet omogenea, e con condizione di Neumann omogenea. 15 Invarianza di scala dell'equazione del calore. La funzione di Green come soluzione autosimilare. Soluzione fondamentamentale in $[0,L]$ con condizioni di Dirichlet e Neumann omogenee. Il caso delle condizioni non omogenee, il caso non autonomo. 15 tutoraggio. equazione del calore con le varie condizioni al contorno, andamenti asintotici, caso non omogeneo. Uso della serie di Fourier per l'equazione del calore. La funzione di green nei domini, via Fourier e via riflessioni e prolungamenti. 17 Unicita' delle soluzioni C1 al bordo attraverso il controllo dell'energia. Principio del massimo parabolico per domini limitati; unicita' delle soluzioni dell'equazione del calore con condizioni di Dirichlet. Principio del massimo in \R^n e conseguente unicita' delle soluzioni. 21 Interpretazione dell'equazione di Laplace nel discreto. Laplaciano discreto e armonicita' discreta [Salsa - Equazioni alle derivate parziali, par 3.3.1] 22 Descrizione del caso continuo [Salsa - Equazioni alle derivate parziali, par 3.3.6] Propriet\`a di ricorrenza del moto browniano in \R^2 e \R^3 [Salsa - Equazioni alle derivate parziali, par 3.3.7] Comportamento asintotico delle soluzioni dell'equazione del calore. 22 tutoraggio - no GENNAIO 7 complementi ed esercizi 11 complementi ed esercizi 12 complementi ed esercizi 12 tutoraggio 19 II esonero ------------------------ ORE: lezioni 35 x 2 = 70 esoneri 2 x 3 = 6 tutoraggio 10 x 2 = 20 totale 96