Quadro delle lezioni FM: note di Fisica Matematica di Butta' SD: note di Sistemi Dinamici di Butta' e Negrini NA: note aggiuntive (miei appunti sul corso) Testi di Meccanica: Butta'-Negrini, Esposito, Olivieri SETTEMBRE 29 presentazione corso. Il formalismo Lagrangiano (testi di meccanica e NA) Introduzione al formalismo hamiltoniano. Breve sunto sulle EDO. 30 definizione del flusso e sue proprieta' (FM 2.1, vedi anche SD 1). Esempi di flusso: l'oscillatore armonico (testi di meccanica) in versione lagrangiana e hamiltoniana. EDO per la matrice jacobiana del flusso. EDO per il determinate jacobiano. Teorema di Liouville (FM 2.4) OTTOBRE 2 Esercizi su EDO e flussi. 6 teorema di ricorrenza di Poincare', varie versioni (SD 3.4). Alla ricerca dell'equazione per la densit\`a di probabilit\`a nello spazio delle fasi. Conservazione della probabilit\`a. Equazione di Lioville 7 Leggi di conservazione. Equazione di Liouville ed equazione del trasporto. Soluzioni mediante le caratteristiche. 9 Esercizi: EDO e flussi, trasporto lineare e Liouville. 13 Catene di oscillatori come modello microscopico per il moto della corda vibrante; l'equazione limite e la lagrangiana limite (par 3.2.4). Principio di Hamilton per la Lagrangiana della corda vibrante e derivazione macroscopia da principio variazionale (par 3.2.1). 14 Rivisitazione del principio variazionale, e condizioni al contorno. Condizioni di tipo Dirichlet e di tipo Neumann, omogenne e non, loro significato fisico. L'equazione delle onde in R, onde progressive e regressive, struttura delle soluzioni. 16 Esercizi su derivazione di equazioni dalla lagrangiana, 20 Formula di D'Alembert, significati dei vari termini. Sovrapposizione. Cono di influenza e cono di dipendenza. Condizioni al contorno. 21 Osservazione sull'unicita' in C^2 delle soluzioni in R; soluzioni pari, dispari e periodiche. Costruzione delle soluzioni con il metodo delle riflessioni. Osservazione sulla regolarita'. Soluzioni deboli, introduzione alle distribuzioni (FM 3.5 pag 37) 23 Esercizi sulla formula di D'Alembert senza e con condizioni al contorno. 27 Distribuzioni, convergergenza nel senso delle distribuzioni, la delta di Dirac. Derivata della funzione caratteristica. La funzione di Green per l'equazione delle onde in una dimensione. Convoluzione. La formula di Duhamel. 28 Onde stazionarie: frequenza fondamentale e armoniche. Il problema agli autovolari per la derivata seconda sulle funzioni periodiche. Richiami sulla serie di Fourier, in formalismo reale e complesso. 30 Esercizi su distribuzioni e equazioni nel caso non omogeneo. NOVEMBRE 3 Trasformata di Fourier in S^\infty, identit\`a di Plancherel-Perseval; trasformata di Fourier delle gaussiane. 4 L'equazione delle onde in trasformata di Fourier; la relazione di dispersione; velocit\`a di fase e velocit\`a di gruppo. Completamento delle dimostriazioni. 6 saltata per chiusura per rischio nubifragio 10 prove in itinere 11 prove in itinere 13 I Esonero 17 Equazione delle onde nel piano: dal modello microscopico alla lagrangiana; l'equazione delle onde in \R^n. La costruzione della funzione di Green in \R^3. Verifica che la formula di Kirchhoff d\`a effettivamente la soluzione. 18 Conservazione dell'energia e unicita' delle soluzioni regolari. Unicita' in \R^n mediante la decrescita dell'energia sul cono retrogrado. Finitezza della velocita' di propagazione. Principio di Huygens. La funzione di Green in \R^2 con il metodo della discesa. Falsit\`a del principio di Huygens in dimensione 2. 20 Formula di Poisson. Dalle Equazioni di Maxwell nel vuoto all'equazione delle onde. Onde stazionarie per la membrana quadrata. Esercizi sulla relazione di dispersione. 24 Il problema di Laplace come equazione dell'equilibrio per l'equazione delle onde. L'equazione di Poisson e la determinazione del potenziale elettrostatico. La funzione di Green in \R^3 attraverso la trasformata di Fourir. L'integrale di sin(x)/x. Propriet\`a di regolarit\`a e propriet\`a asintotiche del potenziale generato da una distibuzione limitata e sommabile di cariche. 25 Funzione di Green nelle altre dimensioni mediante il teorema di Gauss. Osservazioni sull'unicita' delle funzioni di Green. 27 La formula di Poisson in dimensione 2 Esercizi sulla soluzioni di varie equazioni mediante Fourier, in semplici domini di R e di R^2; usando Fourier e senza. DICEMBRE 1 Dal teorema della divergenza alle identit\`a di Green. Conseguenze: unicit\`a delle soluzioni del problema di Laplace-Dirichlet e Lapalce-Neumann nei domini limitati. Condizione di compatibilit\`a per Laplace-Neumann. Formula di rappresentazione delle funzioni armoniche. Regolarit\`a $C^{\infty}$. Teoremi della media. Pincipio del massimo. Conseguenze del principio del massimo; unicit\`a per Lapalce/Poisson Dirichlet nel caso di sola continuit\`a fino al bordo. Unicita' per Laplace/Poisson Neumann nel caso di soluzioni C^1 al bordo 2 Fomula di Poisson per Laplace-Dirichlet in R^n (senza dim). Continuita' al bordo della soluzione data dalla formula di Poisson nel caso di dato al bordo continuo. Conseguenze della formula di Poisson: analiticit\`a e inversione del teorema della media. Disuguaglianza di Harnack. Teorema di Liouville. Unicit\`a delle soluzioni di Poisson in 2 e 3 dimensioni (imponendo condizioni asintotiche). 4 Esercizi sulle funzioni armoniche. 8 festa 9 Continut\`a nel dato al bordo per Laplace-Dirichlet. La funzione di Green per i problemi nei domini limitati. Metodo della carica immagine, e formula di Poisson in $\R^n$. 11 Esercizi su equazione di Poisson nell'intervallo con varie condizioni al contorno. Funzione di Green per domini quadrati in Fourier e con la carica immagine (mediante metodo di riflessione). 15 saltata per forza maggiore 16 Introduzione euristica all'equazione del calore. La soluzione fondamentale in $\R^n$ in trasformata di Fourier e in coordinate cartesiane. La funzione di Green per la semiretta con condizione di Dirichlet omogenea, e con condizione di Neumann omogenea. Soluzione fondamentamentale in $[0,L]$ con condizioni di Dirichlet e Neumann omogenee. Il caso delle condizioni non omogenee, il caso non autonomo. Introduzione al principio del massimo. 18 Principio del massimo parabolico per domini limitati; unicita' delle soluzioni dell'equazione del calore con condizioni di Dirichlet, continuita' nel dato iniziale e nel dato al bordo. Principio del massimo in \R^n e conseguente unicita' delle soluzioni. Uso della serie di Fourier per l'equazione del calore. 22 salta GENNAIO 8 Interpretazione microscopica dell'equazione del calore e dell'equazione di Laplace (fonte: Salsa - Equazioni alle derivate parziali, par 3.3.7) 12 Esercizi sull'equazione del calore 13 Esercizi 15 II esonero