Con una divisione un po' rozza, posso distinguere gli argomenti dell'orale in tre categorie. T: teoremi. Un teorema va dimostrato con rigore, a partire dai risultati su cui si basa, e bisogna conoscere il suo ruolo all'interno della teoria di cui fa parte. Per eempio, il "I teorema della media per le funzioni armoniche" segue dalla III identita' di Green, e serve a dimostrare il principio del massimo, da cui segue l'unicita', etc... D: argomenti piu' ampi e descrittivi, come per esempio il passaggio dal modello microscopico all'equazione delle onde. Questi argomenti vanno raccontati come se chi vi ascolta non ne sapesse nulla, dunque sforzandos di far capire "il perche'" e "il come" C: conti: si tratte delle parti piu' "tecniche", come la determinazione delle funzioni di Green. L'esposizione di un argomento di questo tipo va fatta con precisione e, possibilmente, con una certa scioltezza e avendo chiara la notazione a la natura degli oggetti matematici trattati (per esempio, il gradiente non e' una divergenza...) Con S indico gli argomenti suscettibili di verifica scritta. Tutto il resto, intuizioni, immaginazione, fantasia, lampi di genio, potete esporlo come volete... --------------------------------------- Fonti: FM: note di Fisica Matematica di Butta' SD: note di Sistemi Dinamici di Butta' e Negrini NA: note aggiuntive (miei appunti sul corso) Testi di Meccanica: Butta'-Negrini, Esposito, Olivieri Formalismo hamiltoniano D Il formalismo Lagrangiano (testi di meccanica e NA) D Introduzione al formalismo hamiltoniano. C EDO per la matrice jacobiana del flusso. EDO per il determinate jacobiano. T Teorema di Liouville (FM 2.4) T teorema di ricorrenza di Poincare', varie versioni (SD 3.4). D paradossi legati al teorea di ricorrenza S EDO e flussi Equazione del trasporto lineare e eq. di Liouville D Equazione di Lioville per la densit\`a di probabilit\`a nello spazio delle fasi. Conservazione della probabilit\`a. D Leggi di conservazione. Equazione di Liouville ed equazione del trasporto. Soluzioni mediante le caratteristiche. S Soluzioni dell'eq. del trasporto linerare, di liuville, omogenee e non. Densita' di lagrangiana e equazioni di Eulero-Lagrange Equazione delle onde in dimensione 1 D Catene di oscillatori come modello microscopico per il moto della corda vibrante; l'equazione limite e la lagrangiana limite (par 3.2.4). T Principio di Hamilton per la Lagrangiana della corda vibrante e derivazione macroscopia da principio variazionale (par 3.2.1). D Rivisitazione del principio variazionale, e condizioni al contorno. Condizioni di tipo Dirichlet e di tipo Neumann, omogenne e non, loro significato fisico. D L'equazione delle onde in R, onde progressive e regressive, T struttura delle soluzioni. Formula di D'Alemebrt. D Significati dei termini della Formula di D'Alembert, Sovrapposizione. Cono di influenza e cono di dipendenza. D Condizioni al contorno. D Osservazione sull'unicita' in C^2 delle soluzioni in R; soluzioni pari, dispari e periodiche. Costruzione delle soluzioni con il metodo delle riflessioni. D Soluzioni deboli, introduzione alle distribuzioni (FM 3.5 pag 37) D Distribuzioni, convergergenza nel senso delle distribuzioni, la delta di Dirac. Derivata della funzione caratteristica. T La funzione di Green per l'equazione delle onde in una dimensione. Convoluzione. D La formula di Duhamel. D Onde stazionarie: frequenza fondamentale e armoniche. Il problema agli autovolari per la derivata seconda sulle funzioni periodiche. Richiami sulla serie di Fourier, in formalismo reale e complesso. T Trasformata di Fourier in S^\infty, identit\`a di Plancherel-Perseval; C trasformata di Fourier delle gaussiane. D L'equazione delle onde in trasformata di Fourier; la relazione di dispersione; velocit\`a di fase e velocit\`a di gruppo. S Soluzioni dell'eq. delle onde con D'Alambert, con le varie condizioni al controno, nel caso omogeneo e non, attraverso la funzione di Green o in Fourier. Distribuzioni. Equazione delle onde in dimensione maggiore di uno D Equazione delle onde nel piano: dal modello microscopico alla lagrangiana; l'equazione delle onde in \R^n. C La costruzione della funzione di Green in \R^3. C Verifica che la formula di Kirchhoff d\`a effettivamente la soluzione. T Conservazione dell'energia e unicita' delle soluzioni regolari. Unicita' in \R^n mediante la decrescita dell'energia sul cono retrogrado. D Finitezza della velocita' di propagazione. D Principio di Huygens. C La funzione di Green in \R^2 con il metodo della discesa. D Falsit\`a del principio di Huygens in dimensione 2. C Formula di Poisson. D Dalle Equazioni di Maxwell nel vuoto all'equazione delle onde. C Onde stazionarie per la membrana quadrata. S soluzione dell'equazione delle onde in semplici domini mediante Fourier. Equazione di Laplace e Poisson D Il problema di Laplace come equazione dell'equilibrio per l'equazione delle onde. L'equazione di Poisson e la determinazione del potenziale elettrostatico. C La funzione di Green in \R^3 attraverso la trasformata di Fourir. C L'integrale di sin(x)/x. T Propriet\`a di regolarit\`a e propriet\`a asintotiche del potenziale generato da una distibuzione limitata e sommabile di cariche. C Funzione di Green nelle altre dimensioni mediante il teorema di Gauss. D Osservazioni sull'unicita' delle funzioni di Green. C La formula di Poisson in dimensione 2 T Dal teorema della divergenza alle identit\`a di Green. T Conseguenze: unicit\`a delle soluzioni del problema di Laplace-Dirichlet e Lapalce-Neumann nei domini limitati. Condizione di compatibilit\`a per Laplace-Neumann. C Formula di rappresentazione delle funzioni armoniche. T Regolarit\`a $C^{\infty}$. T Teoremi della media. T Pincipio del massimo. T Conseguenze del principio del massimo; unicit\`a T per Lapalce/Poisson Dirichlet nel caso di sola continuit\`a fino al bordo. T Unicita' per Laplace/Poisson Neumann nel caso di soluzioni C^1 al bordo D Fomula di Poisson per Laplace-Dirichlet in R^n (dim. dopo carica immagine) T Continuita' al bordo della soluzione data dalla formula di Poisson nel caso di dato al bordo continuo. T Conseguenze della formula di Poisson: analiticit\`a e inversione del teorema della media. T Disuguaglianza di Harnack. T Teorema di Liouville. T Unicit\`a delle soluzioni di Poisson in 2 e 3 dimensioni (imponendo condizioni asintotiche). T Continut\`a nel dato al bordo per Laplace-Dirichlet. D La funzione di Green per i problemi nei domini limitati. Metodo della carica immagine, e formula di Poisson in $\R^n$. S Soluzione dell'equazione di Lapalce e Poisson in semplici domini mediante Fourier. Equazione del calore D Introduzione euristica all'equazione del calore. C La soluzione fondamentale in $\R^n$ in trasformata di Fourier e in coordinate cartesiane. D La funzione di Green per la semiretta con condizione di Dirichlet omogenea, e con condizione di Neumann omogenea. Soluzione fondamentamentale in $[0,L]$ con condizioni di Dirichlet e Neumann omogenee. Il caso delle condizioni non omogenee, il caso non autonomo. T Principio del massimo parabolico per domini limitati; T unicita' delle soluzioni dell'equazione del calore con condizioni di Dirichlet, T continuita' nel dato iniziale e nel dato al bordo. T Principio del massimo in \R^n e conseguente unicita' delle soluzioni. D Interpretazione microscopica dell'equazione del calore e dell'equazione di Laplace (fonte: Salsa - Equazioni alle derivate parziali, par 3.3.7) S Soluzione dell'equazione del calore omogena e non, in semplici domini mediante Fourier.